Automatismes de quatrième : nombres et calculs
Au brevet, la première partie de l'épreuve de mathématiques se fait sans calculatrice : 20 minutes, des réponses courtes, pas de justification. Lucas a 18 questions et 20 minutes. Comment ne pas perdre de temps sur $-63 : (-0{,}7)$ ou sur $\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3}$ ? En connaissant quelques règles par cœur et en les appliquant sans hésiter. C'est ce que tu vas travailler ici.
Relatifs : signes et priorités
Pour un produit ou un quotient de nombres relatifs, on calcule d'abord le signe, puis la valeur sans les signes.
Pour un produit de plusieurs facteurs, on compte les facteurs négatifs : un nombre pair de facteurs négatifs donne un produit positif, un nombre impair donne un produit négatif.
Pour les priorités opératoires : on calcule d'abord les parenthèses, puis les puissances, puis les multiplications et divisions, puis les additions et soustractions. Ainsi $12 + 3 \times (5 - 2) = 12 + 3 \times 3 = 12 + 9 = 21$. Avec une puissance : $-7 + 3 \times (-2)^2 = -7 + 3 \times 4 = -7 + 12 = 5$. Attention : $(-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4$.
Pour additionner ou soustraire, rappelle-toi : soustraire, c'est ajouter l'opposé. $-5 + 8 - 12 = 3 - 12 = -9$.
Pour chaque question, donner uniquement le résultat. 1. Calculer $-7 \times 3$. 2. Calculer $-2{,}5 \times (-4)$. 3. Calculer $-12{,}8 : 2$. 4. Calculer…
Pour chaque question, donner uniquement le résultat.
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Calculer $-7 \times 3$.
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Calculer $-2{,}5 \times (-4)$.
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Calculer $-12{,}8 : 2$.
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Calculer $\dfrac{2}{7} + \dfrac{3}{7}$.
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Calculer $\sqrt{81}$.
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Déterminer le signe du produit $(-2) \times (-3) \times (-5)$.
Pour chaque question, donner uniquement le résultat. 1. Calculer $(-3) \times (-2) \times (-5)$. 2. Calculer $(-4 + 6) \times (-3) - 2$. 3. Un carré a pour aire…
Pour chaque question, donner uniquement le résultat.
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Calculer $(-3) \times (-2) \times (-5)$.
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Calculer $(-4 + 6) \times (-3) - 2$.
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Un carré a pour aire $15\,\text{cm}^2$. Donner la valeur exacte de la longueur de son côté.
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Calculer les $\dfrac{2}{3}$ de $45$.
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Parmi les nombres $51$ ; $57$ ; $59$ ; $63$ ; $67$, indiquer ceux qui sont premiers.
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La distance Terre-Lune est d'environ $384\,000\,\text{km}$. Donner cette distance en écriture scientifique.
Pour chaque question, donner uniquement le résultat. 1. Un article coûte $80\ €$. Son prix baisse de $25\ \%$. Calculer son nouveau prix. 2. On utilise les…
Pour chaque question, donner uniquement le résultat.
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Un article coûte $80\ €$. Son prix baisse de $25\ \%$. Calculer son nouveau prix.
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On utilise les $\dfrac{3}{8}$ d'un sac de $40\,\text{kg}$ de farine. Calculer la masse de farine qui reste.
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Calculer $-7 + 3 \times (-2)^2$.
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Donner l'écriture scientifique de $15 \times 10^{5}$.
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Un grain de sable a une masse de $2 \times 10^{-3}\,\text{g}$. Calculer la masse, en grammes, de $5 \times 10^{4}$ grains.
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Calculer $4 \times (-3) \times (-0{,}5) \times (-2)$.
Fractions
Un nombre rationnel est un quotient d'un entier relatif par un entier relatif non nul, comme $\dfrac{2}{7}$ ou $\dfrac{-3}{4}$.
Pourquoi ? Diviser par $\dfrac{10}{9}$, c'est chercher ce qu'il faut multiplier par $\dfrac{10}{9}$ pour retrouver le nombre : c'est $\dfrac{9}{10}$, l'inverse de $\dfrac{10}{9}$. L'inverse de $4$ est $\dfrac{1}{4}$.
Fraction d'une quantité : prendre les $\dfrac{2}{3}$ de $45$, c'est calculer $\dfrac{2}{3} \times 45 = 2 \times 15 = 30$. Si on utilise les $\dfrac{3}{8}$ d'un sac de 40 kg, il en reste $\dfrac{5}{8}$ : $5 \times 5 = 25$ kg.
Pourcentage : « 25 % de » est une proportion, c'est la fraction $\dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4}$. Pour une baisse de 25 % sur un article à $60\ €$ : $\dfrac{1}{4} \times 60 = 15$, donc la baisse est de $15\ €$ et le nouveau prix est $60 - 15 = 45\ €$. On peut aussi calculer 10 % (on divise par 10), puis 5 % (la moitié), pour retrouver les autres pourcentages.
Comparer : on met les nombres sous une même forme (même dénominateur, ou écriture décimale). Par exemple $\dfrac{3}{5} = 0{,}6$ et $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$, donc $\dfrac{1}{2} < 0{,}55 < \dfrac{3}{5}$. Pour des négatifs, c'est l'inverse de l'ordre des valeurs sans signe : $-0{,}8 < -0{,}7$.
Simplifier avec les nombres premiers : $\dfrac{140}{135}$, les deux sont divisibles par 5 : $\dfrac{28}{27}$. Comme $28 = 2^2 \times 7$ et $27 = 3^3$, il n'y a plus de facteur commun.
Pour chaque question, donner uniquement le résultat. 1. Calculer $12 + 3 \times (5 - 2)$. 2. Calculer $12 \times 50$. 3. Donner l'écriture décimale de…
Pour chaque question, donner uniquement le résultat.
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Calculer $12 + 3 \times (5 - 2)$.
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Calculer $12 \times 50$.
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Donner l'écriture décimale de $4{,}5 \times 10^{2}$.
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Encadrer $\sqrt{7}$ entre deux nombres entiers consécutifs.
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Donner l'inverse de $4$.
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Calculer $\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3}$.
Pour chaque question, donner uniquement le résultat. 1. Calculer $\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{6}$. 2. Calculer…
Pour chaque question, donner uniquement le résultat.
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Calculer $\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{6}$.
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Calculer $A = 3{,}1 \times 10^{2} - 5 \times 10 + 2{,}1 \times 10^{-1}$.
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Ranger dans l'ordre croissant les nombres $\dfrac{3}{5}$ ; $\dfrac{1}{2}$ ; $0{,}55$.
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Exprimer $3$ microlitres en litres, en écriture scientifique.
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Encadrer $\sqrt{50}$ entre deux nombres entiers consécutifs.
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Calculer $2^3 \times 3^2$.
Pour chaque question, donner uniquement le résultat. 1. Calculer $\dfrac{-3}{4} : \dfrac{9}{-8}$. Donner le résultat sous la forme d'une fraction simplifiée. 2. Calculer…
Pour chaque question, donner uniquement le résultat.
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Calculer $\dfrac{-3}{4} : \dfrac{9}{-8}$. Donner le résultat sous la forme d'une fraction simplifiée.
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Calculer $\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) : \dfrac{1}{4}$.
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Ranger dans l'ordre croissant les nombres $-\dfrac{2}{3}$ ; $-\dfrac{3}{4}$ ; $-0{,}7$.
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Comparer $5 \times 10^{-3}$ et $4 \times 10^{-2}$.
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Calculer $\sqrt{3^2 + 4^2}$.
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Déterminer l'entier $n$ tel que $2^n = 64$.
Puissances et écriture scientifique
Une puissance est un produit de facteurs identiques : $7 \times 7 \times 7 \times 7 = 7^4$ ; l'exposant 4 indique le nombre de facteurs. Ainsi $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$ et $2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72$.
Puissances de 10 : $10^4 = 10\,000$ (un 1 suivi de 4 zéros) et $10^{-3} = \dfrac{1}{1\,000} = 0{,}001$.
Multiplier par $10^n$ décale la virgule de $n$ rangs vers la droite ; par $10^{-n}$, de $n$ rangs vers la gauche. Donc $4{,}5 \times 10^2 = 450$.
Les préfixes sont des puissances de 10 : milli $10^{-3}$, micro $10^{-6}$, nano $10^{-9}$, kilo $10^3$, méga $10^6$, giga $10^9$. Ainsi 3 microlitres $= 3 \times 10^{-6}$ L. La distance Terre-Lune, $384\,000$ km, s'écrit $3{,}84 \times 10^{5}$ km.
Pour calculer, on regroupe : $3 \times 10^{4} \times 2 \times 10^{-2} = (3 \times 2) \times 10^{4-2} = 6 \times 10^2 = 600$ : on a $10^4 \times 10^{-2}$, c'est-à-dire 10 000 divisé par 100. Pour comparer : $5 \times 10^{-3} = 0{,}005$ et $4 \times 10^{-2} = 0{,}04$, donc $5 \times 10^{-3} < 4 \times 10^{-2}$.
Pour chaque question, donner uniquement le résultat. 1. Calculer $-36 : (-9)$. 2. Calculer $-5 + 8 - 12$. 3. Écrire $7 \times 7 \times 7 \times 7$ sous la forme d'une…
Pour chaque question, donner uniquement le résultat.
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Calculer $-36 : (-9)$.
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Calculer $-5 + 8 - 12$.
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Écrire $7 \times 7 \times 7 \times 7$ sous la forme d'une puissance.
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Calculer $2^5$.
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Calculer $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{4}$.
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Donner l'écriture décimale de $10^4$.
Pour chaque question, donner uniquement le résultat. 1. Calculer $-63 : (-0{,}7)$. 2. Calculer $7{,}2 : (-5)$. 3. Calculer $\dfrac{5}{6} : \dfrac{10}{9}$. Donner le…
Pour chaque question, donner uniquement le résultat.
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Calculer $-63 : (-0{,}7)$.
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Calculer $7{,}2 : (-5)$.
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Calculer $\dfrac{5}{6} : \dfrac{10}{9}$. Donner le résultat sous la forme d'une fraction simplifiée.
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Écrire $45\,000\,000$ en écriture scientifique.
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Simplifier la fraction $\dfrac{140}{135}$.
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Décomposer $60$ en produit de facteurs premiers.
Pour chaque question, donner uniquement le résultat. 1. Calculer $\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{6} \times \dfrac{3}{10}$. 2. Calculer…
Pour chaque question, donner uniquement le résultat.
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Calculer $\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{6} \times \dfrac{3}{10}$.
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Calculer $(-2{,}5) \times 4 + (-1{,}5) \times (-6)$.
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Simplifier la fraction $\dfrac{84}{126}$ au maximum.
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Donner l'écriture scientifique de $0{,}000\,072$.
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Calculer $3 \times 10^{4} \times 2 \times 10^{-2}$. Donner le résultat en écriture décimale.
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Encadrer $\sqrt{150}$ entre deux nombres entiers consécutifs.
Racines carrées et nombres premiers
La racine carrée d'un nombre positif $a$, notée $\sqrt{a}$, est le nombre positif dont le carré vaut $a$. Il faut connaître les carrés parfaits de 1 à 144 : $9^2 = 81$ donc $\sqrt{81} = 9$ ; $12^2 = 144$.
Pour encadrer $\sqrt{7}$, on cherche les carrés parfaits qui entourent 7 : $4 < 7 < 9$, donc $2 < \sqrt{7} < 3$. De même $49 < 50 < 64$ donne $7 < \sqrt{50} < 8$.
Un carré d'aire $15\ \text{cm}^2$ a un côté de longueur exacte $\sqrt{15}$ cm. Et $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ : on calcule d'abord sous la racine.
Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. 1 n'est pas premier. Les premiers jusqu'à 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Pour tester un nombre, on utilise les critères de divisibilité : par 3 si la somme des chiffres est divisible par 3 ; par 9 si la somme des chiffres est divisible par 9. Ainsi $51$ ($5+1=6$) et $57$ ($5+7=12$) sont divisibles par 3, $63$ aussi : pas premiers. $59$ et $67$ sont dans la liste : premiers.
Pour chaque question, donner uniquement le résultat. 1. Calculer $(-3) \times (-2) \times (-5)$. 2. Calculer $(-4 + 6) \times (-3) - 2$. 3. Un carré a pour aire…
Pour chaque question, donner uniquement le résultat.
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Calculer $(-3) \times (-2) \times (-5)$.
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Calculer $(-4 + 6) \times (-3) - 2$.
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Un carré a pour aire $15\,\text{cm}^2$. Donner la valeur exacte de la longueur de son côté.
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Calculer les $\dfrac{2}{3}$ de $45$.
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Parmi les nombres $51$ ; $57$ ; $59$ ; $63$ ; $67$, indiquer ceux qui sont premiers.
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La distance Terre-Lune est d'environ $384\,000\,\text{km}$. Donner cette distance en écriture scientifique.
Pour chaque question, donner uniquement le résultat. 1. Calculer $\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{6} \times \dfrac{3}{10}$. 2. Calculer…
Pour chaque question, donner uniquement le résultat.
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Calculer $\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{6} \times \dfrac{3}{10}$.
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Calculer $(-2{,}5) \times 4 + (-1{,}5) \times (-6)$.
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Simplifier la fraction $\dfrac{84}{126}$ au maximum.
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Donner l'écriture scientifique de $0{,}000\,072$.
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Calculer $3 \times 10^{4} \times 2 \times 10^{-2}$. Donner le résultat en écriture décimale.
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Encadrer $\sqrt{150}$ entre deux nombres entiers consécutifs.