Exercices: Calculer une longueur ou un angle avec le cosinus

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, on a $AB = 6\text{ cm}$, $BC = 10\text{ cm}$.

Écrire le rapport qui donne $\cos(\widehat{ABC})$, puis calculer sa valeur sous forme de fraction irréductible.

Dans le triangle $DEF$ rectangle en $D$, on a $DE = 4\text{ cm}$, $EF = 8\text{ cm}$.

Calculer la mesure de l'angle $\widehat{DEF}$.

Dans le triangle $KLM$ rectangle en $K$, on a $\widehat{KLM} = 60^\circ$ et $LM = 12\text{ cm}$.

Calculer la longueur $KL$.

Une échelle de $13\text{ m}$ est appuyée contre le mur d'un immeuble à Lyon. Son pied est posé sur le sol horizontal à $5\text{ m}$ du mur.

1. a) Calculer l'angle que forme l'échelle avec le sol, arrondi au degré.
2. b) Les consignes de sécurité demandent un angle compris entre $65^\circ$ et $75^\circ$. L'échelle respecte-t-elle cette consigne ?

Une rampe d'accès à une médiathèque de Nantes forme un angle de $6^\circ$ avec le sol horizontal. Sa longueur est de $8\text{ m}$.

1. a) Calculer la longueur horizontale couverte par la rampe, arrondie au centimètre.
2. b) Un cycliste parcourt la rampe en entier. Quelle distance horizontale a-t-il parcourue ?

Un câble de $25\text{ m}$ est tendu entre le sommet d'un poteau vertical et un piquet planté dans le sol horizontal. Le câble forme un angle de $52^\circ$ avec le sol.

1. a) Calculer la distance entre le pied du poteau et le piquet, arrondie au décimètre.
2. b) Le piquet est déplacé pour que le câble forme un angle de $40^\circ$ avec le sol, la longueur du câble restant la même. Calculer la nouvelle distance entre le pied du poteau et le piquet, arrondie au décimètre.

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$, on a $AC = 15\text{ cm}$ et $\cos(\widehat{BAC}) = 0{,}6$.

1. a) Calculer $AB$.
2. b) En utilisant le théorème de Pythagore, calculer $BC$.
3. c) Calculer $\cos(\widehat{BCA})$ et montrer que $\cos(\widehat{BCA}) \neq \cos(\widehat{BAC})$.

Un toit symétrique a la forme d'un triangle isocèle $ABC$ de sommet $A$, avec $AB = AC = 6{,}5\text{ m}$ et une base $BC = 10\text{ m}$. Soit $H$ le milieu de $BC$.

1. a) Justifier que le triangle $ABH$ est rectangle en $H$.
2. b) Calculer l'angle $\widehat{ABC}$ à l'aide du cosinus, arrondi au dixième de degré.
3. c) Calculer la hauteur $AH$ du toit, arrondie au centimètre.

Dans un losange $ABCD$ de côté $8\text{ cm}$, la diagonale $AC$ mesure $12\text{ cm}$. Les diagonales se coupent en $O$.

1. a) Justifier que le triangle $AOB$ est rectangle en $O$.
2. b) Calculer l'angle $\widehat{OAB}$, arrondi au degré.
3. c) En déduire, en utilisant la valeur non arrondie de $\widehat{OAB}$, les mesures des quatre angles du losange, arrondies au degré.