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4e · Mathématiques
Automatismes de quatrième · Automatismes de quatrième

Automatismes en géométrie et grandeurs

Une échelle de $2{,}5\,\text{m}$ est posée contre un mur, son pied à $1{,}5\,\text{m}$ de celui-ci. À quelle hauteur touche-t-elle le mur ? Au brevet, ce genre de question tombe dans la partie 1 : pas de calculatrice, seulement le résultat. Il faut donc connaître ses formules et ses carrés par cœur. Cette page rassemble ces réflexes de géométrie et de grandeurs.

Pythagore et sa réciproque

Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit est l'hypoténuse. C'est le plus long côté. Les deux autres sont les côtés de l'angle droit.

Triangle ABC rectangle en A avec l'hypoténuse BC et les côtés de l'angle droit AB et AC A B C AB AC BC (hypoténuse)

Pourquoi ces formules ? Le carré construit sur l'hypoténuse a la même aire que les deux carrés construits sur les côtés de l'angle droit réunis. Pour la réciproque, on compare le carré du plus grand côté avec la somme des carrés des deux autres.

Retiens les carrés parfaits de $1$ à $144$ ($11^2 = 121$, $12^2 = 144$) et les triplets $3\,;4\,;5$, $5\,;12\,;13$, $8\,;15\,;17$, $7\,;24\,;25$.

Quand le résultat n'est pas un carré parfait, on donne la valeur exacte avec le symbole $\sqrt{\ }$. Pour un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $1\,\text{cm}$ et $4\,\text{cm}$, l'hypoténuse vaut $\sqrt{17}\,\text{cm}$. On peut aussi l'encadrer entre deux entiers consécutifs : $16 < 17 < 25$, donc $4 < \sqrt{17} < 5$.

Retour à l'échelle du début : le mur et le sol forment un angle droit, donc $h^2 = 2{,}5^2 - 1{,}5^2 = 6{,}25 - 2{,}25 = 4$ et $h = 2\,\text{m}$.

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Pour chaque question, donner uniquement le résultat. 1. Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ avec $AB = 3\,\text{cm}$ et $AC = 4\,\text{cm}$. Calculer $BC$. 2. Le…

Pour chaque question, donner uniquement le résultat.

  1. Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ avec $AB = 3\,\text{cm}$ et $AC = 4\,\text{cm}$. Calculer $BC$.

  2. Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ avec $BC = 13\,\text{cm}$ et $AB = 5\,\text{cm}$. Calculer $AC$.

  3. Calculer le volume d'un pavé droit de dimensions $5\,\text{cm}$, $4\,\text{cm}$ et $3\,\text{cm}$.

  4. Un segment de $4\,\text{cm}$ est agrandi avec un coefficient $3$. Donner la longueur du segment obtenu.

  5. Une translation transforme un segment de $7\,\text{cm}$ en un segment. Donner la longueur de ce dernier.

  6. Un carré a pour aire $49\,\text{cm}^2$. Calculer la longueur de son côté.

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Pour chaque question, donner uniquement le résultat. 1. Un triangle $RST$ a pour côtés $RS = 42\,\text{cm}$, $TR = 40\,\text{cm}$ et $ST = 58\,\text{cm}$. Ce triangle…

Pour chaque question, donner uniquement le résultat.

  1. Un triangle $RST$ a pour côtés $RS = 42\,\text{cm}$, $TR = 40\,\text{cm}$ et $ST = 58\,\text{cm}$. Ce triangle est-il rectangle ? Si oui, préciser en quel sommet.

  2. Un triangle a pour côtés $5\,\text{cm}$, $6\,\text{cm}$ et $8\,\text{cm}$. Est-il rectangle ?

  3. Dans le triangle $ABC$, $M$ appartient à $[AB]$ et $N$ appartient à $[AC]$. On donne $AM = 4\,\text{cm}$, $AB = 10\,\text{cm}$, $AN = 6\,\text{cm}$ et $AC = 15\,\text{cm}$. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?

  4. Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ avec $AB = 4\,\text{cm}$ et $BC = 5\,\text{cm}$. Calculer $\cos \widehat{ABC}$. Donner le résultat sous forme décimale.

  5. Sur une carte à l'échelle $\dfrac{1}{25\,000}$, deux villes sont distantes de $4\,\text{cm}$. Calculer la distance réelle, en kilomètres.

  6. Une pyramide a pour volume $40\,\text{cm}^3$ et pour hauteur $6\,\text{cm}$. Calculer l'aire de sa base.

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Pour chaque question, donner uniquement le résultat. 1. Une échelle de $13\,\text{m}$ est posée contre un mur vertical, son pied étant à $5\,\text{m}$ du mur. Calculer…

Pour chaque question, donner uniquement le résultat.

  1. Une échelle de $13\,\text{m}$ est posée contre un mur vertical, son pied étant à $5\,\text{m}$ du mur. Calculer la hauteur atteinte sur le mur.

  2. Calculer la longueur de la diagonale d'un rectangle de $24\,\text{cm}$ de long et $7\,\text{cm}$ de large.

  3. La diagonale d'un carré de côté $4\,\text{cm}$ a pour carré de longueur $32$. Encadrer cette longueur entre deux nombres entiers consécutifs.

  4. Dans le triangle $ABC$, $M$ appartient à $[AB]$ et $N$ appartient à $[AC]$ avec $(MN) \parallel (BC)$. On donne $AM = 3\,\text{cm}$, $AB = 9\,\text{cm}$ et $MN = 4\,\text{cm}$. Calculer $BC$.

  5. Un carré d'aire $20\,\text{cm}^2$ est agrandi avec un coefficient $1{,}5$. Calculer l'aire du carré obtenu.

  6. Une pyramide a pour base un carré de $6\,\text{cm}$ de côté et pour volume $72\,\text{cm}^3$. Calculer sa hauteur.

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Théorème de Thalès et sa réciproque

Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ et $N$ est sur $[AC]$. Si $(MN)$ est parallèle à $(BC)$, le petit triangle $AMN$ est une réduction du grand triangle $ABC$ : les longueurs sont proportionnelles.

Triangle ABC avec M sur AB et N sur AC, la droite MN étant parallèle à BC A B C M N

Dans chaque rapport, on met les longueurs du petit triangle en haut et celles du grand en bas, toujours dans le même ordre.

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Pour chaque question, donner uniquement le résultat. 1. Dans le triangle $ABC$, le point $M$ appartient au segment $[AB]$ et le point $N$ appartient au segment $[AC]$.…

Pour chaque question, donner uniquement le résultat.

  1. Dans le triangle $ABC$, le point $M$ appartient au segment $[AB]$ et le point $N$ appartient au segment $[AC]$. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. On donne $AM = 2\,\text{cm}$, $AB = 6\,\text{cm}$ et $AN = 3\,\text{cm}$. Calculer $AC$.

  2. Donner la valeur exacte de l'aire d'un disque de rayon $3\,\text{cm}$.

  3. Calculer le volume d'une pyramide de hauteur $5\,\text{cm}$ dont la base est un carré de $6\,\text{cm}$ de côté.

  4. Un segment de $12\,\text{cm}$ est réduit avec un coefficient $\dfrac{1}{3}$. Donner la longueur du segment obtenu.

  5. Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Exprimer $\cos \widehat{ABC}$ à l'aide de longueurs de côtés.

  6. Convertir $3\,\text{L}$ en $\text{cm}^3$.

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Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ avec $AB = 8\,\text{cm}$ et $AC = 6\,\text{cm}$. Le point $M$ appartient à $[AB]$ avec $AM = 4\,\text{cm}$. Le point $N$…

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ avec $AB = 8\,\text{cm}$ et $AC = 6\,\text{cm}$. Le point $M$ appartient à $[AB]$ avec $AM = 4\,\text{cm}$. Le point $N$ appartient à $[AC]$ et $(MN) \parallel (BC)$.

  1. Calculer $BC$.

  2. Calculer $AN$.

  3. Calculer $MN$.

Pour les questions suivantes, donner uniquement le résultat.

  1. Un triangle a pour côtés $0{,}9\,\text{m}$, $1{,}2\,\text{m}$ et $1{,}5\,\text{m}$. Est-il rectangle ?

  2. Un triangle d'aire $15\,\text{cm}^2$ a pour image un triangle par une translation. Donner l'aire de ce dernier.

  3. Un cube d'arête $3\,\text{cm}$ est agrandi avec un coefficient $2$. Calculer le volume du cube obtenu.

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Agrandissements, réductions et translations

Quand on agrandit ou réduit une figure avec un coefficient $k$ (agrandissement si $k > 1$, réduction si $k < 1$) :

Grandeur Elle est multipliée par
Longueurs $k$
Aires $k^2$
Volumes $k^3$
Angles $1$ (ils ne changent pas)

Pourquoi $k^2$ ? Un carré de côté $1$ agrandi avec $k = 3$ devient un carré de côté $3$ : son aire passe de $1$ à $9 = 3^2$. Pour un cube, de $1$ à $27 = 3^3$.

Une échelle de $\dfrac{1}{200}$ est une réduction de coefficient $\dfrac{1}{200}$. Un immeuble de $50\,\text{m}$ de haut est représenté par une maquette de $\dfrac{50}{200} = 0{,}25\,\text{m}$, soit $25\,\text{cm}$.

Une translation fait glisser une figure sans la tourner ni la déformer. Elle conserve les longueurs, les angles, les aires, l'alignement et le parallélisme. Une figure et son image ont donc la même forme et la même taille.

Dans un parallélogramme $ABCD$, la translation qui transforme $A$ en $B$ transforme $D$ en $C$, car $ABCD$ a ses côtés opposés parallèles et de même longueur. L'image de la droite $(AD)$ est alors une droite parallèle à $(AD)$ passant par $B$ : c'est $(BC)$.

Parallélogramme ABCD : la translation qui transforme A en B transforme D en C A B C D
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$ABCD$ est un parallélogramme. 1. Quelle est l'image du point $D$ par la translation qui transforme $A$ en $B$ ? 2. Quelle est l'image de la droite $(AD)$ par cette même…

$ABCD$ est un parallélogramme.

  1. Quelle est l'image du point $D$ par la translation qui transforme $A$ en $B$ ?

  2. Quelle est l'image de la droite $(AD)$ par cette même translation ?

  3. Une maquette est construite à l'échelle $\dfrac{1}{50}$. Un bâtiment mesure $12\,\text{m}$ de haut. Calculer la hauteur de la maquette, en centimètres.

  4. Un réservoir a la forme d'un pavé droit de $2\,\text{m}$ de long, $1{,}5\,\text{m}$ de large et $1\,\text{m}$ de haut. Calculer sa contenance en litres.

  5. Un robinet a un débit de $2\,\text{L/s}$. Exprimer ce débit en $\text{L/min}$.

  6. Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ avec $BC = 9\,\text{cm}$ et $AC = 15\,\text{cm}$. Calculer $AB$.

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Pour chaque question, donner uniquement le résultat. 1. Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ avec $AB = 6\,\text{cm}$ et $BC = 10\,\text{cm}$. Calculer $AC$. 2. Les…

Pour chaque question, donner uniquement le résultat.

  1. Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ avec $AB = 6\,\text{cm}$ et $BC = 10\,\text{cm}$. Calculer $AC$.

  2. Les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle mesurent $2\,\text{cm}$ et $3\,\text{cm}$. Donner la valeur exacte de la longueur de l'hypoténuse.

  3. Dans le triangle $ABC$, $M$ appartient à $[AB]$ et $N$ appartient à $[AC]$ avec $(MN) \parallel (BC)$. On donne $AM = 3\,\text{cm}$, $AB = 5\,\text{cm}$ et $BC = 10\,\text{cm}$. Calculer $MN$.

  4. Un pavé droit a pour volume $5\,\text{cm}^3$. On l'agrandit avec un coefficient $3$. Calculer le volume du pavé obtenu.

  5. Convertir $90\,\text{km/h}$ en $\text{m/s}$.

  6. Donner la valeur exacte du volume d'un cône de rayon $3\,\text{cm}$ et de hauteur $4\,\text{cm}$.

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Volumes et contenances

Le volume d'une pyramide ou d'un cône est le tiers de celui du prisme ou du cylindre de même base et de même hauteur. On peut le vérifier en remplissant un cône avec de l'eau puis en la versant dans un cylindre : il faut trois cônes pour remplir le cylindre.

Contenance : $1\,\text{L} = 1\,\text{dm}^3$ et $1\,\text{m}^3 = 1\,000\,\text{L}$. Un aquarium de $0{,}5\,\text{m}$ sur $0{,}4\,\text{m}$ sur $0{,}3\,\text{m}$ a un volume de $0{,}06\,\text{m}^3$, soit $60\,\text{L}$.

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Pour chaque question, donner uniquement le résultat. 1. Calculer la longueur de la diagonale d'un rectangle de $8\,\text{cm}$ de long et $6\,\text{cm}$ de large. 2.…

Pour chaque question, donner uniquement le résultat.

  1. Calculer la longueur de la diagonale d'un rectangle de $8\,\text{cm}$ de long et $6\,\text{cm}$ de large.

  2. Calculer le volume d'un cône dont la base a pour aire $12\,\text{cm}^2$ et dont la hauteur est $6\,\text{cm}$.

  3. Dans un triangle rectangle, comment appelle-t-on le côté opposé à l'angle droit ?

  4. Dans la configuration de Thalès du triangle $ABC$ avec $(MN) \parallel (BC)$, compléter l'égalité : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{\ldots}{\ldots}$.

  5. Convertir $36\,\text{km/h}$ en $\text{m/s}$.

  6. Donner la valeur exacte du volume d'un cylindre de rayon $1\,\text{cm}$ et de hauteur $5\,\text{cm}$.

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Pour chaque question, donner uniquement le résultat. 1. Donner la valeur exacte du volume d'un cône de révolution de rayon $6\,\text{cm}$ et de hauteur $5\,\text{cm}$.…

Pour chaque question, donner uniquement le résultat.

  1. Donner la valeur exacte du volume d'un cône de révolution de rayon $6\,\text{cm}$ et de hauteur $5\,\text{cm}$.

  2. Donner la valeur exacte du volume du cylindre de même base et de même hauteur que le cône de la question 1.

  3. Une pyramide a pour volume $100\,\text{cm}^3$. On la réduit avec un coefficient $\dfrac{1}{2}$. Calculer le volume de la pyramide obtenue.

  4. Un TGV roule à vitesse constante de $300\,\text{km/h}$. Calculer la durée, en heures et minutes, d'un trajet de $450\,\text{km}$.

  5. Un cycliste parcourt $10\,\text{km}$ en $20\,\text{min}$ à vitesse constante. Calculer sa vitesse en $\text{km/h}$.

  6. Le débit d'une rivière est de $0{,}5\,\text{m}^3/\text{s}$. Exprimer ce débit en $\text{L/min}$.

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Vitesses, durées et débits

Un TGV roulant à $200\,\text{km/h}$ parcourt $500\,\text{km}$ en $\dfrac{500}{200} = 2{,}5\,\text{h}$, soit $2\,\text{h}\,30\,\text{min}$. Pour passer d'un nombre d'heures décimal à des minutes, on multiplie la partie décimale par $60$ : $0{,}5\,\text{h} = 30\,\text{min}$.

Conversions de vitesses : $1\,\text{m/s} = 3{,}6\,\text{km/h}$. Pour passer des km/h aux m/s, on divise par $3{,}6$ ; dans l'autre sens, on multiplie. Ainsi $72\,\text{km/h} = 20\,\text{m/s}$.

Débits : un débit est un volume divisé par une durée. Un robinet qui débite $3\,\text{L/s}$ donne $3 \times 60 = 180\,\text{L/min}$. Dans l'autre sens, $600\,\text{L/min} = 600 \div 60 = 10\,\text{L/s}$.

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$ABCD$ est un parallélogramme. 1. Quelle est l'image du point $D$ par la translation qui transforme $A$ en $B$ ? 2. Quelle est l'image de la droite $(AD)$ par cette même…

$ABCD$ est un parallélogramme.

  1. Quelle est l'image du point $D$ par la translation qui transforme $A$ en $B$ ?

  2. Quelle est l'image de la droite $(AD)$ par cette même translation ?

  3. Une maquette est construite à l'échelle $\dfrac{1}{50}$. Un bâtiment mesure $12\,\text{m}$ de haut. Calculer la hauteur de la maquette, en centimètres.

  4. Un réservoir a la forme d'un pavé droit de $2\,\text{m}$ de long, $1{,}5\,\text{m}$ de large et $1\,\text{m}$ de haut. Calculer sa contenance en litres.

  5. Un robinet a un débit de $2\,\text{L/s}$. Exprimer ce débit en $\text{L/min}$.

  6. Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ avec $BC = 9\,\text{cm}$ et $AC = 15\,\text{cm}$. Calculer $AB$.

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Pour chaque question, donner uniquement le résultat. 1. Donner la valeur exacte du volume d'un cône de révolution de rayon $6\,\text{cm}$ et de hauteur $5\,\text{cm}$.…

Pour chaque question, donner uniquement le résultat.

  1. Donner la valeur exacte du volume d'un cône de révolution de rayon $6\,\text{cm}$ et de hauteur $5\,\text{cm}$.

  2. Donner la valeur exacte du volume du cylindre de même base et de même hauteur que le cône de la question 1.

  3. Une pyramide a pour volume $100\,\text{cm}^3$. On la réduit avec un coefficient $\dfrac{1}{2}$. Calculer le volume de la pyramide obtenue.

  4. Un TGV roule à vitesse constante de $300\,\text{km/h}$. Calculer la durée, en heures et minutes, d'un trajet de $450\,\text{km}$.

  5. Un cycliste parcourt $10\,\text{km}$ en $20\,\text{min}$ à vitesse constante. Calculer sa vitesse en $\text{km/h}$.

  6. Le débit d'une rivière est de $0{,}5\,\text{m}^3/\text{s}$. Exprimer ce débit en $\text{L/min}$.

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L'essentiel

  • Pythagore : dans un triangle rectangle, $BC^2 = AB^2 + AC^2$ ($BC$ hypoténuse). Sa réciproque permet de démontrer qu'un triangle est rectangle.

  • Thalès : avec $(MN) \parallel (BC)$, $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$. Sa réciproque démontre un parallélisme.

  • Agrandissement-réduction de coefficient $k$ : longueurs $\times k$, aires $\times k^2$, volumes $\times k^3$. La translation conserve longueurs, angles et aires.

  • Volumes : $\mathcal{B} \times h$ pour prisme et cylindre, $\dfrac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$ pour pyramide et cône. $1\,\text{L} = 1\,\text{dm}^3$.

  • Vitesse : $d = v \times t$ ; $1\,\text{m/s} = 3{,}6\,\text{km/h}$. Débit : $1\,\text{L/s} = 60\,\text{L/min}$.

À s'entraîner ! 9 exercices dans cette section
★☆☆ Pour chaque question, donner uniquement le résultat. 1. Le triangle $ABC$ est rectangle…★☆☆ Pour chaque question, donner uniquement le résultat. 1. Dans le triangle $ABC$, le point…★☆☆ Pour chaque question, donner uniquement le résultat. 1. Calculer la longueur de la…
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