Volume d'un solide

Un aquarium a la forme d'un pavé droit avec les dimensions suivantes : $60\text{ cm}$ de longueur, $30\text{ cm}$ de largeur et $40\text{ cm}$ de hauteur. Calculer combien de litres d'eau peut contenir l'aquarium s'il est rempli complètement. (Rappel : $1\text{ dm}^3 = 1\text{ litre}$.)

Météo-France a enregistré dans une station de la Beauce une précipitation de $45\text{ mm}$ (équivalant à $45\text{ L/m}^2$) lors d'un orage d'automne. Un agriculteur a sur sa parcelle un réservoir rectangulaire pour recueillir l'eau de pluie, ouvert sur le dessus, de $4\text{ m}$ de long, $2,5\text{ m}$ de large et $1,2\text{ m}$ de profondeur, initialement vide. Juste à côté, il a un pluviomètre artisanal de forme cylindrique de $10\text{ cm}$ de diamètre intérieur et $30\text{ cm}$ de hauteur, également ouvert et vide.

1. a) Calculer combien de litres d'eau sont tombés directement dans le réservoir rectangulaire pendant l'orage.
2. b) Quelle hauteur en centimètres l'eau accumulée a-t-elle atteinte dans le réservoir rectangulaire ? Et quelle hauteur aura-t-elle atteinte à l'intérieur du pluviomètre cylindrique ? Justifier la réponse à partir de la définition des « millimètres de pluie ».
3. c) Quel pourcentage de la capacité totale du réservoir rectangulaire a été occupé par cet orage ?

Un colis contenant un clavier « gamer » a la forme d'un pavé droit. Ses dimensions sont $45\text{ cm}$ de longueur, $15\text{ cm}$ de largeur et $5\text{ cm}$ de hauteur. Calculer le volume d'air occupé par la boîte en centimètres cubes.

Une canette de soda cylindrique a un diamètre de $6\text{ cm}$ et une hauteur de $12\text{ cm}$. Calculer son volume en utilisant la valeur de $\pi \approx 3,14$.

Calculer le volume d'un prisme dont la base est un triangle rectangle de côtés de l'angle droit $6\text{ cm}$ et $8\text{ cm}$, sachant que la hauteur du prisme est de $15\text{ cm}$.

Une pyramide en verre décorative a une base carrée de $8\text{ cm}$ de côté et une hauteur de $10\text{ cm}$. Calculer le volume de verre nécessaire pour la fabriquer.

Un cornet de glace a la forme d'un cône. Le rayon de la base est de $3\text{ cm}$ et sa hauteur est de $12\text{ cm}$. Calculer combien de centimètres cubes de glace peuvent tenir à l'intérieur (sans que rien ne dépasse en haut).

Une pyramide en verre décorative a une base carrée de $12 \text{ cm}$ de côté. Si l'arête latérale (le segment qui joint le sommet à un sommet de la base) mesure $10 \text{ cm}$, calculer le volume de verre contenu dans la pièce.

(Remarque : il faudra appliquer deux fois le théorème de Pythagore : d'abord pour trouver la diagonale de la base, puis pour trouver la hauteur de la pyramide.)

On veut fabriquer une glace en forme de cône dont la génératrice mesure $15 \text{ cm}$ et dont le rayon de la base est de $6 \text{ cm}$. Calculer le volume de glace que contient l'intérieur du cône. Si, au service, on ajoute une demi-boule parfaite de glace sur la base (de même rayon), quel sera le volume total de la glace ?

Le professeur d'éducation physique range les ballons de handball dans une caisse. Si chaque ballon a un rayon de $9\text{ cm}$, calculer le volume de l'un d'eux en arrondissant à deux décimales. (Utiliser $\pi \approx 3,14$.)

Trois billes métalliques de rayon $3 \text{ cm}$ sont fondues pour créer une unique boule de plus grande taille. En supposant qu'aucune matière n'est perdue lors du processus, quel sera le rayon de la nouvelle boule obtenue ? Arrondir le résultat au centième.

Une boule de plomb de rayon $10\text{ cm}$ est fondue pour fabriquer de petits cylindres de $2\text{ cm}$ de diamètre et $3\text{ cm}$ de hauteur. En supposant que $5\%$ de la matière est perdu lors de la fonte, combien de cylindres complets pourra-t-on fabriquer ? Si chaque cylindre a une masse de $107\text{ g}$, quelle est la masse volumique du plomb utilisé en $g/cm^3$ ?

Un verre cylindrique de $6 \text{ cm}$ de diamètre intérieur contient de l'eau jusqu'à une hauteur de $10 \text{ cm}$. On y plonge une pierre de forme irrégulière et le niveau de l'eau monte jusqu'à $12,5 \text{ cm}$ sans déborder. Sur la figure, la ligne en pointillés marque le niveau initial de l'eau et la ligne bleue continue, le niveau final.

Quel est le volume de la pierre exprimé en centimètres cubes ?

Un réservoir d'eau a la forme d'un tronc de cône. Le rayon de la grande base est de $3 \text{ m}$, le rayon de la petite base est de $1,5 \text{ m}$ et la hauteur du réservoir est de $4 \text{ m}$. Calculer la capacité du réservoir en mètres cubes.

(Suggestion : on peut utiliser la formule du volume du tronc de cône ou le voir comme la différence entre deux cônes.)

Calculer le volume d'un solide formé d'un cylindre de $10 \text{ cm}$ de hauteur et de $4 \text{ cm}$ de rayon, surmonté d'une pyramide à base carrée dont la base est inscrite dans le cercle de base du cylindre et dont la hauteur est de $6 \text{ cm}$.

(Indice : le côté du carré de base de la pyramide est celui d'un carré inscrit dans un cercle de rayon $4 \text{ cm}$.)

Un flacon de parfum a la forme d'un octaèdre régulier de $6\text{ cm}$ d'arête. Cependant, le verre a une épaisseur de $2\text{ mm}$ sur toutes ses faces. Le fabricant affirme que le flacon peut contenir $80\text{ ml}$ de parfum ($1\text{ ml} = 1\text{ cm}^3$). Effectuer les calculs nécessaires pour vérifier si cette affirmation est vraie. (Donnée : le volume d'un octaèdre d'arête $a$ est $V = \frac{\sqrt{2}}{3} a^3$. Il faudra considérer comment l'épaisseur modifie l'arête de la cavité intérieure.)

La mairie d'une ville a installé des jardinières en ciment en forme de prisme droit à base hexagonale régulière. Si chaque côté de l'hexagone de la base mesure $30 \text{ cm}$ et que la hauteur de la jardinière est de $60 \text{ cm}$, calculer le volume de terre (en litres) nécessaire pour la remplir complètement.

(Indication : il faut d'abord déterminer l'apothème de la base à l'aide du théorème de Pythagore.)