Opérations sur les expressions littérales : développer et factoriser

Dans un jeu vidéo de stratégie, votre inventaire est réparti entre deux coffres. Le contenu du premier coffre est donné par le polynôme $P(x) = 5x^2 + 3x - 4$ et celui du second par $Q(x) = 2x^2 - 5x + 8$, où $x$ représente le niveau de rareté des objets. Calculer le polynôme total qui représente la somme des deux coffres : $P(x) + Q(x)$.

Pour organiser un événement d'e-sport, une entreprise utilise l'expression $G(x) = 10x^2 - 4x + 100$ pour calculer ses dépenses et $I(x) = 15x^2 + 2x$ pour calculer ses recettes (où $x$ est le nombre de sponsors). Déterminer le polynôme qui représente le bénéfice net, sachant que le bénéfice est la différence entre les recettes et les dépenses : $I(x) - G(x)$.

Lucie a résolu dans son cahier la soustraction de polynômes suivante : $(5x^2 - 3x + 4) - (2x^2 - 7x - 1)$. À l'étape finale, elle a écrit comme résultat $3x^2 - 10x + 3$. Expliquer quelles deux erreurs de signes elle a commises en appliquant la règle de la soustraction de polynômes, détailler pourquoi elles se produisent et écrire le développement correct étape par étape jusqu'au polynôme réduit final.

Identifier les éléments principaux du polynôme suivant :

$P(x) = -7x^4 + 2x^3 - x + 12$

• a) Quel est son degré ?

• b) Quel est son coefficient dominant ?

• c) Quel est son terme constant ?

• d) Combien de termes comporte-t-il ?

Calculer la valeur numérique du polynôme $A(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ dans les cas suivants :

• a) Pour $x = 0$

• b) Pour $x = 1$

Déterminer la valeur du coefficient $k$ dans le polynôme $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 5x - 4$ sachant que son calcul pour $x = 2$ donne comme résultat $10$.

Effectuer l'opération suivante en multipliant le monôme par le polynôme (en appliquant la distributivité) :

$3x^2 \cdot (2x^3 - 4x + 5)$

Effectuer les multiplications de polynômes suivantes et réduire les termes semblables :

1. a) $3x \cdot (2x^2 - 5x + 4)$
2. b) $(-2x^2) \cdot (x^3 - 3x^2 + 7)$
3. c) $(x + 3) \cdot (x^2 - 2x + 5)$
4. d) $(2x - 1) \cdot (3x^2 + x - 2)$

Un jeune designer crée un logo pour sa marque de vêtements. Le logo central est un rectangle comme celui de la figure. Déterminer le polynôme qui représente l'aire totale de la figure.

Observer le schéma suivant d'une piste de skate rectangulaire. Écrire le polynôme réduit qui représente le périmètre de la piste en fonction de $x$.

Calculer l'aire de la zone grisée de la figure suivante. La figure représente une plaque métallique rectangulaire dans laquelle on a découpé un rectangle intérieur pour laisser de la place à un composant électronique. Exprimer le résultat sous la forme d'un polynôme en fonction de $x$.

Données supplémentaires :

• Base extérieure : $5x + 3$

• Hauteur extérieure : $3x$

• Base intérieure : $x + 2$

• Hauteur intérieure : $x$

Pour l'expression combinée de polynômes suivante, effectuer les opérations et simplifier jusqu'à obtenir un unique polynôme ordonné par degré décroissant :

$P(x) = 2x \cdot (x^2 - 3x + 1) - (x - 4) \cdot (2x + 5)$

Mettre en facteur le facteur commun dans les expressions littérales simples suivantes :

• a) $4x^2 + 8x$

• b) $5a^3 - 10a^2 + 15a$

Mettre en facteur est le procédé inverse de la distributivité. Analyser les expressions littérales suivantes et mettre en facteur tous les facteurs communs possibles (nombres et lettres) :

1. a) $12x^4 - 8x^3 + 4x^2$
2. b) $15a^3b^2 - 10a^2b$
3. c) $9x^2y - 3xy^2 + 6xy$
4. d) $7x^5 - 14x^2$

Pour calculer la valeur numérique de l'expression littérale $E(x) = (2x - 6) \cdot (x^2 + 5x - 2) - (2x - 6) \cdot (x^2 + 3x + 8)$ lorsque $x = 103$, deux élèves proposent des démarches différentes :

• Méthode de Marc : Il multiplie les deux premiers polynômes entre eux, puis multiplie les deux suivants, soustrait les deux polynômes obtenus en changeant tous les signes du second, réduit les termes semblables et substitue $x = 103$.

• Méthode de Sarah : Elle remarque que le binôme $(2x - 6)$ apparaît dans les deux blocs, le met en facteur dans toute l'expression, simplifie ce qui reste dans le crochet et ne substitue $x = 103$ qu'à la fin.

1. a) Appliquer la méthode de Marc en développant et en simplifiant complètement l'expression $E(x)$.
2. b) Appliquer la méthode de Sarah en mettant $(2x - 6)$ en facteur, réduire l'expression obtenue et vérifier que l'on arrive exactement au même polynôme simplifié qu'à la question a).
3. c) Justifier laquelle des deux méthodes est la plus adaptée pour évaluer en $x = 103$ en minimisant le nombre d'opérations et le risque d'erreur. Utiliser cette méthode plus avantageuse pour trouver mentalement la valeur de $E(103)$.

Calculer l'expression suivante en réduisant au maximum le polynôme obtenu. Faire particulièrement attention à la priorité des opérations et aux parenthèses précédées d'un signe négatif :

$(2x^2 - 5) \cdot (x + 3) - (x - 4)^2 + 3x \cdot (x^2 - 2x + 1)$

En effaçant le tableau à la fin du cours de mathématiques, le polynôme $P(x)$ qui complétait l'égalité suivante a disparu : $(2x^2 - 3x + 5) - P(x) + 3x \cdot (x - 2) = -x^2 + x + 9$.

1. a) Sans donner de nombres au hasard, isoler algébriquement $P(x)$ dans l'un des membres de l'égalité.
2. b) Développer les produits et réduire les termes semblables pour obtenir le polynôme $P(x)$ sous forme ordonnée et simplifiée.
3. c) Vérifier que votre réponse est correcte en substituant le polynôme $P(x)$ obtenu dans le premier membre de l'égalité initiale et en vérifiant qu'il coïncide avec le second membre.

Dans un magasin de jeux vidéo, le stock de trois catégories différentes est exprimé par les polynômes suivants, où $x$ représente le nombre de nouveautés de ce mois :

• Action : $A(x) = 3x^2 + 5x - 8$

• Aventure : $B(x) = -x^2 + 2x + 10$

• Stratégie : $C(x) = 2x^2 - 4x + 1$

Calculer les expressions suivantes en simplifiant le résultat :

1. a) Le total de jeux vidéo dans le magasin : $A(x) + B(x) + C(x)$
2. b) La différence entre les jeux d'Action et ceux d'Aventure : $A(x) - B(x)$
3. c) Combien de jeux de Stratégie resterait-il si l'on vendait la moitié d'un lot de taille $4x^2 - 2x$ ? Calculer : $C(x) - (2x^2 - x)$

Dans un laboratoire, la croissance d'une population de bactéries $A$ suit le polynôme $A(t) = 2t^2 + 10t + 50$, où $t$ est le temps en heures. Une autre population $B$ croît selon le polynôme $B(t) = t^2 - 5t$.

Si les scientifiques ont besoin de connaître le comportement d'une culture mixte définie par l'opération $C(t) = 3 \cdot A(t) - 2 \cdot B(t)$, quel est le polynôme simplifié qui représente cette population $C$ ?

Le service municipal de vélos électriques d'une ville française calcule ses coûts et recettes mensuels pour chaque vélo en fonction de $x$, où $x$ représente les centaines de kilomètres parcourus par mois (par exemple, $x = 2$ équivaut à $200\text{ km}$) :

• Coût de la batterie et du moteur : $B(x) = 2x^2 + 15x + 30$ (en euros).

• Coût des freins et des pneus : $F(x) = x^2 + 25x + 10$ (en euros).

• Recettes issues des surtaxes d'usage intensif : $I(x) = 5x \cdot (x + 4)$ (en euros).

1. a) Modéliser la dépense totale d'entretien d'un vélo, $G(x)$, en additionnant $B(x)$ et $F(x)$ en une seule expression réduite.
2. b) Quelle est la signification économique réelle du terme constant de $G(x)$ si un vélo reste garé à la station tout le mois ($x = 0$) ?
3. c) Modéliser le bilan net du vélo à l'aide du polynôme $N(x) = I(x) - G(x)$. Effectuer la soustraction en faisant particulièrement attention aux signes et simplifier le résultat.
4. d) Si un vélo parcourt $300\text{ km}$ en un mois ($x = 3$), calculer la valeur numérique $N(3)$ et interpréter si ce mois-là le vélo génère un solde positif (bénéfice) ou négatif (perte) pour ces postes.

Au centre d'un jardin carré de côté $2x + 5$ mètres, on a installé une piscine rectangulaire de dimensions $x + 2$ mètres de long et $x - 1$ mètres de large. Déterminer le polynôme qui représente l'aire de la zone de pelouse (la partie du jardin non occupée par la piscine).

Une entreprise de colis conçoit des boîtes en forme de pavé droit. Les dimensions de la boîte sont les suivantes : la longueur mesure $x + 5$ cm, la largeur est $x - 2$ cm et la hauteur est le double de la largeur.

1. a) Exprimer à l'aide d'un polynôme le volume de la boîte en fonction de $x$.
2. b) Développer et simplifier ce polynôme.

Un fabricant de coques pour téléphones a déterminé que le coût de production de $x$ unités est donné par le polynôme $C(x) = 0,5x^2 + 10x + 200$, tandis que les recettes obtenues par la vente de ces mêmes unités s'expriment par $I(x) = -0,2x^2 + 50x$.

1. a) Déterminer le polynôme $B(x)$ qui représente le bénéfice (recettes moins coûts).

1. b) Calculer le bénéfice si l'on vend $40$ coques.

Un architecte conçoit une place carrée de côté $L = 2x + 5$ mètres. Au centre, il décide de placer une fontaine également carrée de côté $l = x - 3$ mètres.

1. a) Développer l'expression de l'aire de la place à l'aide des identités remarquables : $(2x + 5)^2$
2. b) Développer l'expression de l'aire de la fontaine à l'aide des identités remarquables : $(x - 3)^2$
3. c) Calculer le polynôme qui représente la surface de la place restant libre pour se promener (aire de la place - aire de la fontaine).

Appliquer les identités remarquables pour développer directement les expressions suivantes, sans effectuer la multiplication étape par étape :

1. a) $(3x + 4)^2$
2. b) $(5x - 2y)^2$
3. c) $(2x^2 + 1) \cdot (2x^2 - 1)$
4. d) $(\frac{1}{2}x + 6)^2$

Appliquer les identités remarquables pour développer et simplifier l'expression suivante :

$3 \cdot (2x + \frac{1}{2})^2 - 2 \cdot (3x - 1) \cdot (3x + 1)$

Simplifier la fraction algébrique suivante en mettant d'abord en facteur le facteur commun au numérateur et au dénominateur :

$\frac{12x^4 - 18x^3 + 6x^2}{6x^3 - 6x^2}$