Réciproque du théorème de Pythagore et de Thalès
Un menuisier de Lyon pose un cadre de fenêtre. Il doit être sûr que le coin est bien un angle droit, mais il n'a pas d'équerre. Il mesure trois longueurs avec son mètre et fait un petit calcul : cela suffit. Comment peut-on prouver qu'un angle est droit, ou que deux droites sont parallèles, uniquement avec des longueurs ? C'est le rôle des deux réciproques de ce cours.
Réciproque du théorème de Pythagore
Tu connais le théorème de Pythagore : si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Ici, on lit la phrase dans l'autre sens : on connaît les trois longueurs et on veut savoir si le triangle est rectangle.
On ne calcule jamais « pour voir » : on commence par repérer le plus grand côté, car c'est lui qui serait l'hypoténuse. On compare son carré à la somme des carrés des deux autres.
Et si les deux nombres sont différents ? Alors le triangle n'est pas rectangle. On le démontre avec le théorème de Pythagore lui-même, par contraposée : s'il était rectangle, on aurait l'égalité, or elle est fausse.
Le triangle $ABC$ a pour côtés $AB = 6\text{ cm}$, $AC = 8\text{ cm}$ et $BC = 10\text{ cm}$. Montrer que ce triangle est rectangle et préciser en quel sommet.
Le triangle $ABC$ a pour côtés $AB = 6\text{ cm}$, $AC = 8\text{ cm}$ et $BC = 10\text{ cm}$.
Montrer que ce triangle est rectangle et préciser en quel sommet.
Le triangle $DEF$ a pour côtés $DE = 5\text{ cm}$, $DF = 6\text{ cm}$ et $EF = 8\text{ cm}$. Ce triangle est-il rectangle ? Justifier.
Le triangle $DEF$ a pour côtés $DE = 5\text{ cm}$, $DF = 6\text{ cm}$ et $EF = 8\text{ cm}$.
Ce triangle est-il rectangle ? Justifier.
Un menuisier de Toulouse vérifie l'équerrage d'un cadre censé être rectangulaire. Il mesure un côté de $1{,}20\text{ m}$, un autre de $0{,}90\text{ m}$ et la diagonale…
Un menuisier de Toulouse vérifie l'équerrage d'un cadre censé être rectangulaire. Il mesure un côté de $1{,}20\text{ m}$, un autre de $0{,}90\text{ m}$ et la diagonale de $1{,}55\text{ m}$.
Le cadre a-t-il bien un angle droit ? Justifier.
Réciproque du théorème de Thalès
Voici maintenant la question du parallélisme. Dans un triangle $ABC$, un point $M$ est sur $[AB]$ et un point $N$ sur $[AC]$. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?
L'idée : si $M$ et $N$ sont « à la même proportion » le long des deux côtés, la droite $(MN)$ est forcément une réduction de $(BC)$, donc parallèle à elle.
Attention, on compare les rapports avec le sommet commun $A$ au numérateur : $AM$ avec $AB$, et $AN$ avec $AC$. Pour comparer, on calcule les deux fractions séparément (ou les écritures décimales).
Si les rapports sont différents, les droites ne sont pas parallèles. Cette fois, on le prouve avec le théorème de Thalès direct : si elles étaient parallèles, les rapports seraient égaux.
Les points $A, M, B$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que $A, N, C$ dans cet ordre, avec $AM = 3\text{ cm}$, $AB = 5\text{ cm}$, $AN = 4{,}5\text{ cm}$ et…
Les points $A, M, B$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que $A, N, C$ dans cet ordre, avec $AM = 3\text{ cm}$, $AB = 5\text{ cm}$, $AN = 4{,}5\text{ cm}$ et $AC = 7{,}5\text{ cm}$.
Comparer les rapports $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$. Que peut-on dire des droites $(MN)$ et $(BC)$ ?
Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$. On donne $AM = 4\text{ cm}$, $MB = 6\text{ cm}$, $AN = 3{,}2\text{ cm}$ et $NC = 4{,}8\text{ cm}$. a)…
Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$. On donne $AM = 4\text{ cm}$, $MB = 6\text{ cm}$, $AN = 3{,}2\text{ cm}$ et $NC = 4{,}8\text{ cm}$.
- a) Calculer $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$.
- b) Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?
Utiliser un triangle rectangle ensuite
Une fois que tu as démontré qu'un triangle est rectangle, tu peux aller plus loin : calculer son aire ou une hauteur. L'aire d'un triangle rectangle est $\dfrac{1}{2} \times (\text{côté} \times \text{côté de l'angle droit})$. Et on peut aussi l'écrire avec la base $\times$ hauteur : cela donne une hauteur inconnue.
Dans les problèmes plus longs, on enchaîne les deux réciproques et le théorème direct. Pour savoir quel outil utiliser, regarde ce qu'on veut :
| On veut… | On utilise… |
|---|---|
| prouver un angle droit | la réciproque de Pythagore |
| prouver un parallélisme | la réciproque de Thalès |
| calculer une longueur dans un triangle rectangle | Pythagore |
| calculer une longueur avec deux droites parallèles | Thalès |
Dans le triangle $RST$, $RS = 7\text{ cm}$, $ST = 24\text{ cm}$ et $RT = 25\text{ cm}$. a) Montrer que $RST$ est rectangle. b) Calculer son aire. c) Calculer la hauteur…
Dans le triangle $RST$, $RS = 7\text{ cm}$, $ST = 24\text{ cm}$ et $RT = 25\text{ cm}$.
- a) Montrer que $RST$ est rectangle.
- b) Calculer son aire.
- c) Calculer la hauteur issue de $S$.
Dans le triangle $ABC$, $AB = 12\text{ cm}$, $AC = 9\text{ cm}$ et $BC = 15\text{ cm}$. Le point $M$ est sur $[AB]$ tel que $AM = 8\text{ cm}$. La parallèle à $(BC)$…
Dans le triangle $ABC$, $AB = 12\text{ cm}$, $AC = 9\text{ cm}$ et $BC = 15\text{ cm}$. Le point $M$ est sur $[AB]$ tel que $AM = 8\text{ cm}$. La parallèle à $(BC)$ passant par $M$ coupe $(AC)$ en $N$.
- a) Montrer que $ABC$ est rectangle.
- b) Calculer $AN$ et $MN$.
- c) Montrer que $AMN$ est rectangle et calculer son aire.
Les points $A, M, B$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que $A, N, C$. On donne $AM = 2{,}4\text{ cm}$, $AB = 6\text{ cm}$, $AN = 3\text{ cm}$ et $AC = 7{,}5\text{ cm}$.…
Les points $A, M, B$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que $A, N, C$. On donne $AM = 2{,}4\text{ cm}$, $AB = 6\text{ cm}$, $AN = 3\text{ cm}$ et $AC = 7{,}5\text{ cm}$. De plus $MN = 2{,}6\text{ cm}$ et $BC = 6{,}5\text{ cm}$.
- a) Montrer que $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
- b) Dans le triangle $AMN$, calculer $MN^2$, $AM^2$ et $AN^2$. Le triangle est-il rectangle ?
- c) Le triangle $ABC$ est-il rectangle ? Justifier.
Un problème complet : le portique
Le charpentier du problème suivant doit vérifier un angle droit puis un parallélisme, avant de calculer une longueur. Voici la démarche type.
Retour au début : le menuisier mesure ses trois longueurs, vérifie que le carré de la diagonale est égal à la somme des carrés des deux côtés, et il sait que son angle est droit, sans équerre.
Un charpentier doit construire un portique. Les poteaux $[AB]$ et $[DC]$ sont verticaux, la traverse est $[BC]$ et la poutre inclinée $[AC]$. On donne…
Un charpentier doit construire un portique. Les poteaux $[AB]$ et $[DC]$ sont verticaux, la traverse est $[BC]$ et la poutre inclinée $[AC]$. On donne $AD = 1{,}5\text{ m}$, $DC = 2\text{ m}$ et $AC = 2{,}5\text{ m}$, avec $D$ sur le sol, et on souhaite vérifier que l'angle en $D$ est droit.
- a) Montrer que le triangle $ADC$ est rectangle en $D$.
- b) Un point $E$ est placé sur $[AC]$ avec $AE = 1{,}5\text{ m}$ et $F$ sur $[AD]$ avec $AF = 0{,}9\text{ m}$. Les droites $(EF)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles ?
- c) Calculer $EF$ si elles le sont, sinon justifier pourquoi on ne peut pas le calculer par cette méthode.
L'essentiel
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Réciproque de Pythagore : si $BC^2 = AB^2 + AC^2$ (avec $[BC]$ le plus grand côté), alors $ABC$ est rectangle en $A$. Si l'égalité est fausse, le triangle n'est pas rectangle.
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Réciproque de Thalès : si $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ avec les points alignés dans le même ordre, alors $(MN) \parallel (BC)$. Si les rapports sont différents, les droites ne sont pas parallèles.
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On calcule toujours chaque côté de l'égalité séparément, puis on conclut par une phrase qui cite la propriété.
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Théorème de Pythagore ou de Thalès : on l'utilise pour calculer une longueur lorsque l'angle droit ou le parallélisme est donné. Réciproque : on l'utilise pour démontrer un angle droit ou un parallélisme.