Calculs avec des expressions littérales

Pour comprendre comment se construisent les expressions mathématiques, il est essentiel de connaître les parties d'un monôme. Compléter les informations demandées pour chacun des monômes suivants :

1. a) $7x^{3}$
2. b) $-a^{2}b$
3. c) $\frac{1}{2}x^{4}y^{2}$
4. d) $-5$

Pour chacun, indiquer :

• Le coefficient.

• La partie littérale.

• Le degré du monôme.

En algèbre, on ne peut additionner ou soustraire que des « choses identiques ». Identifier lesquels des monômes suivants sont semblables entre eux et les regrouper :

$5x^{2}$, $-3x$, $\frac{1}{4}x^{2}$, $7y$, $x$, $-x^{2}$, $12x$, $2y$

Simplifier les expressions suivantes en additionnant et soustrayant les monômes semblables :

1. a) $5a + 3a - 2a$
2. b) $4x^{2} - x^{2} + 7x^{2}$
3. c) $3ab - 5ab + ab$
4. d) $x + x + x + x$

Réduire au maximum l'expression littérale suivante en regroupant les monômes semblables :

$9x^3 - 5x^2 + 4x - 2x^3 + 7x^2 - x + 10$

Calculer le produit des monômes suivants. Rappel : on multiplie les coefficients entre eux et on additionne les exposants des lettres identiques :

1. a) $(3x^{2}) \cdot (5x^{4})$
2. b) $(-2a^{3}) \cdot (4a)$
3. c) $(\frac{1}{2}x) \cdot (6x^{2})$
4. d) $(-x^{2}) \cdot (-x^{3})$

Calculer le résultat des multiplications de monômes suivantes et simplifier la partie littérale à l'aide des propriétés des puissances :

1. a) $(4a^2b) \cdot (-3ab^3)$

1. b) $(\frac{1}{2}x^4) \cdot (6x^2)$

1. c) $(-2z^3) \cdot (-5z^2) \cdot z$

Effectuer les divisions de monômes suivantes. Rappel : on divise les coefficients et on soustrait les exposants des lettres :

1. a) $(12x^{5}) : (3x^{2})$
2. b) $(-10a^{4}) : (5a^{3})$
3. c) $(15x^{3}y^{2}) : (3x^{2}y)$
4. d) $(4x^{2}) : (2x^{2})$

Simplifier les quotients de monômes suivants. Exprimer le résultat sous la forme d'un seul monôme lorsque c'est possible :

1. a) $\frac{20x^6}{5x^2}$

1. b) $(-12a^3b^2) : (3a^2b^2)$

1. c) $\frac{15m^4n^2}{10m^2}$

Calculer la puissance de ces monômes. Ne pas oublier d'élever à la fois le coefficient et la partie littérale à l'exposant indiqué :

1. a) $(2x^{3})^{2}$
2. b) $(-3a^{2})^{2}$
3. c) $(x^{4})^{3}$
4. d) $(-2x)^{3}$

Calculer les puissances de monômes suivantes. Rappel : l'exposant s'applique au coefficient et à chacune des variables de la partie littérale :

1. a) $(-3x^4)^2$

1. b) $(2a^2b^3)^4$

1. c) $(-\frac{1}{2}m^5)^3$

En cours de mathématiques, Marc a résolu au tableau la puissance de monôme suivante :

Sa camarade Alice lève la main et affirme que Marc a commis deux erreurs conceptuelles différentes dans cette seule étape.

1. a) Identifier les deux erreurs commises par Marc, en expliquant clairement quelle règle sur les opérations avec les monômes il a mal appliquée dans chaque cas (une sur le coefficient et une autre sur le signe ou sur les exposants).
2. b) Écrire la résolution correcte, entièrement détaillée pas à pas, en justifiant le signe, le coefficient et l'exposant finaux.

Un professeur a partiellement effacé le tableau à la fin du cours et ces trois opérations sur des monômes sont restées incomplètes :

1. a) $4x^3 \cdot \Box = -20x^7$
2. b) $\frac{\Box}{3x^2} = 5x^4$
3. c) $(\Box)^3 = -8x^6$

Trouver quel monôme doit être placé dans chaque case ($\Box$) pour que les égalités soient vraies. Dans chaque cas, expliquer en raisonnant comment on déduit le signe, le coefficient numérique et l'exposant de la partie littérale grâce à l'opération inverse correspondante.

Résoudre les opérations combinées suivantes sur des monômes en respectant les priorités opératoires :

1. a) $5x^2 \cdot 2x + 12x^4 : 3x$

1. b) $3ab \cdot (2a^2b) - (5a^3b^2)$

1. c) $(2n^3)^2 - 5n^6 + n^2 \cdot n^4$

On considère l'opération combinée suivante sur des monômes :

1. a) Avant tout calcul numérique sur les coefficients, faire une estimation raisonnée en répondant à ces deux questions :

1. Quel sera le signe du résultat final ? Le justifier en analysant successivement les signes de la puissance, du produit du numérateur et de la division finale.

2. Quel sera le degré exact du monôme obtenu ? Le justifier en calculant mentalement la somme et la différence des exposants selon les propriétés des puissances.

1. b) Résoudre l'opération combinée pas à pas en respectant les priorités opératoires et simplifier le monôme obtenu.
2. c) Vérifier si le résultat obtenu est cohérent avec vos déductions préalables sur le signe et le degré de la question a).

Mettre en facteur le plus grand facteur commun possible dans l'expression littérale suivante. Rappel : il faut mettre en facteur à la fois le PGCD des coefficients et les variables communes avec leur plus petit exposant :

Déterminer l'expression littérale qui représente le périmètre de la parcelle rectangulaire suivante, destinée à un potager scolaire. Une fois l'expression obtenue, la réduire au maximum en additionnant ses termes semblables.

Dans un jeu vidéo de course, chaque pièce d'or ramassée rapporte $5x$ points et chaque pièce d'argent rapporte $2x$ points.

Si, lors d'une partie, un joueur a obtenu 4 pièces d'or et 6 pièces d'argent :

1. a) Écrire le monôme qui représente le total des points des pièces d'or.
2. b) Écrire le monôme qui représente le total des points des pièces d'argent.
3. c) Additionner les deux monômes pour obtenir le total des points de la partie.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Déterminer l'expression littérale simplifiée qui représente le périmètre de la parcelle suivante, destinée à une aire de jeux dans un parc :

Calculer l'expression qui représente l'aire de la région colorée dans la figure suivante, sachant que le côté du carré extérieur mesure $4x$ et que le côté du carré intérieur blanc mesure $x$ :

Une entreprise de design fabrique des cadres en aluminium pour des écrans de tablettes. Le dessin suit les proportions de la figure suivante, où toutes les mesures sont exprimées en fonction d'une variable $x$. Déterminer le monôme qui représente l'aire totale de la surface du cadre (la zone colorée).