Reconnaître et caractériser les solides de révolution

Observer les trois figures planes A, B et C. Chacune effectue un tour complet autour de l'axe en pointillés dessiné. Identifier laquelle donne un tronc de cône. Expliquer brièvement pourquoi vous avez choisi cette option.

Imaginer que vous êtes graphiste et que vous créez un logo en 3D. Pour cela, vous faites tourner un rectangle de $5 \text{ cm}$ de base et $12 \text{ cm}$ de hauteur autour de l'un de ses plus grands côtés (le côté de $12 \text{ cm}$), comme le montre la figure.

1. a) Dessiner le solide de révolution obtenu.

1. b) Identifier le nom de ses éléments principaux (base et hauteur) et indiquer la mesure de chacun.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Pour une fête déguisée, vous voulez fabriquer un chapeau conique. Vous avez mesuré le rayon de la base, qui est de $9 \text{ cm}$, et la hauteur du chapeau, qui sera de $12 \text{ cm}$. Utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur de la génératrice ($g$) dont vous aurez besoin pour tracer le patron sur le carton.

Marc conçoit un chapeau de fête en forme de cône pour l'anniversaire de sa sœur. Dans son carnet, il note : « Le rayon de la base circulaire est $r = 5\text{ cm}$ et la hauteur du chapeau est $h = 12\text{ cm}$. Donc, pour tracer le patron en carton, il faut que la génératrice mesure exactement $g = 5 + 12 = 17\text{ cm}$, puisque la génératrice relie le bord de la base à la pointe du cône en additionnant les deux distances ».\n\na) Expliquer en justifiant quelle erreur conceptuelle Marc a commise sur la géométrie interne du cône. Quelle figure plane relie réellement $r$, $h$ et $g$ ?\nb) Corriger son calcul en déterminant la longueur réelle de la génératrice $g$ du chapeau.

On fabrique un chapiteau provisoire pour un événement, en forme de cône parfait. La hauteur du chapiteau, du sol au sommet, est de $4\text{ m}$ et le diamètre de la base circulaire est de $6\text{ m}$. Combien de mètres carrés de toile a-t-il fallu pour recouvrir uniquement la partie latérale du chapiteau ? (Indication : il faut d'abord trouver la génératrice avec le théorème de Pythagore.)

Une célèbre marque de chips utilise des boîtes cylindriques. Si le rayon de la base de la boîte est de $4 \text{ cm}$ et sa hauteur de $20 \text{ cm}$, calculer l'aire de l'étiquette en papier qui entoure latéralement la boîte (aire latérale). Prendre $\pi \approx 3,14$.

Une entreprise de boissons gazeuses veut concevoir une nouvelle canette cylindrique. Le rayon de la base doit être de $3,5\text{ cm}$ et la hauteur de la canette de $12\text{ cm}$. Calculer l'aire totale de métal nécessaire pour fabriquer une canette (sans compter les languettes de fermeture) et le volume de boisson qu'elle peut contenir en millilitres ($1\text{ cm}^3 = 1\text{ ml}$).

Observer le patron d'un cylindre. On sait que l'aire d'une de ses bases circulaires est de $28,26\text{ cm}^2$ et que la hauteur du rectangle latéral est de $10\text{ cm}$. Calculer :

1. a) Le rayon de la base.
2. b) L'aire latérale du cylindre.
3. c) L'aire totale.

(Utiliser $\pi \approx 3,14$.)

Une canette de soda a une forme cylindrique. Le rayon de sa base mesure $3 \text{ cm}$ et sa hauteur est de $12 \text{ cm}$. Calculer le volume de boisson qu'elle peut contenir si elle est entièrement remplie. Exprimer le résultat en centimètres cubes ($cm^3$).

Un cornet de glace a la forme d'un cône. Si l'aire de la base est de $25 \text{ cm}^2$ et la hauteur du cornet de $10 \text{ cm}$, calculer son volume. Rappel : le volume d'un cône est le tiers du volume d'un cylindre de même base et de même hauteur : $V = \frac{1}{3} \cdot A_{base} \cdot h$.

Un réservoir d'eau a la forme d'un cylindre de hauteur $5\text{ m}$. Si l'on veut que le réservoir ait une contenance de $100\,000\text{ litres}$, quel doit être le rayon de sa base ? (Rappel : $1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ litres}$.) Arrondir le rayon au centième.

Dans un cours de géographie, on observe un globe terrestre. Si l'on sait que la longueur de l'équateur (grand cercle) est d'environ $62,8 \text{ cm}$, quel est le rayon de cette sphère ? (Utiliser $\pi \approx 3,14$.)

Une boule de bois de $20\text{ cm}$ de rayon a été coupée par un plan situé à $12\text{ cm}$ du centre. En séparant les deux morceaux, on obtient deux calottes sphériques. Calculer l'aire totale (surface courbe plus disque plan de la coupe) de la plus petite calotte sphérique.

(Indice : utiliser le théorème de Pythagore pour trouver le rayon du disque de section.)

Un ballon de basket a un diamètre de $24 \text{ cm}$. Quelle est la surface totale de cuir nécessaire pour le fabriquer ? Rappel : le rayon est la moitié du diamètre ; utiliser la formule de l'aire de la sphère $A = 4 \cdot \pi \cdot r^2$. (Utiliser $\pi \approx 3,14$.)

Dans un cours de géographie, on observe un globe terrestre. Si l'on sait que la longueur de l'équateur (grand cercle) est d'environ $62,8 \text{ cm}$, quel est le rayon de cette sphère ? (Utiliser $\pi \approx 3,14$.)

Une célèbre marque de chocolats vend ses bonbons dans une boîte en forme de sphère de $10\text{ cm}$ de diamètre. Si la boîte est remplie à $75\%$ de sa capacité avec du chocolat liquide, combien de centimètres cubes de chocolat contient-elle ? Exprimer le résultat en arrondissant au centième.

Calculer le volume d'une pièce de bois formée en assemblant un cylindre et une demi-boule. Le cylindre a une hauteur de $10\text{ cm}$ et le rayon de sa base est de $4\text{ cm}$. La demi-boule repose exactement sur la base supérieure du cylindre.

On coupe une boule de bois de $13\text{ cm}$ de rayon par un plan horizontal. Si la distance du centre de la boule au plan de coupe est de $5\text{ cm}$, quel est le rayon du disque formé par la section ? (Appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ainsi formé.)

On veut construire un silo à céréales constitué d'un corps cylindrique de $4\text{ m}$ de hauteur et de $3\text{ m}$ de rayon, prolongé dans sa partie inférieure par un cône de même rayon et de génératrice $5\text{ m}$ pour faciliter la vidange. Calculer le volume total de stockage du silo et la surface totale de tôle nécessaire pour le fabriquer (en incluant le couvercle plat supérieur du cylindre).

Calculer l'aire de la surface d'un « cornet de glace » composé d'un cône de révolution de $12\text{ cm}$ de hauteur et de $5\text{ cm}$ de rayon de base, surmonté d'une demi-boule parfaite qui s'ajuste exactement à la base du cône. Si l'on veut envelopper la glace (cône et demi-sphère) dans un papier protecteur, quelle surface minimale de papier faut-il ?