Opérations sur les nombres rationnels

Lors d'une enquête réalisée dans ta classe sur le réseau social préféré, $\frac{12}{30}$ des élèves ont choisi une plateforme de vidéos courtes. Déterminer la fraction irréductible pour savoir quelle part du total représente ce groupe.

Calculer la valeur exacte de l'expression suivante, en transformant d'abord les nombres décimaux en fractions et en simplifiant les étapes intermédiaires :

Un adolescent consacre $\frac{1}{3}$ de son temps libre de l'après-midi au sport et $\frac{2}{5}$ à étudier les mathématiques.

1. a) Calculer quelle fraction de son temps libre total occupent ces deux activités.
2. b) Quelle fraction de temps lui reste-t-il pour jouer à la console ?

Pour préparer un smoothie healthy, tu as mélangé $\frac{3}{4}$ de litre de lait d'avoine avec $\frac{1}{2}$ litre de jus d'orange. En servant, $\frac{1}{8}$ de litre se renversent. Effectuer l'opération pas à pas pour savoir quelle quantité de mélange reste dans la carafe.

Sur une étagère d'une boutique de bandes dessinées, $\frac{2}{3}$ des exemplaires sont des comics de super-héros. Parmi ces comics de super-héros, la moitié ($\frac{1}{2}$) appartient à une célèbre maison d'édition américaine. Calculer la fraction du total de l'étagère que représentent les comics de cette maison d'édition en effectuant une multiplication de fractions.

On veut répartir $\frac{3}{2}$ de kilo de bonbons dans de petits sachets. Si l'on met $\frac{1}{10}$ de kilo dans chaque sachet :

1. a) Combien de sachets pourra-t-on remplir complètement ?
2. b) Effectuer l'opération en utilisant la division de fractions : $\frac{3}{2} : \frac{1}{10}$

Observer la figure suivante qui représente un gâteau au chocolat partagé en parts égales. Écrire la fraction qui représente la partie manquante et calculer l'opposé et l'inverse de cette quantité.

Hélène résout un exercice de classe et affirme : « Pour calculer $-\frac{3}{4} : \frac{2}{5}$, comme diviser c'est partager, je divise le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur : $\frac{-3 : 2}{4 : 5}$. Comme ça ne tombe pas juste, je change simplement le signe de la deuxième fraction et je multiplie en ligne : $-\frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ ».

1. a) Identifier les deux erreurs conceptuelles commises par Hélène dans son raisonnement et expliquer la différence fondamentale entre l'« inverse » et l'« opposé » d'une fraction.
2. b) Effectuer correctement l'opération pas à pas, en donnant le résultat final sous forme de fraction irréductible.

Pour préparer une épreuve par binômes en classe de mathématiques, il faut proposer une énigme numérique avec l'égalité incomplète suivante :

1. a) En appliquant les propriétés des opérations inverses et en respectant les priorités opératoires, résoudre pas à pas et calculer quelle fraction irréductible doit être placée dans la case $\Box$.
2. b) Expliquer, à partir de la règle des signes du produit, pourquoi le contenu de la parenthèse devait nécessairement être négatif et justifier pourquoi la fraction cherchée $\Box$ doit être supérieure à $\frac{2}{5}$.
3. c) Vérifier la solution en remplaçant par la fraction obtenue dans l'expression de départ et en la calculant pas à pas.

Calculer l'expression suivante en respectant les priorités opératoires :

Avant d'effectuer de longs calculs avec des dénominateurs différents, il est très utile d'estimer l'ordre de grandeur du résultat pour anticiper la réponse et repérer d'éventuelles erreurs. On considère l'opération suivante : $E = \left( 1 - \frac{1}{6} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{5}{11} \right)$.

1. a) Sans effectuer le calcul exact, estimer le résultat de façon argumentée en répondant aux questions suivantes :

• Le facteur $\left( 1 - \frac{1}{6} \right)$ est-il supérieur ou inférieur à $1$ ? Est-il proche de $1$ ?

• Sachant que $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$, la fraction $\frac{5}{11}$ est-elle supérieure ou inférieure à $\frac{1}{2}$ ? La deuxième parenthèse sera-t-elle plus grande ou plus petite que $1$ ?

• À partir de ce qui précède, déduire en justifiant si le produit final $E$ sera légèrement inférieur à $1$, exactement égal à $1$ ou nettement supérieur à $1$.

1. b) Effectuer maintenant le calcul exact de $E$ en calculant les parenthèses puis en multipliant les fractions. Exprimer le résultat sous forme de fraction irréductible.
2. c) Donner l'écriture décimale de ton résultat exact (avec deux décimales) et vérifier si ton estimation initiale était correcte.

Calculer l'expression suivante, en simplifiant le résultat jusqu'à obtenir la fraction irréductible :

Calculer la valeur de l'expression suivante en tenant compte des priorités opératoires et des règles des signes :

La batterie de ton téléphone portable a une capacité totale de $4500$ mAh. Si l'écran indique en ce moment qu'il lui reste exactement $\frac{4}{9}$ de sa capacité :

1. a) Combien de mAh sont disponibles ?
2. b) Si le mode économie d'énergie s'active lorsqu'il reste $\frac{1}{5}$ du total, combien de mAh représente cette limite ?

Trois amis décident d'acheter un cadeau pour un camarade qui change de collège. Le premier verse $\frac{2}{5}$ du prix total, le deuxième verse $\frac{1}{3}$ de ce qui reste et le troisième complète le paiement avec $16$ €.

1. a) Quelle fraction du total représente la somme versée par le deuxième ami ?
2. b) Quel est le prix total du cadeau ?
3. c) Combien chacun a-t-il versé ?

Un créateur de contenu a enregistré une vidéo pour sa chaîne. Pendant le montage, il coupe $\frac{1}{6}$ de la durée totale à cause de problèmes de son. Puis il supprime $\frac{2}{5}$ de ce qui restait car le rythme était trop lent. Au final, la vidéo montée dure $18$ minutes.

1. a) Quelle fraction de la durée d'origine représente la vidéo finale de $18$ minutes ?
2. b) Quelle était la durée de l'enregistrement d'origine avant le début du montage ?

Une jeune influenceuse organise son budget mensuel issu de ses collaborations. Elle consacre $\frac{2}{5}$ de ses revenus au loyer de son studio et $\frac{1}{4}$ du reste au montage vidéo. Si après ces dépenses il lui reste encore $\frac{5}{9}$ de ce qui restait pour l'épargne et qu'elle dispose encore de $480$ € pour ses dépenses personnelles, à combien s'élèvent ses revenus mensuels totaux ?

Calculer la valeur de l'expression suivante contenant des puissances d'exposant négatif et simplifier le résultat :

Déterminer la valeur de $x$ dans l'égalité suivante de puissances de nombres rationnels, en appliquant les propriétés nécessaires pour simplifier l'expression :