Automatismes de quatrième : calcul littéral et équations
Lucas et Emma jouent à un jeu. Lucas choisit un nombre, lui ajoute 5, puis multiplie le résultat par 3. Emma choisit le même nombre, le triple, puis ajoute 15. Ils trouvent toujours le même résultat ! Hasard ou certitude ? À la fin de cette page, tu sauras le prouver, et tu auras aussi les bons réflexes pour répondre vite, sans calculatrice, comme dans la première partie du brevet.
Développer, réduire, factoriser
Une expression littérale est une somme ou un produit. Il faut le repérer : $3x + 12$ est une somme de deux termes, $3(x + 4)$ est un produit de deux facteurs.
Pourquoi ça marche ? Un rectangle de largeur $k$ et de longueur $a + b$ se découpe en deux rectangles d'aires $ka$ et $kb$.
Réduire une expression, c'est regrouper les termes de même nature : $7x - 2x + 4 = 5x + 4$. On ne peut pas regrouper $x$ et $x^2$, ni $x$ et un nombre.
Pour multiplier un terme littéral par un nombre, on multiplie les nombres entre eux et on garde la lettre : $3x \times 4 = 3 \times 4 \times x = 12x$. Avec deux termes littéraux, $x \times x = x^2$ : $3x \times 4x = 12x^2$. Attention, ce n'est pas une addition : $3x + 4 \neq 7x$.
Pour chaque question, donner uniquement le résultat. 1. Développer $2(x + 5)$. 2. Factoriser $12x - 30$. 3. Réduire $4a + 7 - a + 2$. 4. Résoudre l'équation $5x = 35$.…
Pour chaque question, donner uniquement le résultat.
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Développer $2(x + 5)$.
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Factoriser $12x - 30$.
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Réduire $4a + 7 - a + 2$.
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Résoudre l'équation $5x = 35$.
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Résoudre l'équation $2x - 1 = 9$.
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Calculer la valeur de $3x^2$ pour $x = 2$.
Pour chaque question, donner uniquement le résultat. 1. Développer $3x(4 + 8x)$. 2. Factoriser $15x^2 + 18x$. 3. Développer et réduire $17x + 4x(5 - x)$. 4. Résoudre…
Pour chaque question, donner uniquement le résultat.
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Développer $3x(4 + 8x)$.
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Factoriser $15x^2 + 18x$.
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Développer et réduire $17x + 4x(5 - x)$.
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Résoudre l'équation $5x - 7 = 3$.
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Résoudre l'équation $2x + 5 = -x - 4$.
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Le nombre $-3$ est-il solution de l'équation $4x + 12 = 0$ ?
Pour chaque question, donner uniquement le résultat. 1. Réduire l'expression $3a - 1 - 4(2a + 3)$. 2. Développer et réduire $6(3 - 1{,}5x) - 9x$. 3. Factoriser…
Pour chaque question, donner uniquement le résultat.
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Réduire l'expression $3a - 1 - 4(2a + 3)$.
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Développer et réduire $6(3 - 1{,}5x) - 9x$.
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Factoriser $8x + 12$.
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Résoudre l'équation $3x - 2 = 25$.
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Résoudre l'équation $7x + 4 = 2x + 19$.
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Calculer la valeur de $2x^2 - 3x$ pour $x = -2$.
Valeur d'une expression
Une expression contient une lettre, par exemple $x$. Pour calculer sa valeur pour $x = 4$, on remplace $x$ par 4 en gardant les opérations, puis on calcule en respectant les priorités.
Pour chaque question, donner uniquement le résultat. 1. Développer $3(4x - 2)$. 2. Réduire $7x - 2x + 4$. 3. Factoriser $27x + 3$. 4. Calculer la valeur de $2x + 5$ pour…
Pour chaque question, donner uniquement le résultat.
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Développer $3(4x - 2)$.
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Réduire $7x - 2x + 4$.
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Factoriser $27x + 3$.
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Calculer la valeur de $2x + 5$ pour $x = 4$.
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Résoudre l'équation $x + 7 = 3$.
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Le nombre $2$ est-il solution de l'équation $3x + 2 = 8$ ?
Pour chaque question, donner uniquement le résultat. 1. Développer $-2(x - 3)$. 2. L'expression $3(x + 4)$ est-elle une somme ou un produit ? 3. Réduire $3x \times 4$.…
Pour chaque question, donner uniquement le résultat.
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Développer $-2(x - 3)$.
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L'expression $3(x + 4)$ est-elle une somme ou un produit ?
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Réduire $3x \times 4$.
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Résoudre l'équation $4x + 2 = 0$.
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Résoudre l'équation $x - 5 = -2$.
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Calculer la valeur de $2x - 3$ pour $x = -1$.
Équations du premier degré
Une équation est une égalité contenant une inconnue. Une solution est une valeur de l'inconnue pour laquelle l'égalité est vraie.
Tester un nombre : on remplace l'inconnue par ce nombre et on compare les deux membres. Pour $3x + 2 = 8$ avec $x = 2$ : $3 \times 2 + 2 = 8$, donc 2 est solution.
Imagine une balance en équilibre : tant qu'on fait la même chose des deux côtés, elle reste en équilibre.
Pour $\dfrac{x}{3} - 1 = 2$ : on ajoute 1, $\dfrac{x}{3} = 3$, puis on multiplie par 3 : $x = 9$.
Pour chaque question, donner uniquement le résultat. 1. Réduire l'expression $3a - 1 - 4(2a + 3)$. 2. Développer et réduire $6(3 - 1{,}5x) - 9x$. 3. Factoriser…
Pour chaque question, donner uniquement le résultat.
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Réduire l'expression $3a - 1 - 4(2a + 3)$.
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Développer et réduire $6(3 - 1{,}5x) - 9x$.
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Factoriser $8x + 12$.
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Résoudre l'équation $3x - 2 = 25$.
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Résoudre l'équation $7x + 4 = 2x + 19$.
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Calculer la valeur de $2x^2 - 3x$ pour $x = -2$.
Pour chaque question, donner uniquement le résultat. 1. Résoudre l'équation $3(2x - 1) = x + 12$. 2. Résoudre l'équation $2(x - 3) = 5x + 3$. 3. Résoudre l'équation…
Pour chaque question, donner uniquement le résultat.
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Résoudre l'équation $3(2x - 1) = x + 12$.
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Résoudre l'équation $2(x - 3) = 5x + 3$.
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Résoudre l'équation $\dfrac{x}{3} - 1 = 2$.
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Factoriser $6x^2 + 9x$, puis calculer la valeur de cette expression pour $x = -1$.
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Développer et réduire $2x(x + 3) - x(x - 1)$.
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Le nombre $4$ est-il solution de l'équation $x^2 - 2x = 10$ ?
Programmes de calcul et mise en équation
Revenons à Lucas et Emma. Avec $x$ le nombre choisi :
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Lucas : $(x + 5) \times 3$, soit $3(x + 5)$ ;
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Emma : $x \times 3 + 15$, soit $3x + 15$.
Pour un problème, on suit toujours les mêmes étapes :
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choisir l'inconnue ;
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mettre le problème en équation ;
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résoudre ;
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vérifier et répondre par une phrase.
On considère le programme de calcul suivant : choisir un nombre $x$, lui ajouter $5$, puis multiplier le résultat par $3$. 1. Écrire l'expression obtenue en fonction de…
On considère le programme de calcul suivant : choisir un nombre $x$, lui ajouter $5$, puis multiplier le résultat par $3$.
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Écrire l'expression obtenue en fonction de $x$.
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Développer cette expression.
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Résoudre l'équation $3(x + 5) = 24$.
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Résoudre l'équation $5 - 2x = 11$.
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Réduire l'expression $2x + 3 - 5x + 1$.
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Un carré de côté $(c + 2)$ cm a pour périmètre $36\,\text{cm}$. Résoudre l'équation $4(c + 2) = 36$.
On considère deux programmes de calcul. Programme A : choisir un nombre, le tripler, puis ajouter $15$. Programme B : choisir un nombre, lui ajouter $5$, puis multiplier…
On considère deux programmes de calcul.
Programme A : choisir un nombre, le tripler, puis ajouter $15$.
Programme B : choisir un nombre, lui ajouter $5$, puis multiplier le résultat par $3$.
On note $x$ le nombre choisi.
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Écrire l'expression obtenue avec le programme A.
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Écrire l'expression obtenue avec le programme B.
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Montrer que les deux programmes donnent le même résultat quel que soit le nombre choisi.
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Déterminer le nombre à choisir pour obtenir $0$ avec le programme A.
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Résoudre l'équation $3x + 15 = -x + 3$.
Un triangle équilatéral de côté $(x + 1)$ cm et un carré de côté $x$ cm ont le même périmètre. 1. Exprimer le périmètre du triangle en fonction de $x$. 2. Exprimer le…
Un triangle équilatéral de côté $(x + 1)$ cm et un carré de côté $x$ cm ont le même périmètre.
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Exprimer le périmètre du triangle en fonction de $x$.
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Exprimer le périmètre du carré en fonction de $x$.
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Développer et réduire $3(x + 1) - 4x$.
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Résoudre l'équation $3(x + 1) = 4x$, puis donner le périmètre commun des deux figures.
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Mathis a $x$ ans. Sa mère a quatre fois son âge. La somme de leurs âges est $45$ ans. Écrire une équation qui traduit cette situation.
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Résoudre l'équation de la question 5 et donner l'âge de la mère de Mathis.
Retour au début : Lucas et Emma trouvent toujours le même résultat parce que $3(x + 5) = 3x + 15$ est une identité.
L'essentiel
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Développer : $k(a + b) = ka + kb$. Factoriser : mettre en facteur le terme commun. Réduire : regrouper les termes de même nature.
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Valeur d'une expression : on remplace la lettre par le nombre, avec des parenthèses pour les négatifs.
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Solution d'une équation : valeur qui rend l'égalité vraie. On résout en faisant la même opération des deux côtés.
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Pour prouver que deux programmes de calcul sont équivalents, on développe et on réduit avec la lettre.
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Pour un problème : inconnue, équation, résolution, vérification, phrase de réponse.