L'espace

Dans le monde de la conception de jeux vidéo, les objets sont définis par leurs dimensions. Indiquer combien de dimensions ($0$, $1$, $2$ ou $3$) ont les éléments suivants que l'on trouve dans une chambre :

1. a) Le câble d'un casque audio tendu.

1. b) L'écran plat d'un moniteur (sans compter son épaisseur).

1. c) Une boîte où l'on range les jeux de la console.

1. d) Un point lumineux au plafond.

Imaginer que les murs, le sol et le plafond de votre salle de classe sont des plans. Indiquer la position relative :

1. a) du plan du sol et du plan du plafond.
2. b) du plan du mur du tableau et du plan du mur des fenêtres (qui est à côté).
3. c) d'une droite formée par l'angle entre deux murs et du plan du sol.

On sait que par deux points de l'espace passe une unique droite.

1. a) Combien de droites peuvent passer par un seul point de l'espace ?
2. b) Combien de plans peuvent contenir une seule droite ?
3. c) Combien de points non alignés faut-il au minimum pour définir un unique plan ?

Observer les arêtes de ce cube et déterminer la position relative (parallèles, sécantes ou non coplanaires) des paires de droites suivantes qui contiennent les arêtes :

1. a) La droite passant par les points $A$ et $B$ par rapport à celle passant par $C$ et $D$.
2. b) La droite passant par $A$ et $B$ par rapport à celle passant par $B$ et $C$.
3. c) La droite passant par $A$ et $B$ par rapport à celle passant par $G$ et $H$.

Dans l'espace, il existe des droites qui ne sont pas parallèles mais qui ne se coupent jamais. Ces droites sont dites non coplanaires. Observer le dessin de la rampe de skate et donner la position relative :

1. a) du bord supérieur de la rampe ($r$) et de la ligne de la base au sol ($s$).
2. b) du bord vertical du garde-corps ($t$) et de la droite $s$.

Lucie observe la structure d'une étagère métallique dans sa salle de classe et affirme : « La barre verticale avant gauche et la barre horizontale arrière de l'étagère du haut ne se touchent nulle part ; elles sont donc forcément des droites parallèles, exactement comme les lignes que je trace sur mon cahier ». Identifier et expliquer l'erreur de raisonnement de Lucie, nommer la position relative réelle de ces deux barres dans l'espace à trois dimensions et expliquer pourquoi sa déduction aurait été correcte sur une feuille de papier en deux dimensions.

Considérer un cube (hexaèdre régulier) de base inférieure $ABCD$ et de base supérieure $EFGH$, dont les arêtes verticales sont $AE$, $BF$, $CG$ et $DH$. Identifier les positions relatives des arêtes indiquées :

1. a) L'arête $AB$ par rapport à l'arête $EF$.
2. b) L'arête $AD$ par rapport à l'arête $CG$.
3. c) L'arête $GH$ par rapport à l'arête $AB$.

Étant donnée une pyramide régulière à base carrée, on nomme ses arêtes de base $b_1, b_2, b_3, b_4$ et ses arêtes latérales $a_1, a_2, a_3, a_4$. Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses, en justifiant :

1. a) Deux arêtes latérales quelconques sont des droites non coplanaires.
2. b) Une arête de base et l'arête latérale qui part de l'une de ses extrémités sont des droites sécantes.
3. c) Deux arêtes de base opposées sont parallèles entre elles.

Dessiner sur votre cahier (ou décrire) la situation d'une droite et d'un plan dans les cas suivants :

1. a) La droite est parallèle au plan (penser à un néon du plafond et au sol).
2. b) La droite est contenue dans le plan (penser à une ligne peinte sur le sol).
3. c) La droite est sécante au plan (penser à un crayon qui traverse une feuille de papier).

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Dans une pièce aux murs perpendiculaires, on considère l'un des coins du plafond comme origine. On trace une droite imaginaire qui traverse la pièce depuis ce coin jusqu'au coin opposé du sol (diagonale de la pièce) :

1. a) Quelle est la position relative de cette droite par rapport au plan du sol ?
2. b) Cette droite coupe-t-elle la droite formée par la jonction de deux murs latéraux ? Justifier la réponse.
3. c) Combien de points communs la diagonale a-t-elle avec le plan de l'un des murs ?

Un décorateur d'intérieur veut installer un câble de guirlande lumineuse LED qui traverse une pièce rectangulaire de $6 \text{ m}$ de long, $4 \text{ m}$ de large et $3 \text{ m}$ de haut. Le câble doit aller d'un coin du sol ($A$) jusqu'au coin opposé du plafond ($G$).

1. a) Calculer la longueur minimale du câble s'il doit être tendu à l'intérieur de la pièce (la diagonale du pavé droit).
2. b) Si le décorateur décide de faire passer le câble le long des murs (sans traverser l'air), quelle serait la plus courte distance entre ces deux mêmes points ? (Indice : penser au patron de la pièce.)
3. c) Indiquer combien d'arêtes de la pièce sont parallèles à la droite qui contient l'arête verticale où se trouve le point $A$.

Dans la conception d'un chapiteau publicitaire en forme de prisme droit à base triangulaire, on s'intéresse à la relation entre ses plans. On considère le plan $\pi$ qui contient la base inférieure du prisme :

1. a) Indiquer quelles faces du prisme définissent des plans sécants au plan $\pi$.
2. b) Indiquer quelles arêtes du prisme sont parallèles au plan $\pi$.
3. c) Quelle figure géométrique obtient-on à l'intersection d'une face latérale avec le plan de la base ?

Imaginer que vous concevez une structure pour un parc d'aventures. Vous avez un cube géant dont les sommets sont nommés $A, B, C, D$ (base inférieure) et $E, F, G, H$ (base supérieure, de sorte que $E$ est au-dessus de $A$, $F$ au-dessus de $B$, etc.).

On trace une droite qui passe par les milieux des arêtes $AE$ et $CG$, et une autre droite qui relie les sommets $B$ et $H$ :

1. a) Indiquer la position relative de ces deux droites dans l'espace. Justifier si elles sont sécantes, parallèles ou non coplanaires.
2. b) Si l'on trace un plan passant par les points $B$, $D$ et $H$, quel type de section (figure plane) obtient-on en coupant le cube ?
3. c) Combien d'arêtes du cube sont sécantes au plan défini par la face $ADHE$ ?

De nombreux solides sont engendrés par la rotation d'une figure plane autour d'un axe. On les appelle solides de révolution. Sur le dessin, on voit trois objets avec leur axe de rotation. Identifier quelle figure (rectangle, triangle rectangle ou demi-disque) a engendré chacun d'eux en tournant autour de cet axe :

1. a) Une canette de soda cylindrique.
2. b) Un cône de signalisation.
3. c) Une boule de pétanque.

Les solides dont toutes les faces sont des polygones sont appelés polyèdres. Dans tout polyèdre convexe, on a une relation célèbre appelée formule d'Euler : $\text{Faces} + \text{Sommets} = \text{Arêtes} + 2$.

Vérifier si cette formule est satisfaite pour un cube, sachant qu'il a $6$ faces, $8$ sommets et $12$ arêtes. Écrire le calcul.

Un gymnase a une toiture en forme de prisme droit à base hexagonale régulière, dont les bases supérieure et inférieure sont des hexagones et dont les faces latérales sont des rectangles.

1. a) Avant de compter les arêtes ou d'appliquer une formule, estimer à vue, en justifiant, si ce solide aura plus d'arêtes que la somme de ses faces et de ses sommets, ou si c'est le contraire.
2. b) Compter de façon ordonnée le nombre de faces ($C$), de sommets ($V$) et d'arêtes ($A$) du prisme et vérifier si l'estimation initiale était juste grâce à la formule d'Euler ($C + V = A + 2$).
3. c) Justifier pourquoi le nombre total d'arêtes obtenu est raisonnable, en tenant compte du nombre d'arêtes de chaque base et du nombre d'arêtes verticales qui relient les deux bases.

Un architecte conçoit un monument d'avant-garde qui est un polyèdre convexe. Pour vérifier sa structure, il doit contrôler la relation d'Euler. Le monument a $8$ faces hexagonales et $6$ faces carrées.

1. a) Calculer le nombre total d'arêtes ($A$) du polyèdre.
2. b) En utilisant la relation d'Euler, déterminer le nombre de sommets ($V$) du monument.

On coupe un cylindre droit de rayon $r = 4$ cm et de hauteur $h = 10$ cm par un plan. Décrire la figure plane obtenue si :

1. a) Le plan est parallèle aux bases du cylindre.
2. b) Le plan est perpendiculaire aux bases et passe par leurs centres.
3. c) Le plan est oblique par rapport aux bases et ne les coupe pas.

Un archéologue a trouvé une pièce de cristal en forme d'octaèdre régulier parfait. Pour la protéger, il décide de construire une boîte en bois en forme de cube qui s'ajuste exactement aux sommets de l'octaèdre.

1. a) Si chaque arête de l'octaèdre mesure $10 \text{ cm}$, calculer le nombre de faces, de sommets et d'arêtes du solide et vérifier si la relation d'Euler est satisfaite.
2. b) Expliquer en justifiant quelle relation existe entre les centres des faces du cube en bois et les sommets de l'octaèdre.
3. c) Si l'on coupe l'octaèdre par un plan parallèle à l'une de ses faces et passant exactement par le centre du solide, quel polygone obtient-on comme section ?