Repérage dans un pavé droit : abscisse, ordonnée, altitude

Les trois coordonnées d'un point

Dans un plan, on repère un point avec deux nombres : l'abscisse et l'ordonnée. Dans l'espace, on ajoute un troisième nombre : l'altitude, qui indique la hauteur au-dessus du sol.

Pour un pavé droit $OABCDEFG$, on choisit un sommet comme origine $O$. Les trois arêtes qui partent de $O$ donnent les trois axes :

Les coordonnées d'un point sont écrites dans l'ordre : (abscisse ; ordonnée ; altitude), séparées par des points-virgules.

Pour lire les coordonnées d'un sommet, on part de $O$ et on compte combien de fois on avance dans chaque direction. Si $OA = 4\text{ cm}$, $OC = 3\text{ cm}$ et $OD = 2\text{ cm}$, on a $A(4\,;\,0\,;\,0)$, $C(0\,;\,3\,;\,0)$ et $D(0\,;\,0\,;\,2)$. Chaque point d'un axe a deux coordonnées nulles. L'origine, elle, a pour coordonnées $O(0\,;\,0\,;\,0)$.

Placer un point, milieu, point intérieur

Pour placer un point $M(x\,;\,y\,;\,z)$, on suit un chemin à partir de $O$ : on avance de $x$ le long de l'axe des abscisses, puis de $y$ parallèlement à l'axe des ordonnées, puis on monte de $z$ parallèlement à l'axe des altitudes. Le dessin en perspective cavalière n'est qu'une aide : c'est le chemin qui compte.

Un point est à l'intérieur du pavé (ou sur sa surface) quand ses trois coordonnées restent entre $0$ et la dimension correspondante. Pour un pavé de dimensions $a$, $b$ et $c$ : $0 \leqslant x \leqslant a$, $0 \leqslant y \leqslant b$ et $0 \leqslant z \leqslant c$.

Pour un déplacement, on ajoute ou on retire aux coordonnées. Si un objet monte de $1{,}5\text{ m}$ et avance de $3\text{ m}$ selon l'axe des abscisses, son altitude augmente de $1{,}5$ et son abscisse de $3$. Les autres coordonnées ne changent pas.

Pour le milieu d'un segment, on calcule la moyenne des coordonnées de ses extrémités, coordonnée par coordonnée. Par exemple, le milieu de $[EF]$ avec $E(2\,;\,1\,;\,0)$ et $F(6\,;\,5\,;\,0)$ est $\left(\dfrac{2+6}{2}\,;\,\dfrac{1+5}{2}\,;\,\dfrac{0+0}{2}\right) = (4\,;\,3\,;\,0)$. Pourquoi ? Pour trouver le milieu de deux nombres sur une graduation, on prend le nombre au milieu, c'est-à-dire leur moyenne. Ici, on le fait trois fois, une fois par axe.

Calculer une distance avec Pythagore

Dans un pavé, les arêtes sont perpendiculaires deux à deux. Si $A(5\,;\,0\,;\,0)$ et $B(5\,;\,4\,;\,0)$, seule l'ordonnée change, donc $AB = 4$. Quand une seule coordonnée change, la distance est la différence entre les deux valeurs.

Quand plusieurs coordonnées changent, on construit des triangles rectangles et on applique le théorème de Pythagore.

Pour montrer qu'un triangle est rectangle dans le repère, on repère l'angle droit sur une arête. Par exemple, $A(5\,;\,0\,;\,0)$, $B(5\,;\,4\,;\,0)$ et $C(5\,;\,4\,;\,3)$ : $[AB]$ est parallèle à l'axe des ordonnées et $[BC]$ est parallèle à l'axe des altitudes. Ces deux directions sont perpendiculaires, donc $ABC$ est rectangle en $B$.

Problèmes en plusieurs étapes et angle avec le sol

Dans un problème, on enchaîne souvent plusieurs étapes : coordonnées, milieu, distance, puis éventuellement un angle. Pour un angle dans un triangle rectangle, on utilise le cosinus :

Pour trouver l'angle qu'une direction fait avec le sol, on forme le triangle rectangle avec la projection de la direction sur le sol. On calcule alors le cosinus, puis on utilise la touche $\cos^{-1}$ de la calculatrice.

Pour revenir à la lampe du gymnase : elle est décrite par ses trois coordonnées, et sa distance à un coin du sol se calcule en appliquant deux fois le théorème de Pythagore.

L'essentiel

• Un point de l'espace se repère par trois coordonnées $(x\,;\,y\,;\,z)$ : abscisse, ordonnée, altitude, dans cet ordre.

• Pour placer un point, on part de $O$ et on avance de $x$, puis de $y$, puis on monte de $z$.

• Un point est dans un pavé de dimensions $a$, $b$ et $c$ si $0 \leqslant x \leqslant a$, $0 \leqslant y \leqslant b$ et $0 \leqslant z \leqslant c$.

• Les coordonnées du milieu d'un segment sont les moyennes des coordonnées des extrémités.

• Une distance dans l'espace se calcule avec Pythagore, une ou deux fois. La diagonale d'un pavé de dimensions $a$, $b$ et $c$ vaut $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.

• Pour un angle avec le sol, on utilise $\cos = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ dans le triangle rectangle formé avec la projection au sol.