Programmes de calcul et identités
À la fête du collège, Lucas fait un tour de « magie » : « Pense à un nombre. Ajoute 5. Multiplie par 3. Retire 15. Divise par 3. Dis-moi ton résultat, je devine ton nombre de départ ! » Emma essaie avec 7 et trouve 7. Avec 12, elle trouve 12. Est-ce de la magie, ou est-ce que ça marche toujours ? Pour le savoir, il faut remplacer le nombre choisi par une lettre. C'est ce que tu vas apprendre ici.
Un programme de calcul, c'est une expression littérale
Un programme de calcul est une suite d'instructions qu'on applique à un nombre de départ. Pour traiter tous les nombres à la fois, on appelle $x$ le nombre choisi et on écrit, étape par étape, ce qu'on obtient.
Attention à l'ordre des opérations. Si le programme dit « ajouter $3$, puis multiplier le résultat par $2$ », il faut des parenthèses : on écrit $2(x + 3)$ et non $2x + 3$.
On considère le programme de calcul suivant : Choisir un nombre. Ajouter 3. Multiplier le résultat par 2. a) Appliquer ce programme au nombre $5$, puis au nombre $-4$.…
On considère le programme de calcul suivant :
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Choisir un nombre.
-
Ajouter 3.
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Multiplier le résultat par 2.
- a) Appliquer ce programme au nombre $5$, puis au nombre $-4$.
- b) Exprimer le résultat en fonction du nombre de départ $x$.
Égalité vraie parfois ou identité ?
Pour simplifier une expression, on utilise la distributivité : $k(a + b) = ka + kb$ et $k(a - b) = ka - kb$.
Une égalité entre deux expressions contenant une lettre peut être vraie pour certaines valeurs de la lettre seulement. Par exemple, $x^2 = 2x$ est vraie pour $x = 2$ ($4 = 4$) mais fausse pour $x = 3$ ($9 \neq 6$).
Par exemple, $2(x + 1) = 2x + 2$ est une identité : en développant le membre de gauche, on obtient exactement le membre de droite.
Développer et réduire l'expression $A = 3(x + 4) - 2x$. Vérifier ensuite que $A$ et $x + 12$ sont égales pour $x = 7$.
Développer et réduire l'expression $A = 3(x + 4) - 2x$.
Vérifier ensuite que $A$ et $x + 12$ sont égales pour $x = 7$.
Pour chaque égalité, dire si elle est vraie pour $x = 2$, puis pour $x = 3$ : a) $x^2 = 2x$ b) $2(x+1) = 2x + 2$ Laquelle de ces deux égalités est une identité ?…
Pour chaque égalité, dire si elle est vraie pour $x = 2$, puis pour $x = 3$ :
- a) $x^2 = 2x$
- b) $2(x+1) = 2x + 2$
Laquelle de ces deux égalités est une identité ? Justifier.
Démontrer que deux programmes sont équivalents
Deux programmes de calcul sont équivalents s'ils donnent toujours le même résultat, quel que soit le nombre choisi. Quand on teste quelques nombres, on peut conjecturer (deviner) qu'ils sont équivalents. Pour le démontrer, on écrit chaque programme avec la lettre $x$, on développe et on réduit, puis on compare.
Retour au tour de Lucas : avec $x$ comme nombre de départ, on obtient $(x + 5) \times 3 = 3x + 15$, puis $3x + 15 - 15 = 3x$, puis $3x : 3 = x$. Le résultat est toujours le nombre de départ. Ce n'est pas de la magie, c'est une identité.
Programme A : choisir un nombre, le multiplier par $4$, ajouter $6$, diviser par $2$. Programme B : choisir un nombre, multiplier par $2$, ajouter $3$. a) Exprimer le…
Programme A : choisir un nombre, le multiplier par $4$, ajouter $6$, diviser par $2$.
Programme B : choisir un nombre, multiplier par $2$, ajouter $3$.
- a) Exprimer le résultat de chaque programme en fonction du nombre $x$ choisi.
- b) Que peut-on conjecturer ? Le démontrer.
Développer un produit de deux parenthèses
Certains programmes contiennent un carré ou un produit de deux parenthèses, comme $(x + 1)^2$ ou $(x - 1)(x + 1)$. On les développe en distribuant chaque terme de la première parenthèse sur chaque terme de la seconde :
$$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$$Pour $(x+1)^2 = (x+1)(x+1)$, la figure ci-dessous le montre avec des aires.
L'aire totale vaut $(x+1)^2$. C'est aussi la somme des quatre morceaux : $x^2 + x + x + 1$. Donc :
$$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$$Ces calculs aident à calculer de tête. Par exemple, $(x+1)^2 - x^2 = x^2 + 2x + 1 - x^2 = 2x + 1$. Avec $x = 20$, $21^2 - 20^2 = 41$.
Montrer que l'égalité $(x+3)^2 - (x-3)^2 = 12x$ est une identité. Utiliser ce résultat pour calculer mentalement $103^2 - 97^2$.
Montrer que l'égalité $(x+3)^2 - (x-3)^2 = 12x$ est une identité.
Utiliser ce résultat pour calculer mentalement $103^2 - 97^2$.
On considère le programme de calcul suivant : Choisir un nombre $x$. Calculer son carré. Soustraire au résultat le produit du nombre précédent $x-1$ par le nombre…
On considère le programme de calcul suivant :
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Choisir un nombre $x$.
-
Calculer son carré.
-
Soustraire au résultat le produit du nombre précédent $x-1$ par le nombre suivant $x+1$.
- a) Montrer que le résultat de « carré de $x$ moins le produit $(x-1)(x+1)$ » est toujours égal à $1$.
- b) Utiliser ce résultat pour calculer $2\,025^2 - 2\,024 \times 2\,026$.
On choisit un nombre $x$ et on applique deux programmes : Programme 1 : ajouter $5$, élever au carré, soustraire $25$. Programme 2 : multiplier $x$ par $x + 10$. a)…
On choisit un nombre $x$ et on applique deux programmes :
Programme 1 : ajouter $5$, élever au carré, soustraire $25$.
Programme 2 : multiplier $x$ par $x + 10$.
- a) Exprimer le résultat de chaque programme sous forme développée et réduite.
- b) Les deux programmes donnent-ils toujours le même résultat ? Justifier.
- c) Trouver tous les nombres $x$ pour lesquels le programme 2 donne $0$.
Démontrer une propriété sur les nombres entiers
Les identités servent aussi à prouver qu'une propriété est vraie pour tous les entiers. Quelques outils :
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un entier pair s'écrit $2k$ et un entier impair s'écrit $2k + 1$ ($k$ entier) ;
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un multiple de $3$ s'écrit $3k$ ;
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deux entiers consécutifs s'écrivent $n$ et $n+1$.
Dans ce type d'exercice, on commence par tester quelques valeurs pour comprendre, puis on démontre avec une lettre. Le test ne remplace jamais la démonstration.
Léa affirme : « Si je choisis un nombre, que je lui ajoute $1$, que j'élève le résultat au carré, puis que je retranche le carré du nombre de départ, j'obtiens toujours…
Léa affirme : « Si je choisis un nombre, que je lui ajoute $1$, que j'élève le résultat au carré, puis que je retranche le carré du nombre de départ, j'obtiens toujours un nombre impair. »
- a) Tester l'affirmation avec $x = 3$ et $x = -5$.
- b) Démontrer l'affirmation pour tout nombre entier $x$.
Soit $n$ un entier. On appelle $S$ la somme de trois entiers consécutifs : $n$, $n+1$ et $n+2$. a) Montrer que $S$ est un multiple de $3$. b) Montrer que la somme des…
Soit $n$ un entier. On appelle $S$ la somme de trois entiers consécutifs : $n$, $n+1$ et $n+2$.
- a) Montrer que $S$ est un multiple de $3$.
- b) Montrer que la somme des carrés de deux entiers consécutifs est toujours un nombre impair.
- c) Le produit de quatre entiers consécutifs augmenté de $1$ est-il un carré ? Tester avec $1, 2, 3, 4$ puis avec $2, 3, 4, 5$. Que peut-on conjecturer ?
L'essentiel
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Un programme de calcul se traduit par une expression littérale : on appelle $x$ le nombre choisi et on écrit chaque étape, avec des parenthèses si besoin.
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Une identité est une égalité vraie pour toutes les valeurs de la lettre. Un contre-exemple suffit pour montrer qu'une égalité n'en est pas une.
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Pour démontrer une identité ou l'équivalence de deux programmes, on développe et réduit chaque expression, puis on compare. Tester des nombres ne suffit pas.
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Pour développer $(a+b)(c+d)$, on multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde. Attention : $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$.
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Pour les entiers : pair $= 2k$, impair $= 2k+1$, multiple de $3$ $= 3k$, consécutifs $= n$ et $n+1$.
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Retour au début : le tour de Lucas marche toujours, car $\big((x+5) \times 3 - 15\big) : 3 = x$ est une identité.