Écriture scientifique
Une baleine bleue peut peser environ $180\,000$ kg. Un globule rouge mesure à peine $0{,}0000075$ m de diamètre. Compter les zéros est long, et on se trompe vite. Les scientifiques écrivent ces mesures ainsi : $1{,}8 \times 10^{5}$ kg et $7{,}5 \times 10^{-6}$ m. Plus court, plus clair, moins d'erreurs. Comment fait-on pour passer d'une écriture à l'autre ?
Qu'est-ce que l'écriture scientifique ?
Pour écrire les nombres très grands ou très petits, on utilise les puissances de 10 : $10^{3} = 1\,000$, $10^{5} = 100\,000$ et $10^{-3} = \dfrac{1}{1\,000} = 0{,}001$, $10^{-6} = \dfrac{1}{1\,000\,000} = 0{,}000001$.
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Nombre grand (supérieur à 10) → exposant $n$ positif : $180\,000 = 1{,}8 \times 10^{5}$.
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Nombre petit (compris entre 0 et 1) → exposant $n$ négatif : $0{,}0000075 = 7{,}5 \times 10^{-6}$.
Pour qu'un nombre soit correctement écrit en écriture scientifique, il doit avoir un seul chiffre non nul avant la virgule. Indiquer lesquels des nombres suivants sont…
Pour qu'un nombre soit correctement écrit en écriture scientifique, il doit avoir un seul chiffre non nul avant la virgule.
Indiquer lesquels des nombres suivants sont correctement écrits en écriture scientifique :
- a) $12,5 \cdot 10^4$
- b) $3,07 \cdot 10^8$
- c) $0,95 \cdot 10^3$
- d) $7 \cdot 10^{11}$
La baleine bleue est le plus grand animal de la planète et peut peser environ $180\,000$ kilogrammes. Écrire cette quantité en écriture scientifique.
La baleine bleue est le plus grand animal de la planète et peut peser environ $180\,000$ kilogrammes. Écrire cette quantité en écriture scientifique.
Passer de l'écriture décimale à l'écriture scientifique
L'exposant indique de combien de rangs on décale la virgule.
On peut aussi passer d'une écriture fractionnaire à l'écriture scientifique : $\dfrac{783}{1\,000\,000} = 0{,}000783 = 7{,}83 \times 10^{-4}$.
Exprimer en écriture décimale (en écrivant tous les chiffres) les distances astronomiques suivantes, données en écriture scientifique : a) Distance à la Lune :…
Exprimer en écriture décimale (en écrivant tous les chiffres) les distances astronomiques suivantes, données en écriture scientifique :
- a) Distance à la Lune : $3,84 \cdot 10^5$ km
- b) Distance au Soleil : $1,5 \cdot 10^8$ km
Écrire en écriture décimale (forme développée) les données scientifiques suivantes extraites d'un magazine de technologie : a) Le nombre de transistors dans un…
Écrire en écriture décimale (forme développée) les données scientifiques suivantes extraites d'un magazine de technologie :
- a) Le nombre de transistors dans un microprocesseur avancé est de $4,5 \cdot 10^9$.
- b) Le débit de transfert d'un câble à fibre optique est de $2,4 \cdot 10^7$ bits par seconde.
- c) La capacité de stockage d'un serveur est de $1,25 \cdot 10^{12}$ octets.
Les préfixes du système international
Les puissances de 10 servent à définir les préfixes des unités.
| Préfixe | Symbole | Puissance de 10 |
|---|---|---|
| nano | n | $10^{-9}$ |
| micro | µ | $10^{-6}$ |
| milli | m | $10^{-3}$ |
| kilo | k | $10^{3}$ |
| méga | M | $10^{6}$ |
| giga | G | $10^{9}$ |
La lumière se déplace à une vitesse constante de $3 \cdot 10^8$ mètres par seconde. Un processeur de dernière génération effectue une opération élémentaire toutes les…
La lumière se déplace à une vitesse constante de $3 \cdot 10^8$ mètres par seconde. Un processeur de dernière génération effectue une opération élémentaire toutes les $0,5$ nanosecondes (une nanoseconde vaut $10^{-9}$ secondes).
Quelle distance la lumière parcourt-elle pendant le temps exact que met le processeur pour effectuer une seule opération ? Exprimer le résultat en millimètres et en écriture scientifique.
Comparer des nombres en écriture scientifique
On regarde d'abord l'exposant : c'est lui qui décide. Si les exposants sont égaux, on compare les nombres devant la puissance de 10.
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$9{,}5 \times 10^{3} < 9{,}45 \times 10^{4}$ : les mantisses se ressemblent, mais $10^{3} < 10^{4}$ décide.
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$3 \times 10^{7} > 2{,}99 \times 10^{7}$ : même exposant, on compare $3$ et $2{,}99$.
Recopier et compléter dans votre cahier avec le signe $>$ (supérieur à) ou $<$ (inférieur à) en comparant ces nombres en écriture scientifique : a) $4,2 \cdot 10^5$…
Recopier et compléter dans votre cahier avec le signe $>$ (supérieur à) ou $<$ (inférieur à) en comparant ces nombres en écriture scientifique :
- a) $4,2 \cdot 10^5$ ____ $1,8 \cdot 10^6$
- b) $9,5 \cdot 10^3$ ____ $9,45 \cdot 10^3$
- c) $3 \cdot 10^7$ ____ $2,99 \cdot 10^7$
Sur une droite graduée régulièrement, on représente les nombres $2$, $3$ et $4$. Chaque unité est divisée en dix parties égales par des graduations secondaires.…
Sur une droite graduée régulièrement, on représente les nombres $2$, $3$ et $4$. Chaque unité est divisée en dix parties égales par des graduations secondaires. Identifier les nombres décimaux correspondant aux points marqués par les lettres $A$ (situé à la cinquième graduation entre $2$ et $3$) et $B$ (situé à la cinquième graduation entre $3$ et $4$) :
Ranger les valeurs suivantes dans l'ordre croissant, mais avant cela, les exprimer toutes sous forme de nombre décimal « ordinaire » (écriture décimale) afin de vérifier…
Ranger les valeurs suivantes dans l'ordre croissant, mais avant cela, les exprimer toutes sous forme de nombre décimal « ordinaire » (écriture décimale) afin de vérifier votre précision :
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$A = 345 \cdot 10^6$
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$B = 0,034 \cdot 10^{10}$
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$C = 3,5 \cdot 10^8$
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$D = 3,400 \cdot 10^5$
Une fois les valeurs rangées, effectuer l'opération suivante et exprimer le résultat final en écriture scientifique : $\frac{A + C}{D}$. (Remarque : faire très attention aux exposants lors de l'addition).
Calculer en écriture scientifique
Multiplier ou diviser : on calcule d'un côté les nombres décimaux, de l'autre les puissances de 10. Pour les puissances, on revient à la définition : $10^{5} \times 10^{3} = 100\,000 \times 1\,000 = 10^{8}$. À la fin, on ajuste pour retrouver un nombre entre 1 et 10.
Additionner ou soustraire : on le peut directement seulement si les puissances de 10 sont les mêmes. Sinon, on transforme l'un des termes, puis on factorise.
Un célèbre influenceur* a atteint $2,4 \cdot 10^6$ abonnés sur son compte principal. S'il a $850\,000$ abonnés sur son compte secondaire, combien d'abonnés a-t-il en…
Un célèbre influenceur a atteint $2,4 \cdot 10^6$ abonnés sur son compte principal. S'il a $850\,000$ abonnés sur son compte secondaire, combien d'abonnés a-t-il en tout ? Exprimer le résultat final en écriture scientifique.
Un ordinateur effectue environ $5 \cdot 10^9$ opérations par seconde. Combien d'opérations effectuera-t-il en une minute ($60$ secondes) ? Exprimer le résultat en…
Un ordinateur effectue environ $5 \cdot 10^9$ opérations par seconde. Combien d'opérations effectuera-t-il en une minute ($60$ secondes) ? Exprimer le résultat en écriture scientifique.
Un globule rouge a un diamètre d'environ $7,5 \cdot 10^{-6}$ mètres. Si l'on pouvait placer en file $100$ millions de globules rouges les uns à côté des autres, quelle…
Un globule rouge a un diamètre d'environ $7,5 \cdot 10^{-6}$ mètres. Si l'on pouvait placer en file $100$ millions de globules rouges les uns à côté des autres, quelle longueur totale atteindraient-ils ? Exprimer le résultat final en écriture scientifique et en kilomètres.
La distance moyenne de la Terre au Soleil est de $1,496 \cdot 10^8$ km, tandis que la distance moyenne de Mars au Soleil est de $2,279 \cdot 10^8$ km. À un instant…
La distance moyenne de la Terre au Soleil est de $1,496 \cdot 10^8$ km, tandis que la distance moyenne de Mars au Soleil est de $2,279 \cdot 10^8$ km. À un instant donné, les trois astres sont parfaitement alignés, la Terre étant située entre le Soleil et Mars.
Calculer la distance qui sépare la Terre de Mars à cet instant. Exprimer le résultat en écriture scientifique et en mètres.
Ordre de grandeur et estimation
L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de 10 la plus proche de ce nombre. Pour le trouver, on arrondit le nombre devant la puissance de 10 à l'unité : si $a < 5$ on garde $10^{n}$, sinon on prend $10^{n+1}$.
| Objet | Taille | Ordre de grandeur |
|---|---|---|
| Un atome | $10^{-10}$ m | $10^{-10}$ m |
| Un globule rouge | $7{,}5 \times 10^{-6}$ m | $10^{-5}$ m |
| Distance Terre-Lune | $3{,}84 \times 10^{8}$ m | $10^{8}$ m |
| Distance Terre-Soleil | $1{,}496 \times 10^{11}$ m | $10^{11}$ m |
La distance moyenne de la Terre au Soleil est d'environ $149\,600\,000$ kilomètres. a) Exprimer cette quantité en mètres en utilisant l'écriture scientifique. b)…
La distance moyenne de la Terre au Soleil est d'environ $149\,600\,000$ kilomètres.
- a) Exprimer cette quantité en mètres en utilisant l'écriture scientifique.
- b) Indiquer quel est l'ordre de grandeur de cette distance exprimée en mètres.
Une équipe de recherche environnementale prélève un échantillon de sédiments dans les marais de la Camargue. L'analyse au microscope détermine qu'il y a une…
Une équipe de recherche environnementale prélève un échantillon de sédiments dans les marais de la Camargue. L'analyse au microscope détermine qu'il y a une concentration moyenne de $3,8 \cdot 10^8$ micro-organismes par gramme de sol. La masse totale de l'échantillon prélevé est de $4,2 \cdot 10^2\text{ grammes}$.
- a) Estimer : sans calculatrice et sans effectuer d'opérations détaillées sur le papier, arrondir les mantisses à l'unité la plus proche et déduire mentalement l'ordre de grandeur (l'exposant de la puissance de $10$) du nombre total de micro-organismes dans l'échantillon. Expliquer brièvement votre raisonnement.
- b) Calculer : effectuer la multiplication en détaillant toutes les étapes, en appliquant les propriétés de l'écriture scientifique, et exprimer le résultat avec une mantisse adaptée.
- c) Vérifier : comparer votre estimation initiale avec le résultat exact obtenu. L'ordre de grandeur coïncide-t-il ? Justifier en quoi faire une estimation préalable aide à détecter des erreurs de calcul.
Le corps d'un adolescent contient environ $2,5 \cdot 10^{13}$ globules rouges. Si chacun de ces globules a un diamètre d'à peine $7 \cdot 10^{-6}$ mètres, imaginer qu'on…
Le corps d'un adolescent contient environ $2,5 \cdot 10^{13}$ globules rouges. Si chacun de ces globules a un diamètre d'à peine $7 \cdot 10^{-6}$ mètres, imaginer qu'on puisse tous les placer en file, les uns derrière les autres, pour former une très longue chaîne.
Calculer la longueur totale de cette chaîne en kilomètres et exprimer le résultat en écriture scientifique. Combien de fois cette chaîne pourrait-elle faire le tour de la Terre si la circonférence à l'équateur mesure environ $4 \cdot 10^4$ km ?