Translations

Identifier laquelle des propositions suivantes décrit correctement une translation :

1. a) Tourner une clé dans une serrure.
2. b) Le mouvement d'un tiroir que l'on ouvre.
3. c) Le reflet d'une montagne dans un lac.
4. d) Le mouvement des aiguilles d'une horloge.

Observer le quadrillage, dans lequel le côté d'un carreau mesure une unité, et déterminer les coordonnées du vecteur de translation $\vec{u}$ qui permet de déplacer le point $P$ jusqu'à la position du point $P'$.

Dans un jeu vidéo, un personnage est au point $C(5 ; -2)$. Le joueur appuie sur une combinaison de touches qui équivaut à une translation. Si le personnage apparaît soudain au point $C'(1 ; 3)$, quel est le vecteur de translation $\vec{w}$ qui a agi ?

Soit le segment d'extrémités $A(-3 ; 1)$ et $B(1 ; 2)$. Calculer les coordonnées du segment transformé $A'B'$ après une translation de vecteur $\vec{v}(4 ; 3)$. Représenter les deux segments dans un repère.

Appliquer une translation de vecteur $\vec{v} = (6 ; 2)$ au triangle de sommets $V_1(0 ; 0)$, $V_2(2 ; 0)$ et $V_3(1 ; 3)$.

1. Écrire les coordonnées des nouveaux sommets.

2. Comment est l'aire du nouveau triangle par rapport à celle du triangle initial ? Justifier la réponse.

Si l'on translate le point $Q$ par le vecteur $\vec{v}(-4 ; 7)$, on obtient le point $Q'(0 ; 2)$. Quelles étaient les coordonnées du point initial $Q$ avant la translation ?

Dans une application de graphisme, un adolescent crée un logo. Il a dessiné un triangle de sommets $P(2 ; -1)$, $Q(5 ; 0)$ et $R(3 ; 4)$. Pour terminer son dessin, il doit translater le triangle de sorte que le sommet $P$ soit placé à l'origine du repère $O(0 ; 0)$.

1. a) Donner les coordonnées du vecteur de translation $\vec{v}$ à appliquer.
2. b) Calculer les nouvelles coordonnées des sommets $Q'$ et $R'$ après cette translation.

Soit le cercle de centre $C(3 ; -2)$ et de rayon $r = 4$ unités :

1. a) Déterminer les coordonnées du centre $C'$ du cercle translaté selon le vecteur $\vec{u}\,(-5 ; 6)$.
2. b) Quel est le rayon du nouveau cercle ?
3. c) Si un point $P(7 ; -2)$ appartient au cercle initial, calculer les coordonnées de son image $P'$ par la translation.

On considère le quadrilatère $ABCD$ de sommets $A(1 ; 1)$, $B(4 ; 1)$, $C(5 ; 3)$ et $D(2 ; 3)$, représenté sur la figure.

1. a) Appliquer au quadrilatère une translation de vecteur $\vec{t}(3 ; -4)$ et écrire les coordonnées des sommets de la figure image $A'B'C'D'$.
2. b) Calculer l'aire du quadrilatère initial et vérifier si la translation a modifié sa valeur. Justifier la réponse à l'aide des propriétés des isométries.

Soient les points $A(-2 ; 3)$ et $B(4 ; 7)$. On leur applique une translation $T_1$ de vecteur $\vec{u} = (k ; 2k)$. Après ce déplacement, le point $A$ se transforme en $A'$. On sait que la norme du vecteur $\vec{AA'}$ est $10$ unités et que $k > 0$ :

1. Déterminer la valeur de $k$.

2. Calculer les coordonnées de $A'$ et $B'$.

3. Démontrer que le segment $A'B'$ a la même longueur que le segment $AB$. Quelle propriété des translations est ainsi démontrée ?

Un architecte conçoit une frise en répétant un motif polygonal. Les sommets du motif de base sont $A(0 ; 0)$, $B(2 ; 0)$, $C(3 ; 2)$ et $D(1 ; 2)$. Pour générer la frise, il applique successivement la translation de vecteur $\vec{t} = (4 ; 0)$.

1. Calculer les coordonnées des sommets du troisième motif de la frise (celui obtenu en appliquant deux fois consécutivement la translation au motif d'origine).

2. On veut que la frise soit la composée de deux translations différentes, $\vec{t_1}$ et $\vec{t_2}$, de sorte que $\vec{t_1} + \vec{t_2} = (4 ; 0)$ et que la première translation $\vec{t_1}$ déplace le motif vers le haut de $2$ unités. Quels doivent être le vecteur $\vec{t_1}$ et le vecteur $\vec{t_2}$ ?

Un objet subit deux translations consécutives. La première est définie par le vecteur $\vec{u} = (2 ; 5)$ et la seconde par le vecteur $\vec{v} = (3 ; -1)$. Quel est le vecteur de la translation unique équivalente à ces deux translations successives ?

Un robot d'entrepôt se déplace sur le sol du bâtiment en suivant une trajectoire rectiligne. Le technicien a défini son mouvement par la composée de trois translations successives :

1. $\vec{v_1} = (5 ; -2)$

2. $\vec{v_2} = (-3 ; 7)$

3. $\vec{v_3} = (a ; b)$

Si le robot part du point $(0 ; 0)$ et termine au point $(4 ; 4)$ après les trois déplacements, quelles doivent être les coordonnées du troisième vecteur $\vec{v_3}$ ?

On dit que deux translations sont réciproques si, en les appliquant l'une après l'autre, le point final coïncide avec le point initial (on obtient l'identité).

1. a) Si un objet a été translaté selon le vecteur $\vec{v} = (-7 ; 4)$, quel est le vecteur de la translation réciproque ?
2. b) Si l'on applique au point $M(x ; y)$ la translation $\vec{u} = (3 ; -2)$ puis sa réciproque, quelles sont les coordonnées du point obtenu ?
3. c) Un bateau se déplace du port $A(10 ; 20)$ jusqu'à une bouée $B$ selon le vecteur $\vec{v} = (50 ; -30)$. À cause d'une tempête, il doit revenir immédiatement au port. Quel vecteur de translation doit-il suivre pour revenir exactement au point $A$ ?

Un drone de surveillance part d'une base située au point $B(12 ; 15)$, que vous voyez marqué sur le quadrillage de la figure. Il effectue un premier déplacement selon le vecteur $\vec{u} = (-8 ; 4)$ pour se placer au-dessus d'un objectif. Après avoir terminé sa mission, il reçoit un ordre de déplacement d'urgence selon le vecteur $\vec{v} = (5 ; -10)$.

1. a) Calculer les coordonnées finales du drone après les deux déplacements.

1. b) Déterminer le vecteur de translation unique $\vec{w}$ qui permettrait au drone de revenir directement de sa position finale à la base $B$ en un seul déplacement.

1. c) Si chaque unité du quadrillage représente $10$ mètres, calculer la distance totale (norme) qu'il parcourrait lors de ce trajet de retour.

Un architecte conçoit une frise en répétant un motif polygonal. Les sommets du motif de base sont $A(0 ; 0)$, $B(2 ; 0)$, $C(3 ; 2)$ et $D(1 ; 2)$. Pour générer la frise, il applique successivement la translation de vecteur $\vec{t} = (4 ; 0)$.

1. Calculer les coordonnées des sommets du troisième motif de la frise (celui obtenu en appliquant deux fois consécutivement la translation au motif d'origine).

2. On veut que la frise soit la composée de deux translations différentes, $\vec{t_1}$ et $\vec{t_2}$, de sorte que $\vec{t_1} + \vec{t_2} = (4 ; 0)$ et que la première translation $\vec{t_1}$ déplace le motif vers le haut de $2$ unités. Quels doivent être le vecteur $\vec{t_1}$ et le vecteur $\vec{t_2}$ ?

Un triangle équilatéral a pour sommets les points $A(0 ; \sqrt{3})$, $B(-1 ; 0)$ et $C(1 ; 0)$. On lui applique une translation qui amène le centre de gravité du triangle à l'origine du repère $O(0 ; 0)$.

Remarque : le centre de gravité d'un triangle de sommets $(x_1 ; y_1), (x_2 ; y_2), (x_3 ; y_3)$ se calcule par $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3} ; \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$.

1. Calculer les coordonnées du centre de gravité initial $G$.

2. Déterminer le vecteur de translation $\vec{v}$ nécessaire.

3. Calculer les nouvelles coordonnées des sommets $A', B'$ et $C'$.

On définit un déplacement du plan comme la composée de trois translations successives de vecteurs $\vec{a} = (3, -1)$, $\vec{b} = (-5, 4)$ et $\vec{c} = (2, -3)$.

1. Démontrer par le calcul que cette composée équivaut à la translation identité.

2. Que signifie géométriquement le fait que le résultat soit l'identité ?

3. Si un carré d'aire $16$ unités d'aire subit ces trois translations, quelle sera son aire finale ? Justifier la réponse à l'aide des propriétés des isométries.