Équations du premier degré

Classer les égalités mathématiques suivantes en identités ou équations, en expliquant brièvement pourquoi dans chaque cas :

1. a) $3x + 5 = 20$

1. b) $2(x + 1) = 2x + 2$

1. c) $x + x = 2x$

1. d) $x - 7 = 10$

Vérifier si les valeurs proposées pour l'inconnue sont solutions des équations suivantes :

1. a) $2x - 3 = 7$ $x = 5$ est-il la solution ?

1. b) $\frac{x}{4} + 1 = 6$ $x = 20$ est-il la solution ?

1. c) $3(x - 2) = 12$ $x = 4$ est-il la solution ?

Traduire ces phrases du langage courant en langage algébrique en utilisant la lettre $x$ pour représenter le nombre inconnu :

1. a) Le double d'un nombre plus huit est égal à vingt.

1. b) La moitié d'un nombre moins cinq donne trois.

1. c) Un nombre augmenté de sept unités est égal à son triple.

1. d) La somme d'un nombre et de son suivant est quinze.

Résoudre mentalement ces équations en une seule étape en appliquant la règle de l'addition (ce qui est ajouté passe de l'autre côté en étant soustrait, et inversement) :

1. a) $x + 12 = 30$

1. b) $x - 8 = 15$

1. c) $7 + x = 2$

1. d) $x - 10 = -4$

Déterminer la valeur de $x$ dans les équations suivantes en appliquant la règle du produit (ce qui multiplie passe de l'autre côté en divisant, et inversement) :

1. a) $5x = 45$

1. b) $\frac{x}{3} = 7$

1. c) $-2x = 14$

1. d) $\frac{2x}{5} = 4$

Résoudre les équations simples en deux étapes suivantes, en regroupant d'abord les termes en $x$ dans un membre et les nombres dans l'autre :

1. a) $3x + 4 = 19$

1. b) $5x - 2 = 13$

1. c) $10 - 2x = 4$

1. d) $25 = 4x + 1$

Observer la balance ci-dessous, qui est en équilibre. Si les masses circulaires représentent l'inconnue $x$ et si les masses carrées représentent chacune $1$ kg, écrire l'équation que représente l'image et déterminer la valeur de $x$ en utilisant la logique de l'équilibre (retirer la même quantité dans les deux plateaux).

Marc doit résoudre l'équation $-3x + 8 = -7$. Dans son devoir, il a écrit pas à pas :

• Étape 1 : $-3x = -7 - 8$

• Étape 2 : $-3x = -15$

• Étape 3 : $x = \frac{-15}{3} = -5$

1. a) Indiquer à quelle étape l'erreur a été commise et expliquer quelle règle de transposition des termes (ou de la balance) a été appliquée de manière incorrecte.
2. b) Corriger l'exercice en résolvant correctement l'équation, puis vérifier numériquement le résultat dans l'équation initiale pour montrer que c'est bien la solution.

Manon est allée à la papeterie et a acheté 3 cahiers identiques. Si elle a payé avec un billet de $10$ € et qu'on lui a rendu $1$ €, poser une équation où $x$ est le prix d'un cahier et la résoudre pour savoir combien a coûté chacun.

Résoudre l'équation du premier degré suivante en appliquant correctement la distributivité et le regroupement des termes semblables :

$4(2x - 3) - 2(5 - 3x) = 3(x + 1) + 5$

Déterminer la valeur de l'inconnue $x$ dans l'équation suivante comportant des dénominateurs, en simplifiant au préalable par le calcul du plus petit multiple commun :

$\frac{x - 3}{4} - \frac{x - 5}{6} = \frac{x - 1}{9}$

Observer l'équation avec parenthèses suivante : $$4 \cdot \left(\frac{x}{3} - 1\right) = 8$$

Sarah et David proposent deux stratégies différentes pour commencer à la résoudre :

• Méthode de Sarah : Elle applique d'abord la distributivité pour supprimer la parenthèse en multipliant le 4 par chaque terme intérieur, puis elle réduit au même dénominateur.

• Méthode de David : Comme le 4 multiplie tout le membre de gauche, il divise directement le membre de droite par 4 : $\frac{x}{3} - 1 = \frac{8}{4}$.

1. a) Résoudre l'équation en suivant pas à pas la méthode de Sarah.
2. b) Résoudre l'équation en suivant pas à pas la méthode de David.
3. c) Comparer les deux démarches : laquelle est la plus directe et réduit le risque de se tromper avec les fractions ? La méthode de David aurait-elle été valable si l'équation avait été $4 \cdot \left(\frac{x}{3} - 1\right) + 2 = 8$ ? Justifier la réponse.

Résoudre l'équation du premier degré suivante, en faisant particulièrement attention aux signes négatifs devant les fractions et à l'utilisation du plus petit multiple commun pour simplifier les dénominateurs :

Concevoir deux équations du premier degré distinctes qui vérifient les conditions suivantes :

1. a) Une équation avec l'inconnue $x$ dans les deux membres dont la solution est exactement $x = -4$. Expliquer brièvement comment elle a été construite en veillant à conserver l'équilibre de l'égalité.
2. b) Une équation de la forme $a \cdot x + b = c \cdot x + d$ (avec $a, b, c, d$ entiers non nuls) qui n'a pas de solution, c'est-à-dire qui, une fois simplifiée, aboutit à une expression du type $0x = k$ avec $k \neq 0$. Justifier pourquoi personne ne pourrait trouver un nombre qui la vérifie.

On considère l'équation du premier degré suivante, dans laquelle intervient un paramètre inconnu $k$ :

1. a) Appliquer la distributivité, regrouper les termes semblables et écrire l'équation sous la forme réduite $(A - k) \cdot x = B$, en indiquant les valeurs numériques de $A$ et de $B$.
2. b) Déterminer la valeur que doit prendre $k$ pour que l'équation n'ait aucune solution (cas $0x = b$ avec $b \neq 0$). Expliquer pourquoi, pour cette valeur précise, il est impossible de trouver une quelconque $x$.
3. c) Existe-t-il une valeur de $k$ pour laquelle l'équation a une infinité de solutions (identité, cas $0x = 0$) ? Justifier la conclusion en analysant les deux membres de l'équation réduite.

Le périmètre d'un terrain de padel rectangulaire est de $56$ mètres. On sait que la longueur du terrain dépasse de $2$ mètres le double de sa largeur. Calculer les dimensions du terrain en posant une équation du premier degré.

Marc a acheté dans une boutique en ligne trois jeux de stratégie et deux pass de combat. Chaque pass de combat coûte moitié moins qu'un jeu. S'il a payé $70$ € au total, quel est le prix d'un jeu et quel est le prix d'un pass de combat ?

L'âge d'une mère est le triple de celui de son fils. Il y a $8$ ans, la somme de leurs âges était de $48$ ans. Quel est l'âge actuel de chacun ?

Le niveau de batterie d'un téléphone portable diminue de façon régulière. Pendant la matinée, un quart de la charge totale a été consommé. L'après-midi, un tiers de ce qui restait après la matinée a été utilisé. S'il reste encore $50\,\%$ de batterie ($40$ unités de charge), quelle est la capacité de charge totale du téléphone ?

Déterminer trois nombres entiers consécutifs tels que la somme du premier et du deuxième dépasse de $15$ unités le troisième nombre.

Observer la balance en équilibre ci-dessous. Si toutes les boîtes bleues sont identiques et pèsent $x$ kilogrammes, et si les masses oranges indiquent leur masse en kg, poser et résoudre l'équation pour déterminer la valeur de $x$.

Dans un service municipal de location de vélos électriques d'une ville française, le tarif pour les usagers sans abonnement comprend un montant fixe de $1,20$ € par déverrouillage plus $0,15$ € par minute de trajet. À la fin de son trajet de retour chez lui, l'application mobile facture à Charles un total de $4,95$ €.

1. a) Écrire une équation du premier degré dans laquelle l'inconnue $m$ représente la durée du trajet en minutes.
2. b) Résoudre l'équation en expliquant quelle opération est effectuée des deux côtés de l'égalité à chaque étape pour isoler l'inconnue.
3. c) Les conditions du service précisent que les trajets dépassant une demi-heure ($30$ minutes) font l'objet d'une pénalité pour utilisation excessive. À partir de la solution, déterminer si Charles doit payer une pénalité ou non, en indiquant combien de minutes il lui restait ou lui manquait pour atteindre cette limite.

Marc et Lucie habitent dans deux villages distants de $24 \text{ km}$. À 10 h 00, Lucie part vers le village de Marc à vélo à une vitesse constante de $18 \text{ km/h}$. Une demi-heure plus tard, Marc part à la rencontre de Lucie en trottinette électrique, à $25 \text{ km/h}$. À quelle distance du village de Lucie se croiseront-ils et à quelle heure aura lieu la rencontre ?

Dans un laboratoire de chimie, on veut diluer une solution de nettoyage. On dispose de $12 \text{ litres}$ d'un liquide contenant $20\%$ d'alcool pur. Quelle quantité d'eau distillée (sans alcool) faut-il ajouter pour que le mélange final ait une concentration en alcool de seulement $15\%$ ?

Une entreprise de graphisme crée des affiches rectangulaires. Dans son dernier modèle, la base mesure $10 \text{ cm}$ de plus que la hauteur. Pour respecter une nouvelle norme, elle décide d'augmenter la base de $5 \text{ cm}$ et de diminuer la hauteur de $2 \text{ cm}$. Si, après ces changements, le périmètre de la nouvelle affiche est de $110 \text{ cm}$, quelles étaient les dimensions initiales de l'affiche ?

L'âge actuel d'un père est le triple de celui de son fils. Il y a cinq ans, la somme de leurs âges était égale à l'âge que le père aura dans dix ans. Quel est l'âge actuel du père et du fils ?

Un réservoir d'eau possède deux robinets de remplissage et une vidange. Le premier robinet peut remplir le réservoir en $6 \text{ heures}$, et le second en $4 \text{ heures}$. Lorsque le réservoir est plein, la vidange peut le vider complètement en $8 \text{ heures}$. Si l'on ouvre en même temps les deux robinets de remplissage et la vidange alors que le réservoir est vide, combien de temps faudra-t-il pour le remplir complètement ?

Un groupe d'amis veut acheter un cadeau d'anniversaire dont le prix est fixe. Si chacun donne $12 \text{ €}$, il leur reste $4 \text{ €}$ pour le papier cadeau. Mais si chacun donne $10 \text{ €}$, il leur manque $12 \text{ €}$ pour pouvoir l'acheter. Combien d'amis composent le groupe et combien coûte le cadeau ?

Déterminer un nombre de trois chiffres ayant les caractéristiques suivantes : le chiffre des dizaines est le double de celui des unités, et celui des centaines est le triple de celui des unités. Si l'on additionne les trois chiffres, on obtient le même résultat que si l'on retranche le chiffre des unités à celui des centaines et que l'on ajoute 8. Une fois l'équation posée, donner ce nombre. (Indice : appeler $x$ le chiffre des unités.)

Dans une station météorologique de montagne de Météo-France, on relève $-2$ °C à 8 h 00 du matin. Sous l'effet de l'ensoleillement, la température monte à un rythme constant de $1,5$ °C par heure. Parallèlement, dans un observatoire situé sur un plateau voisin, la température à 8 h 00 était de $10$ °C, mais l'arrivée d'une masse d'air froid la fait baisser de $0,5$ °C par heure.

1. a) Avant tout calcul, estimer en justifiant si les températures des deux stations seront égales avant ou après 13 h 00 (c'est-à-dire 5 heures après 8 h 00). Justifier l'estimation en comparant l'évolution approximative des deux températures.
2. b) Poser une équation du premier degré dans laquelle l'inconnue $t$ représente le nombre d'heures écoulées depuis 8 h 00 nécessaires pour que les deux stations indiquent exactement la même température. La résoudre pas à pas.
3. c) Déterminer l'heure exacte à laquelle les températures coïncident et la température qu'indiqueront alors les thermomètres. Vérifier si l'estimation de la question a) est confirmée et si les valeurs obtenues sont cohérentes.