Expression d'une fonction

Associer chacune des phrases suivantes à son expression littérale correspondante, où $x$ représente un nombre quelconque et $y$ le résultat de la fonction :

• a) Le résultat est le triple d'un nombre.

• b) Le résultat est le double d'un nombre plus cinq unités.

• c) Le résultat est la moitié d'un nombre.

• d) Le résultat est un nombre soustrait de dix.

• $y = \frac{x}{2}$

• $y = 10 - x$

• $y = 3x$

• $y = 2x + 5$

Un technicien de réparation informatique facture $20$ € pour le déplacement à domicile et $15$ € par heure de travail.

• a) Écrire l'expression littérale de la fonction qui relie le coût total de la facture ($y$) au nombre d'heures travaillées ($x$).

• b) Combien coûtera une réparation qui a duré $3$ heures ?

Une plateforme de musique en streaming propose un abonnement mensuel qui coûte $12\,€$ de frais fixes et facture en plus $0,50\,€$ pour chaque chanson que l'utilisateur décide de télécharger pour l'écouter hors connexion. Sur la figure, vous pouvez voir la représentation graphique de cette situation.

a) Écrire l'expression littérale de la fonction qui relie le nombre de chansons téléchargées, $x$, au coût total mensuel, $y$.

b) Indiquer de quel type de fonction il s'agit (linéaire, affine ou inverse).

c) Si, un mois, un utilisateur paie un total de $24,50\,€$, combien de chansons a-t-il téléchargées ?

Observer le tableau de valeurs suivant qui relie le nombre de billets pour un concert et le prix total. Trouver l'expression littérale qui représente cette fonction :

Dans un laboratoire de physique, on observe comment varie la température d'un liquide lorsqu'on le chauffe. Au début de l'expérience, le liquide est à $15^\circ C$ et sa température augmente à un rythme constant de $3^\circ C$ par minute écoulée.

a) Déterminer l'expression littérale qui permet de calculer la température $T$ en fonction du temps $t$ (en minutes).

b) Quelle température le liquide atteindra-t-il après un quart d'heure de chauffage ?

c) Combien de temps doit s'écouler pour que le liquide atteigne $60^\circ C$ ?

Un jardinier facture un montant fixe de $20€$ par déplacement et $15€$ par heure de travail. Son concurrent ne facture pas de déplacement, mais son tarif est de $22€$ par heure.

a) Écrire l'expression littérale du coût du service de chaque jardinier ($y_1$ et $y_2$) en fonction du nombre d'heures travaillées ($x$).

b) Si nous avons besoin d'un travail qui durera exactement $4$ heures, lequel des deux jardiniers est le plus économique ?

c) Existe-t-il un nombre d'heures de travail pour lequel les deux facturent la même somme ?

Déterminer l'expression littérale de la fonction affine dont la représentation graphique passe par les points $A(1\,;\,4)$ et $B(3\,;\,10)$. Expliquer pas à pas comment calculer le coefficient directeur ($m$) et l'ordonnée à l'origine ($n$).

Une entreprise de messagerie facture l'envoi de colis avec un montant fixe pour l'enlèvement plus un coût par kilomètre de distance. On sait qu'un envoi vers une ville située à $120\ km$ coûte $15,40\ €$, et qu'un envoi vers une autre ville à $200\ km$ coûte $21,80\ €$.

1. a) Déterminer le coefficient directeur de la fonction et indiquer sa signification dans ce contexte.
2. b) Trouver l'expression littérale de la fonction $y = f(x)$.
3. c) Combien l'entreprise facturerait-elle pour un colis livré au point d'enlèvement même ($0\ km$) ? Comment s'appelle cette valeur dans la fonction ?

Un drone de surveillance décolle depuis le toit d'un immeuble situé à une certaine hauteur au-dessus du niveau de la mer. Après $4$ secondes de vol vertical constant, le drone se trouve à $52$ mètres de hauteur. Au bout de $10$ secondes de vol, il atteint $88$ mètres.

1. a) Déterminer l'expression littérale de la fonction qui relie le temps de vol ($x$, en secondes) à la hauteur du drone ($y$, en mètres).
2. b) À quelle hauteur se trouve le toit de l'immeuble ?
3. c) Si le drone a un plafond de vol maximal de $150$ mètres, utiliser l'expression littérale pour calculer pendant combien de secondes il peut monter avant d'atteindre cette limite.

Déterminer la valeur de la variable dépendante $y$ pour les valeurs de la variable indépendante $x$ indiquées dans la fonction suivante :

$y = 4x - 3$

• a) Pour $x = 0$

• b) Pour $x = 1$

• c) Pour $x = 2$

• d) Pour $x = 5$

Recopier et compléter dans votre cahier le tableau de valeurs suivant pour la fonction dont l'expression littérale est $y = -2x + 1$ :

Soit la fonction $f(x) = x^2 + 1$ :

• a) Calculer l'image de $x = 3$. Autrement dit, calculer $f(3)$.

• b) Calculer l'image de $x = -2$. Autrement dit, calculer $f(-2)$.

• c) Calculer l'image de $x = 0$. Autrement dit, calculer $f(0)$.

Soit la fonction dont l'expression littérale est $f(x) = \frac{2x - 6}{3}$ :

a) Calculer les valeurs de $f(0)$, $f(3)$ et $f(-3)$.

b) Déterminer le point d'intersection de la fonction avec l'axe des abscisses (axe $X$).

c) Représenter les points obtenus dans un repère comme celui de la figure (chaque graduation correspond à une unité) et les relier pour tracer la représentation graphique de la fonction.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

On veut entourer d'une corde élastique plusieurs affiches carrées pour une kermesse scolaire. La relation entre la longueur du côté du carré ($x$) et le périmètre total de corde nécessaire ($y$) est donnée par une fonction.

• a) Écrire l'expression littérale de cette fonction.

• b) Si le côté du carré mesure $12$ cm, de combien de corde aurons-nous besoin ?

Observer le tableau de valeurs suivant qui relie deux grandeurs, $x$ et $y$ :

a) Vérifier s'il s'agit d'une fonction inverse (proportionnalité inverse).

b) Écrire son expression littérale.

c) Calculer la valeur de l'image pour $x = 10$.

On souhaite construire un cadre rectangulaire pour un poster avec une baguette de bois de $120 cm$ de longueur totale. En notant $x$ la longueur de la base du rectangle :

a) Écrire l'expression littérale qui relie la hauteur du rectangle ($y$) à sa base ($x$). Aide : rappelez-vous que le périmètre est la somme de tous les côtés.

b) Écrire l'expression littérale qui permet de calculer l'aire ($A$) du rectangle en fonction de sa base ($x$).

c) Si la base mesure $25 cm$, quelle sera l'aire du cadre ?

Identifier laquelle des expressions suivantes correspond à chacune des représentations graphiques décrites ci-dessous :

1. $y = 3x$

2. $y = -2x + 4$

3. $y = 5$

4. $y = \frac{4}{x}$

a) Une droite horizontale passant par le point $(0 ; 5)$.

b) Une fonction linéaire dont la représentation passe par le point $(2 ; 6)$.

c) Une fonction affine décroissante qui coupe l'axe $Y$ au point $(0 ; 4)$.

d) Une hyperbole passant par le point $(1 ; 4)$.

On veut concevoir une affiche rectangulaire dont l'aire totale soit toujours de $36\ m^2$.

1. a) Écrire l'expression littérale de la fonction qui permet de calculer la hauteur ($y$) de l'affiche en fonction de la longueur de sa base ($x$).
2. b) Si, d'après la réglementation, l'affiche ne peut pas avoir une base inférieure à $2$ mètres ni supérieure à $12$ mètres, quel est l'ensemble de définition de cette fonction dans ce contexte réel ?
3. c) De quel type de fonction s'agit-il ? Expliquer ce qui se passe pour la hauteur lorsque la base devient extrêmement grande.

Un groupe d'élèves de 4e veut louer un autocar pour un voyage de fin d'année qui coûte $840\ €$.

1. a) Écrire l'expression littérale qui relie le prix que doit payer chaque élève ($y$) au nombre d'élèves qui s'inscrivent finalement ($x$).
2. b) Au départ, $30$ élèves s'inscrivent, mais une semaine avant, $5$ se désistent. Utiliser l'expression littérale pour calculer de combien augmente le prix pour les élèves qui participent au voyage.
3. c) Si les élèves décident qu'ils ne peuvent pas payer plus de $35\ €$ chacun, quel est le nombre minimal de participants pour que le voyage ait lieu ? Expliquer comment vous l'avez obtenu à partir de l'expression littérale.

Deux réservoirs d'eau identiques, de $500$ litres de capacité, se trouvent dans des situations différentes. Le réservoir A est plein et se vide à un rythme constant de $8$ litres par minute. Le réservoir B contient $120$ litres et se remplit à un rythme constant de $12$ litres par minute.

On note $t$ le temps en minutes, compté à partir du moment où les réservoirs commencent à se vider et à se remplir, et $y$ le volume d'eau en litres.

1. a) Écrire l'expression littérale de la fonction volume-temps de chaque réservoir ($y_A$ et $y_B$).

1. b) À l'aide des expressions précédentes, calculer l'instant exact où les deux réservoirs contiendront la même quantité d'eau.

1. c) Quel volume d'eau y aura-t-il dans chaque réservoir à cet instant ?

Dans un laboratoire de physique, on étudie comment varie la pression d'un gaz lorsque l'on change le volume du récipient qui le contient, à température constante (loi de Boyle). On a observé que lorsque le volume est de $2\ \text{litres}$, la pression est de $6\ \text{atmosphères}$.

1. a) Sachant que la relation est une proportionnalité inverse, écrire l'expression littérale qui relie la pression ($y$) au volume ($x$).
2. b) Calculer, à l'aide de l'expression littérale, quel volume le récipient devrait avoir pour que la pression soit réduite à $1,5\ \text{atmosphère}$.
3. c) Représenter graphiquement la fonction pour des valeurs du volume comprises entre $1$ et $12\ \text{litres}$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Une plateforme de streaming de jeux vidéo propose deux formules mensuelles aux créateurs de contenu. Avec la formule Pro, le créateur reçoit une somme fixe de $15\ €$ par mois et, en plus, $0,20\ €$ par nouvel abonné. Avec la formule Partner, il n'y a pas de somme fixe ; au contraire, la plateforme retient $5\ €$ par mois pour frais de gestion et le créateur reçoit $0,35\ €$ par nouvel abonné.

1. a) Écrire l'expression de la fonction qui représente les revenus nets mensuels pour chaque formule, où $x$ est le nombre d'abonnés et $y$ la somme totale reçue (en euros).

1. b) Si un streamer estime qu'il aura entre $60$ et $70$ abonnés ce mois-ci, quelle formule est la plus avantageuse pour lui ? Justifier la réponse en calculant les valeurs de $y$ de chaque formule pour $x=60$ et pour $x=70$ et en les comparant.

Déterminer l'expression littérale d'une fonction affine dont la représentation graphique est parallèle à la droite passant par les points $P(1\,;\,5)$ et $Q(3\,;\,1)$, et qui coupe en outre l'axe des ordonnées ($Y$) au même point que la fonction $g(x) = 4x - 7$.

1. a) Calculer d'abord le coefficient directeur de la droite passant par $P$ et $Q$.
2. b) Identifier l'ordonnée à l'origine de $g(x)$.
3. c) Écrire l'expression finale de la fonction demandée.