Fréquence et probabilité expérimentale

On a fait tourner $40$ fois l'aiguille d'une roue de $4$ couleurs et on a obtenu ces résultats : rouge $12$ fois, bleu $10$, vert $8$ et jaune $10$.

a) Dresser un tableau avec les effectifs et les fréquences de chaque couleur.

b) Quelle couleur est sortie avec la plus grande fréquence ?

Dans une classe de $30$ élèves, $12$ viennent au collège à vélo ou en trottinette.

a) Quelle est la fréquence de cet événement dans la classe ?

b) Si le collège compte $600$ élèves, combien attendriez-vous qu'il en vienne à vélo ou en trottinette ? Est-ce la valeur exacte ou seulement une estimation ? Pourquoi ?

On a lancé un dé $50$ fois et le $6$ est sorti $8$ fois.

a) Calculer la fréquence de l'événement « obtenir $6$ ».

b) La comparer à la probabilité théorique $\frac{1}{6}$. Le résultat vous semble-t-il raisonnable ?

On lance un dé de plus en plus de fois et on note la fréquence de l'événement « obtenir $4$ » : avec $10$ lancers on obtient $0,2$ ; avec $50$, $0,18$ ; avec $100$, $0,16$ ; avec $500$, $0,164$ ; avec $1\,000$, $0,167$.

a) Vers quelle valeur la fréquence semble-t-elle se stabiliser ?

b) Quel lien y a-t-il entre cette valeur et l'équiprobabilité ?

c) Combien de « quatre » attendriez-vous en $6\,000$ lancers ?

Le graphique montre la fréquence de « face » lorsqu'on lance une pièce un nombre croissant de fois.

a) Lire sur le graphique la fréquence après $80$ lancers.

b) Vers quelle valeur la fréquence semble-t-elle se stabiliser ?

c) Pensez-vous que la pièce soit truquée ? Justifier votre réponse.

En lançant une pièce $200$ fois, on a obtenu $98$ « face ».

a) Calculer la fréquence de l'événement « face ».

b) Soupçonneriez-vous que la pièce est truquée ? Pourquoi ?

Une joueuse de basket a un pourcentage historique de $80\%$ aux lancers francs. Lors du dernier match, elle n'en a réussi que $3$ sur $5$. Son entraîneuse commente : « Aujourd'hui sa probabilité de réussite a baissé ».

a) Êtes-vous d'accord avec l'entraîneuse ? Justifier la réponse en distinguant probabilité et fréquence sur un petit nombre de répétitions.

b) À quoi vous attendriez-vous si elle tirait $100$ lancers francs lors des prochains entraînements ?

Une usine de chaussons contrôle $400$ paires chaque jour et note celles qui présentent un défaut : lundi $8$, mardi $5$, mercredi $10$, jeudi $6$ et vendredi $11$.

a) Calculer la fréquence de paires défectueuses de chaque jour.

b) Calculer la fréquence de paires défectueuses pour toute la semaine.

c) Si on choisit au hasard une paire fabriquée cette semaine-là, quelle probabilité estimeriez-vous qu'elle soit défectueuse ?

Après avoir lancé une pièce $4$ fois et obtenu $3$ « face », Omar affirme : « La probabilité d'obtenir face avec cette pièce est $0,75$ ».

a) Expliquer l'erreur de son affirmation.

b) Que devrait faire Omar pour estimer la probabilité de façon fiable ?

c) Si la pièce est équilibrée, vers quelle valeur se rapprochera la fréquence de « face » quand le nombre de lancers augmente ?

Un osselet (os d'agneau qu'on utilisait comme dé) a été lancé $600$ fois et est tombé avec la face lisse vers le haut $264$ fois.

a) Quelle probabilité expérimentale attribueriez-vous à ce résultat ?

b) Expliquer pourquoi, dans cette expérience, on ne peut pas appliquer l'équiprobabilité.

c) Combien de fois attendriez-vous qu'il tombe ainsi lors des $150$ prochains lancers ?

On lance $100$ fois le couvercle d'un pot et il tombe avec la partie supérieure vers le haut $64$ fois.

a) Estimer la probabilité qu'il tombe face vers le haut.

b) Et qu'il tombe face vers le bas ?

c) Si on le lance $500$ fois de plus, combien de fois peut-on s'attendre à ce qu'il tombe face vers le haut ?

d) Pourquoi ne peut-on pas utiliser l'équiprobabilité avec le couvercle ?

Deux équipes de la classe estiment expérimentalement la probabilité d'obtenir une somme $7$ en lançant deux dés. L'équipe A lance $30$ fois et obtient cet événement $6$ fois ; l'équipe B lance $300$ fois et l'obtient $50$ fois.

a) Calculer les fréquences des deux équipes.

b) Calculer la probabilité théorique de « somme $7$ » en utilisant l'équiprobabilité.

c) Quelle estimation est la plus fiable ? Pourquoi ?