Représentation graphique d'une fonction

Sur la carte suivante, on a marqué les points où se trouvent plusieurs objets d'un jeu vidéo d'aventure. Donner les coordonnées de chacun des éléments : le Coffre ($C$), la Clé ($L$), la Potion ($P$) et le Bouclier ($E$).

Une plateforme de streaming facture un abonnement fixe de $5\ €$ par mois plus $2\ €$ par film de nouveauté loué.

1. a) Indiquer quelle est la variable indépendante et quelle est la variable dépendante.
2. b) En notant $x$ le nombre de films et $y$ le coût total, compléter le tableau de valeurs suivant :

Représenter dans un repère les points du tableau suivant, qui relie le temps écoulé (en secondes) et la distance parcourue (en mètres) par une trottinette électrique qui roule à vitesse constante. Est-il pertinent de relier les points par une ligne continue ?

Un site de vidéo à la demande propose un tarif de location de films pour lequel les trois premiers jours coûtent $4$ € au total, et à partir du quatrième jour le prix augmente de $1,5$ € par jour de retard supplémentaire.

1. a) Compléter le tableau de valeurs suivant :

1. b) Représenter graphiquement la fonction.
2. c) La fonction est-elle continue ou discontinue ? Expliquer s'il est pertinent de relier les points du graphique par une ligne continue dans ce contexte réel.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

On étudie la température d'une réaction chimique en laboratoire. La température $T$ (en $^\circ C$) suit la fonction $T(x) = |x - 5| + 10$, où $x$ est le temps en minutes écoulé depuis l'ajout d'un réactif.

1. a) Construire un tableau de valeurs pour $x$ de 0 à 10 minutes.
2. b) Représenter graphiquement la fonction. Vous remarquerez qu'elle a la forme d'un « V ».
3. c) À quelle minute la température minimale est-elle atteinte ? Quelle est cette valeur ?
4. d) Déterminer l'intervalle où la fonction est décroissante et expliquer ce que cela signifie physiquement dans l'expérience.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Un réservoir cylindrique de 1000 litres se remplit avec un tuyau d'un débit constant de 50 litres par minute. Cependant, le réservoir a une fuite à la base qui fait perdre 10 litres par minute.

1. a) Écrire l'expression de la fonction qui relie le volume d'eau $V$ (en litres) au temps $t$ (en minutes), en supposant qu'il y a 100 litres au départ.
2. b) Représenter graphiquement la fonction. De quel type de fonction s'agit-il (linéaire ou affine) ?
3. c) Combien de temps faudra-t-il pour le remplir complètement ? Indiquer cette valeur comme borne de l'ensemble de définition de la fonction dans cette situation concrète.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Le graphique suivant montre la température d'une canette de soda depuis qu'on la sort du réfrigérateur et qu'on la laisse sur la table de la cuisine.

1. a) Quelle était la température du soda au moment de le sortir ($t = 0$) ?
2. b) Quelle est sa température au bout de $20$ minutes ?
3. c) La fonction est-elle croissante ou décroissante ? Que signifie cela dans le contexte du problème ?

La trajectoire d'un ballon de basket lancé est donnée par la courbe d'une fonction qui relie la hauteur (en mètres) à la distance horizontale depuis le joueur (en mètres).

1. a) Déterminer les points d'intersection de la courbe avec les axes $X$ et $Y$.
2. b) Quelle est la hauteur du ballon au moment du lancer ($x=0$) ?
3. c) Si le panier est situé à une hauteur de $3$ mètres, à quelle distance horizontale du joueur se trouve-t-il si le ballon y entre exactement ?

Un drone décolle du sol, monte jusqu'à une certaine altitude, se stabilise pour prendre des photos puis redescend jusqu'à atterrir. Observer le graphique et répondre :

1. a) Quelle altitude maximale le drone a-t-il atteinte ?
2. b) Pendant combien de temps le drone a-t-il volé à cette altitude maximale ?
3. c) Sur quel intervalle de temps le drone était-il en train de descendre ?

Observer le graphique qui représente la vitesse d'un cycliste pendant les $10$ premières minutes de son entraînement.

1. a) Identifier les intervalles de temps sur lesquels la fonction est croissante, décroissante ou constante.
2. b) Quelle a été la vitesse maximale atteinte ?
3. c) À quelle minute a-t-il commencé à freiner jusqu'à s'arrêter ?

On chauffe un récipient d'eau et on relève sa température chaque minute. Une fois atteints $100^{\circ}C$, la flamme est maintenue constante pendant $3$ minutes puis éteinte, et l'eau refroidit lentement.

1. a) Tracer un graphique qualitatif qui représente cette situation (temps sur l'axe $X$, température sur l'axe $Y$).

1. b) Sur votre graphique, identifier la zone de croissance, la zone de fonction constante et la zone de décroissance.

1. c) Si la température ambiante est de $20^{\circ}C$, vers quelle valeur tendra la température de l'eau après un long moment ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Le graphique suivant montre l'évolution de la batterie du téléphone portable de Lucie depuis qu'elle quitte la maison le matin jusqu'à son retour l'après-midi. Observer le graphique et répondre aux questions suivantes :

1. a) Quel pourcentage de batterie avait-elle en quittant la maison ? Et 6 heures après son départ ?

1. b) Indiquer les intervalles de temps sur lesquels la fonction est croissante et expliquer ce qui s'est probablement passé pendant cette période.

1. c) À quel moment atteint-elle pour la première fois sa valeur minimale et pendant combien de temps reste-t-elle à cette valeur ?

1. d) Quels sont le maximum et le minimum de la fonction ?

Un technicien du son mesure le niveau de bruit (en décibels, dB) pendant la répétition d'un groupe de musique. Le graphique montre les niveaux enregistrés sur une période de $10$ minutes.

1. a) Indiquer les intervalles de temps pendant lesquels le bruit augmente (fonction croissante).
2. b) Repérer les maximums locaux et les minimums locaux de la fonction. Que signifient ces points dans le contexte de la répétition ?
3. c) S'agit-il d'une fonction continue ? Justifier la réponse.

Le graphique suivant représente la distance à laquelle se trouve un coureur de haies par rapport à la ligne d'arrivée pendant une course de 400 mètres.

Analyser le graphique et répondre :

1. a) À quels moments le coureur s'arrête-t-il ou tombe-t-il ? Comment cela se voit-il sur le graphique ?
2. b) La vitesse du coureur est-elle constante pendant toute la course ? Comparer les pentes des tronçons rectilignes.
3. c) Quelle est la signification du point d'intersection avec l'axe $Y$ et de celui avec l'axe $X$ ?

Un drone de surveillance effectue un vol de reconnaissance. Le graphique montre son altitude $h$ (en mètres) en fonction du temps $t$ (en minutes). Le drone décolle, monte jusqu'à 40 m, se déplace horizontalement pendant un certain temps, remonte jusqu'à 60 m pour éviter un obstacle, descend rapidement à 20 m pour observer quelque chose en détail, puis atterrit.

À partir du graphique que vous devez esquisser avec ces données :

1. a) Quel est le taux de variation (coefficient directeur) sur le tronçon de descente rapide si celle-ci a lieu entre la 10e et la 12e minute ?
2. b) Indiquer l'intervalle de temps où la fonction est constante.
3. c) Si le drone a une autonomie de 15 minutes, quel est l'ensemble de définition réel de la fonction si l'atterrissage se termine exactement à cette limite ?

Un créateur de contenu Twitch analyse l'évolution de ses abonnés pendant un événement spécial de 10 heures. La fonction qui décrit le nombre d'abonnés $S$ en fonction du temps $t$ (en heures) a le comportement suivant :

• Pendant les 2 premières heures, la croissance est constante et linéaire, de 100 à 500 abonnés.

• Entre la 2e et la 5e heure, le nombre d'abonnés reste stable.

• À partir de la 5e heure, à cause d'un « raid » d'une autre chaîne, les abonnés augmentent selon l'expression $S(t) = 100t$ jusqu'à la 8e heure.

• Pendant les 2 dernières heures, la chaîne perd des abonnés de façon constante jusqu'à en avoir 600.

Représenter graphiquement la fonction (placer le temps $t$ sur l'axe horizontal, de 0 à 10 heures, et le nombre d'abonnés $S$ sur l'axe vertical), déterminer l'ensemble de définition et l'ensemble image dans ce contexte, et identifier les intervalles de croissance et de décroissance.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Deux amis, Mathis et Hélène, économisent pour s'acheter une console. Le graphique montre l'argent dont dispose chacun à la fin de chaque semaine.

1. a) Qui a commencé avec le plus d'argent économisé ?
2. b) À quelle semaine leurs économies sont-elles égales ? Combien d'argent ont-ils à ce moment-là ?
3. c) Indiquer pendant quelles périodes Hélène économise plus vite que Mathis (là où sa courbe est plus « raide »).
4. d) Quel est l'ensemble de définition des deux fonctions d'après le graphique ?

Deux frères, Chloé et Hugo, partent de chez eux pour aller au collège situé à 1 km.

• Hugo part à 8 h 00 et marche à vitesse constante ; il met 20 minutes pour arriver.

• Chloé part 5 minutes plus tard, court pendant les 500 premiers mètres (elle met 4 minutes) puis marche le reste à la même vitesse que Hugo.

1. a) Représenter sur un même graphique la distance à la maison des deux enfants en fonction du temps écoulé depuis 8 h 00.
2. b) À quelle heure et à quelle distance de la maison Chloé dépasse-t-elle Hugo ? Trouver le point d'intersection des deux courbes.
3. c) Qui arrive le premier au collège et avec quelle différence de temps ?

Pour qu'un graphique représente une fonction, chaque valeur de la variable indépendante $x$ doit correspondre à une unique valeur de la variable dépendante $y$. Observer les graphiques suivants et justifier lequel ne représente pas une fonction.

Analyser les trois graphiques suivants. Indiquer, en justifiant, lequel ne représente pas une fonction et expliquer pourquoi à l'aide de la définition d'une fonction que vous avez étudiée.

Observer les quatre graphiques suivants. L'un représente la hauteur d'une balle lâchée d'une certaine hauteur qui rebondit sur le sol, un autre le remplissage avec de l'eau, à débit constant, d'un verre en forme de cône (pointe en bas), un autre la vitesse d'une voiture qui freine devant un feu jusqu'à s'arrêter, et le dernier ne représente pas une fonction. Dans les situations réelles, $x$ est le temps.

1. a) Identifier chacun en justifiant votre réponse à partir de l'allure de la courbe (croissance, courbure, continuité).

1. b) Expliquer pourquoi l'un des graphiques ne peut pas être considéré comme une fonction.

Décider si les fonctions suivantes sont continues ou discontinues en justifiant brièvement la réponse :

1. a) La profondeur d'une piscine selon la distance au bord (en supposant que le fond est en pente).
2. b) Le nombre de spectateurs d'un concert selon l'heure de la journée.
3. c) Le coût d'un appel téléphonique facturé par minute entamée.

La fonction $f(t)$ représente la profondeur (en mètres) à laquelle se trouve un drone sous-marin d'exploration en fonction du temps (en minutes) écoulé depuis son immersion. Sa courbe est la suivante :

1. a) Déterminer l'ensemble de définition et l'ensemble image de la fonction à partir du graphique.

1. b) Pendant combien de temps le drone est-il resté à une profondeur constante de $4$ mètres ?

1. c) À quels instants le drone se trouve-t-il à $2$ mètres de profondeur ?

Une entreprise de location de trottinettes électriques propose un tarif pour les touristes. Le coût $y$ en euros dépend de la durée $x$ en minutes. La courbe de la fonction est discontinue car l'entreprise facture par tranches de 30 minutes entamées. Chaque durée $x$ appartient à une seule tranche, et l'extrémité droite de chaque tranche y est incluse :

• Si $0 < x \le 30$ minutes : 5 € (forfait de déverrouillage et d'utilisation initiale).

• Si $30 < x \le 60$ minutes : 8 €.

• Si $60 < x \le 90$ minutes : 11 €.

• Et ainsi de suite, avec 3 € de plus à chaque tranche, jusqu'à un maximum de 3 heures (180 min).

Par exemple, 30 minutes exactement coûtent 5 €, mais 31 minutes coûtent 8 €.

1. a) Tracer la courbe « en escalier » de la fonction pour $0 < x \le 180$. Utiliser des points pleins et des points vides aux sauts pour indiquer la valeur prise à chaque extrémité.

1. b) Indiquer les valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe est discontinue.

1. c) Calculer la somme que paierait une personne qui utilise la trottinette pendant 105 minutes.

1. d) Cette relation est-elle une fonction ? Justifier si une même durée peut correspondre à deux prix différents.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.