Problèmes et équations

Si l'on ajoute $12$ au triple d'un nombre, on obtient $48$. De quel nombre s'agit-il ?

Manon a acheté $3$ tee-shirts identiques pour l'équipe d'athlétisme et un short de sport qui coûtait $15 \text{ €}$. Si elle a dépensé $60 \text{ €}$ au total, combien a coûté chaque tee-shirt ?

Déterminer trois nombres entiers consécutifs dont la somme est égale à $54$.

Arthur a $4$ ans de plus que sa sœur Lucie. Si la somme de leurs âges est de $26$ ans, quel est l'âge de chacun des deux ?

Dans un problème de classe, on demande de calculer dans combien d'années l'âge d'un père sera le triple de celui de sa fille. La fille a actuellement $12$ ans et le père a $40$ ans. Mathis a proposé l'équation suivante pour le résoudre : $40 + x = 3 \cdot 12 + x$.

1. a) Repérer l'erreur de raisonnement commise par Mathis et expliquer avec vos propres mots pourquoi sa mise en équation contredit le fait que le temps s'écoule de la même façon pour les deux personnes.
2. b) Écrire l'équation correcte qui représente le problème et la résoudre pour déterminer dans combien d'années la condition sera remplie.

Sur un réseau social, le nombre d'abonnés d'Alba est le triple de celui de son frère Xavier. Si Alba perdait $150$ abonnés et que Xavier en gagnait $50$, ils auraient exactement le même nombre d'abonnés. Combien d'abonnés chacun a-t-il actuellement ?

L'âge d'une mère est actuellement le triple de celui de son fils. Il y a $6$ ans, la somme de leurs âges était de $40$ ans. Quel est l'âge actuel du fils et de la mère ?

L'âge d'un père est aujourd'hui le triple de celui de son fils. Il y a $6$ ans, l'âge du père était égal à cinq fois l'âge de son fils à ce moment-là. Combien d'années doivent s'écouler pour que la somme des âges du père et du fils soit exactement de $100$ ans ?

Le périmètre d'un triangle isocèle est de $40 \text{ cm}$. Si le côté différent mesure $10 \text{ cm}$, quelle est la longueur de chacun des côtés égaux ?

On veut mettre un cadre en bois à une photographie rectangulaire. On sait que la longueur de la photographie mesure $5 \text{ cm}$ de plus que la largeur. Si, pour l'encadrer, il a fallu une baguette de $70 \text{ cm}$ de longueur totale (périmètre), quelles sont les dimensions de la photographie ?

Un terrain de padel rectangulaire a un périmètre de $60$ mètres. Sachant que la longueur du terrain mesure $6$ mètres de plus que la largeur, calculer les dimensions (longueur et largeur) de ce terrain.

Un agriculteur veut clôturer une parcelle triangulaire pour ses moutons. Sachant que le triangle est isocèle, que le côté différent mesure $5$ mètres de moins que chacun des côtés égaux et qu'il a fallu $40$ mètres de clôture au total, quelle est la longueur de chaque côté de la parcelle ?

Calculer les dimensions d'un rectangle sachant que sa base mesure $3$ cm de plus que sa hauteur et que, si l'on augmente la hauteur de $2$ cm, l'aire du nouveau rectangle augmente de $16$ $cm^2$.

Dans un magasin de jeux vidéo, on a vendu deux fois plus de consoles portables que de consoles de salon. Si l'on a vendu $18$ consoles au total, combien en a-t-on vendu de chaque type ?

Un berger a des moutons et des poules dans son enclos. Si l'on compte les têtes, il y en a $20$ au total, et si l'on compte les pattes, il y en a $64$. Combien y a-t-il de moutons et de poules dans l'enclos ? (Rappel : les moutons ont $4$ pattes et les poules $2$.)

Mathis a acheté un jeu vidéo et un casque pour sa console. Le casque lui a coûté $12$ € de moins que le jeu vidéo. Si le jeu vidéo avait été soldé à moitié prix, Mathis aurait payé $48$ € pour les deux articles. Quel est le prix d'origine de chaque article ?

Dans un café, on a mélangé du café de Colombie, qui coûte $12$ €/kg, avec du café du Brésil, qui coûte $8$ €/kg. Si l'on a obtenu $20$ kg de mélange et que le prix de celui-ci est de $9$ €/kg, quelle masse de café de chaque sorte a-t-on utilisée ?

Dans les transports en commun d'une ville française, le ticket de bus de jour coûte $1,40$ € et le ticket de la ligne de nuit coûte $2,10$ €. Le mois dernier, Irène a pris le bus au total $35$ fois et le relevé de sa carte rechargeable indique une dépense totale d'exactement $57,40$ €.

1. a) Définir l'inconnue principale en indiquant clairement ce qu'elle représente et exprimer le nombre de trajets de nuit en fonction de cette inconnue.
2. b) Poser une équation du premier degré reliant les tickets utilisés à la dépense totale et la résoudre pour savoir combien de trajets de chaque type Irène a effectués.
3. c) Vérifier si les valeurs numériques obtenues ont un sens dans la vie réelle, compte tenu du type de solution qu'exige ce problème.

Pendant la fête de fin d'année du collège, un total de $60$ sandwichs ont été vendus à la buvette pour financer un voyage. Les sandwichs à l'omelette ont été vendus $2,20$ € l'un et ceux au jambon $2,80$ €. La recette totale a été de $147,60$ €.

Pour trouver combien de sandwichs de chaque sorte ont été vendus, deux élèves proposent des démarches différentes :

• Sarah dit : « Je préfère utiliser seulement l'inconnue $x$ pour ceux à l'omelette, exprimer ceux au jambon par $60 - x$ et résoudre une seule équation du premier degré. »

• David dit : « C'est plus ordonné d'utiliser deux inconnues, $x$ pour ceux à l'omelette et $y$ pour ceux au jambon, et d'écrire un système de deux équations linéaires. »

1. a) Poser et résoudre le problème en suivant de bout en bout la méthode proposée par Sarah.
2. b) Poser et résoudre le problème en suivant de bout en bout la méthode proposée par David.
3. c) Comparer les deux démarches : quels avantages et inconvénients présente chacune pour traduire les données de l'énoncé et pour effectuer les calculs algébriques ? Justifier laquelle vous recommanderiez à un camarade qui hésite souvent au moment d'isoler une inconnue.

Lors d'une compétition de robotique, un robot quitte la ligne de départ à une vitesse constante de $2$ m/s. Trente secondes plus tard, un second robot part à sa poursuite à une vitesse de $3,5$ m/s. Si la piste mesure $150$ mètres au total avant d'arriver à une zone d'obstacles, le second robot parviendra-t-il à rattraper le premier avant que celui-ci n'entre dans la zone d'obstacles ? Écrire l'équation et justifier la réponse en calculant la distance au moment du rattrapage.

Vous allez concevoir un problème d'algèbre pour le contrôle de votre groupe. L'énoncé doit commencer ainsi : « Actuellement, Mathis a le double de l'âge de sa sœur Clara… ». Votre tâche consiste à ajouter une seconde phrase décrivant une relation entre les âges qu'ils auront dans $6$ ans (fondée sur la somme de leurs âges futurs), de sorte que la résolution de l'équation donne obligatoirement que Clara a aujourd'hui $8$ ans.

1. a) Déterminer l'âge que Mathis et Clara auront dans $6$ ans sachant qu'aujourd'hui Clara a $8$ ans, et calculer la somme de leurs âges à ce moment futur.
2. b) Rédiger l'énoncé complet et cohérent du problème en y intégrant cette donnée numérique.
3. c) Poser l'équation à partir de l'énoncé que vous avez écrit, la résoudre pas à pas et démontrer que la solution est bien $x = 8$.