Problèmes de mobiles

Un guépard court à une vitesse constante de $108$ km/h en poursuivant sa proie. Combien de secondes mettra-t-il pour parcourir une distance de $300$ m ?

Un TGV circule à une vitesse moyenne de $280$ km/h. Si le trajet de son point de départ à sa destination dure exactement $2$ heures et $15$ minutes, quelle distance totale le train a-t-il parcourue ?

Vous allez traverser Paris en utilisant le service public de vélos électriques Vélib' depuis la Porte de Clignancourt jusqu'à la gare d'Austerlitz, ce qui représente une distance d'environ $6\text{ km}$. Les vélos disposent d'une assistance au pédalage qui permet de maintenir une vitesse moyenne de $15\text{ km/h}$.

1. a) Avant tout calcul avec des formules, faire une estimation intuitive : mettrez-vous plus ou moins d'une demi-heure pour effectuer le parcours ? Justifier la réponse en reliant mentalement les $6\text{ km}$ à la distance que l'on parcourrait en $60\text{ minutes}$.
2. b) Appliquer la formule du mouvement uniforme pour calculer le temps exact en heures et le convertir en minutes.
3. c) Vérifier si le résultat exact est cohérent avec l'estimation initiale et évaluer si ce temps est compétitif par rapport au même trajet en bus urbain aux heures de pointe.

Deux cyclistes partent en même temps de deux villes distantes de $90$ km, sur la même route, en se rapprochant l'un de l'autre. Le premier cycliste roule à $20$ km/h et le second à $25$ km/h. Au bout de combien de temps se croiseront-ils ?

Deux gares, A et B, sont reliées par une voie rectiligne de $450$ km. Un train part de A vers B à $120$ km/h et, au même moment, un autre train part de B vers A à $80$ km/h. À quelle distance de la gare A se croiseront-ils ?

Deux avions partent du même aéroport en même temps, mais en volant dans des sens diamétralement opposés. L'un vole à $800$ km/h et l'autre à $950$ km/h. Quelle distance les séparera au bout de $2,5$ heures de vol ?

Un camion de livraison part de Paris vers Lyon à 8 h 00 à une vitesse constante de $90$ km/h. À 9 h 30, une camionnette part de Lyon vers Paris à $150$ km/h. Si la distance par la route entre les deux villes est de $615$ km, à quelle heure exacte se croiseront-ils ?

Deux bateaux partent du même port en même temps. Le bateau A navigue en ligne droite vers le nord à une vitesse de $18$ nœuds, et le bateau B navigue vers l'est à $24$ nœuds. Quelle distance, en milles marins, les séparera au bout de $3$ heures de traversée ? (Remarque : $1$ nœud équivaut à $1$ mille marin par heure.)

Une voiture quitte une ville à une vitesse constante de $90$ km/h. Une demi-heure plus tard, une moto part à sa poursuite sur la même route à $120$ km/h. Combien de temps la moto mettra-t-elle pour rattraper la voiture ?

Un livreur quitte l'entrepôt en roulant à $100$ km/h. S'apercevant qu'il a oublié un colis urgent, un collègue part à sa poursuite depuis le même entrepôt $15$ minutes plus tard, en roulant à $120$ km/h. À quelle distance de l'entrepôt le rattrapera-t-il ?

Un marathonien avance à une allure constante de $15$ km/h. Un cycliste d'assistance qui roule dans la même direction à $25$ km/h se trouve à $4$ km derrière le coureur. Au bout de combien de minutes le cycliste rattrapera-t-il le coureur ?

Sur une piste d'athlétisme circulaire de $400$ m de longueur, deux coureurs partent du même point en même temps. Le coureur A court à $6$ m/s et le coureur B à $8$ m/s. Calculer au bout de combien de temps ils se rencontreront pour la première fois s'ils courent en sens opposés, et au bout de combien de temps ils se rencontreront s'ils courent dans le même sens.

Une camionnette de livraison parcourt $150$ km en $2$ heures, fait une pause obligatoire de $30$ minutes, puis parcourt encore $120$ km en $1,5$ heures. Quelle a été sa vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet (pause comprise) ?

Lucie effectue en voiture un aller-retour entre Toulouse et Bordeaux par l'autoroute A62, en parcourant une distance de $140\text{ km}$ à chaque trajet. À l'aller, à cause d'un épais brouillard et d'une circulation lente, elle maintient une vitesse moyenne de $70\text{ km/h}$. Au retour, la chaussée étant entièrement dégagée, elle roule à une vitesse moyenne constante de $140\text{ km/h}$. Pour calculer sa vitesse moyenne sur l'ensemble du voyage ($280\text{ km}$), Lucie effectue l'opération suivante : $\frac{70 + 140}{2} = 105\text{ km/h}$.

1. a) Expliquer en argumentant pourquoi le calcul de Lucie est incorrect, sans se contenter de dire que « ce n'est pas la bonne formule » (penser à la durée passée à chacune des deux vitesses au cours du voyage).
2. b) Calculer la durée exacte de l'aller et celle du retour, puis en déduire la vraie vitesse moyenne du voyage complet.
3. c) Pourquoi la vitesse moyenne réelle est-elle plus proche de $70\text{ km/h}$ que de $140\text{ km/h}$ ?

Un conducteur effectue un trajet interurbain de $300$ km. Il parcourt la première moitié du trajet à une vitesse constante de $120$ km/h sur l'autoroute, et la seconde moitié à $80$ km/h sur une route nationale. Quelle a été sa vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet ?

Un randonneur monte au sommet d'une montagne à une vitesse de $4$ km/h et redescend par le même chemin à $6$ km/h. S'il a marché $5$ heures au total pendant l'excursion (sans compter les pauses au sommet), quelle est la distance entre la base et le sommet ?

Un bateau à moteur a une vitesse de $22$ km/h en eau calme. S'il navigue sur un fleuve dont le courant descend à $4$ km/h, quelle durée totale mettra-t-il pour effectuer un aller-retour continu entre deux ports distants de $117$ km ?

Un rameur professionnel met $2$ heures pour parcourir $12$ km en amont en ramant contre le courant et $1$ heure pour parcourir la même distance en aval dans le sens du courant. Poser un système d'équations pour déterminer la vitesse du bateau en eau calme et la vitesse du courant de la rivière.

Dans un aéroport, un tapis roulant horizontal de $120$ m de longueur se déplace à $1$ m/s. Une personne marche sur le tapis à une vitesse constante $v$ par rapport au tapis lui-même. Si elle met $40$ secondes pour parcourir le tapis en marchant dans le sens du mouvement, combien de temps mettrait-elle pour le parcourir en marchant dans le sens contraire au mouvement du tapis ?