Agrandissement et réduction : notions

Observer les paires de rectangles suivantes. Indiquer, sans effectuer de calculs compliqués, lequel ne peut pas être semblable à l'original et expliquer pourquoi en observant sa forme.

Sarah a deux photographies de son chien. La première mesure $10 \text{ cm}$ de large et $15 \text{ cm}$ de haut. La seconde est un agrandissement qui mesure $20 \text{ cm}$ de large et $30 \text{ cm}$ de haut. Ces deux photographies sont-elles des figures semblables ? Justifier votre réponse en vérifiant si les dimensions sont proportionnelles.

Lucas a dessiné un triangle dont les angles mesurent $40^\circ$, $60^\circ$ et $80^\circ$. S'il décide de créer un nouveau triangle semblable en doublant la longueur de tous ses côtés, combien mesureront les angles du nouveau triangle ? Expliquer ce qui se passe pour les angles de deux figures lorsqu'elles sont semblables.

Calculer le rapport d'agrandissement ou de réduction $k$ qui transforme le rectangle $A$ en le rectangle $B$, sachant que le petit côté de $A$ mesure $4 \text{ cm}$ et le petit côté de $B$ mesure $12 \text{ cm}$. S'agit-il d'un agrandissement ou d'une réduction ?

Un logo a la forme d'un pentagone régulier de côté $3 \text{ cm}$. Pour la façade d'un magasin, on fabrique un logo semblable avec un rapport $k = 15$. Combien mesurera le côté du nouveau logo ?

Dessiner sur un quadrillage une lettre « L » qui occupe $2$ carreaux de large et $4$ de haut. Dessiner ensuite à côté une autre lettre « L » semblable avec un rapport $k = 0,5$. Combien de carreaux de haut aura la nouvelle figure ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Sur l'écran de son téléphone, Marc voit une carte à une certaine échelle. Si le rapport de similitude entre la carte affichée et la réalité est $k = \frac{1}{5000}$, indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses :

• a) La carte est une réduction de la réalité.

• b) $1 \text{ cm}$ sur la carte représente $5000 \text{ cm}$ dans la réalité.

• c) Les angles entre les rues changent sur la carte pour qu'elles puissent tenir sur l'écran.

Un architecte a dessiné le plan d'une pièce à l'échelle 1/50. Sur le plan, la pièce est un rectangle de $12\text{ cm}$ de long sur $8\text{ cm}$ de large.

1. Calculer les dimensions réelles de la pièce en mètres.

2. L'architecte veut poser un tapis qui occupe $6\text{ m}^2$ dans la réalité. Quelle aire ce tapis occupera-t-il sur le plan (en $\text{cm}^2$) ?

3. S'il décidait de changer l'échelle pour 1/100, comment varieraient les mesures du dessin par rapport au plan précédent ?

Le plan d'un logement est dessiné à l'échelle $1:75$. Sur ce plan, la cuisine a la forme d'un rectangle de $4 \text{ cm} \times 6 \text{ cm}$. Le propriétaire veut refaire le sol avec des carreaux carrés de $40 \text{ cm}$ de côté.

1. a) Calculer l'aire réelle de la cuisine en mètres carrés.
2. b) Combien de carreaux entiers faut-il au minimum pour couvrir le sol de la cuisine réelle ? (On tiendra compte du fait que les chutes de carreaux peuvent être réutilisées, mais que l'on ne peut acheter que des carreaux entiers.)

Si deux polygones sont semblables avec un rapport $k = 2,5$ et que le périmètre du petit polygone est de $20 \text{ cm}$, quel sera le périmètre du grand polygone ? Rappeler la relation qui existe entre le rapport et les périmètres.

Camille a une feuille rectangulaire de $20\text{ cm} \times 30\text{ cm}$ pour le cours d'arts plastiques et utilise exactement un tube de $60\text{ ml}$ de gouache pour la couvrir entièrement. Pour une exposition au collège, elle veut faire une version agrandie et semblable en multipliant la longueur de tous ses côtés par $3$ (c'est-à-dire avec un rapport $k = 3$). Son camarade Hugo lui dit : « Comme les côtés mesurent le triple, tu vas avoir besoin de trois fois plus de peinture, donc achète $3$ tubes de $60\text{ ml}$ ($180\text{ ml}$) et tu en auras assez ».\na) Relever l'erreur de raisonnement d'Hugo et expliquer, à l'aide des propriétés des figures semblables, pourquoi la quantité de peinture n'est pas proportionnelle au rapport $k$.\nb) Calculer combien de millilitres de gouache et combien de tubes entiers Camille aura réellement besoin pour peindre la grande feuille.

Nous disposons de deux boîtes de jus de fruit cylindriques qui sont semblables. La petite boîte a une hauteur de $10\text{ cm}$ et une contenance de $250\text{ ml}$. La grande boîte a une hauteur de $20\text{ cm}$.

1. Quel est le rapport d'agrandissement $k$ entre la grande boîte et la petite ?

2. Calculer la contenance (volume) de la grande boîte en litres. Rappeler la relation entre le rapport d'agrandissement et le volume de solides semblables.

3. Si l'aire de la base de la petite boîte est de $25\text{ cm}^2$, quelle sera l'aire de la base de la grande ?

La cour intérieure d'un centre culturel de votre région a la forme d'un trapèze d'aire totale $54\text{ m}^2$ et son grand côté mesure $12\text{ m}$. À l'accueil, on veut commander une maquette semblable de la cour pour l'exposer dans une vitrine. Vu les dimensions de la vitrine, l'aire de la maquette doit être exactement de $6\text{ m}^2$.\na) Sachant que le rapport entre les aires de figures semblables dépend de $k^2$, poser l'équation correspondante et calculer le rapport de réduction $k$ de la maquette par rapport à la cour réelle.\nb) Déterminer la longueur que doit avoir sur la maquette le côté correspondant au grand côté de $12\text{ m}$.\nc) Si le périmètre complet de la cour réelle mesure $36\text{ m}$, combien de centimètres de baguette de bois faudra-t-il pour border le périmètre de la maquette ?

Un illustrateur conçoit deux versions d'un même logo rectangulaire. Le logo original a pour dimensions $12\text{ cm}$ de long et $8\text{ cm}$ de large. S'il veut créer une version agrandie semblable dont la longueur mesure $30\text{ cm}$ :

1. Calculer le rapport d'agrandissement $k$.

2. Déterminer la largeur du nouveau logo.

3. Si le périmètre du petit logo est de $40\text{ cm}$, quel sera le périmètre du grand ? Utiliser la relation entre les périmètres de figures semblables pour le vérifier.

Dans un atelier de graphisme, on prépare une banderole triangulaire pour une campagne sur l'usage des transports en commun. Le croquis initial est un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $6\text{ cm}$ et $8\text{ cm}$. Pour le support final, il faut une banderole semblable avec un rapport d'agrandissement $k = 4$. Pour trouver la surface de tissu qu'occupera la grande banderole, deux graphistes proposent des méthodes différentes :\n- Méthode de Lucie : calculer d'abord les nouvelles mesures des côtés de l'angle droit en les multipliant par $4$ puis, avec elles, calculer l'aire du grand triangle avec la formule $(\text{base} \cdot \text{hauteur}) / 2$.\n- Méthode de Mathis : calculer d'abord l'aire du croquis initial et la multiplier directement par le rapport au carré ($k^2$).\na) Résoudre le problème en appliquant les deux méthodes pas à pas et vérifier numériquement si l'on obtient le même résultat.\nb) Si la figure n'était pas un triangle simple mais un logo en forme de polygone irrégulier à $7$ côtés dont on connaît déjà l'aire initiale ($35\text{ cm}^2$), laquelle des deux méthodes choisiriez-vous et pourquoi ? Justifier votre choix en évaluant la quantité de données et de calculs nécessaires.

Deux pentagones réguliers sont semblables. Le périmètre du premier est de $75 \text{ cm}$. On sait que l'aire du second est $1,44$ fois l'aire du premier.

1. a) Déterminer le rapport de réduction ou d'agrandissement $k$ entre le second pentagone et le premier.
2. b) Calculer le périmètre du second pentagone.
3. c) Si l'apothème du premier pentagone mesure $10,32 \text{ cm}$, combien mesurera le rayon du cercle circonscrit du second pentagone ? (Arrondir à deux décimales.)

Une maquette de gratte-ciel à l'échelle $1:250$ a un volume de $320 \text{ cm}^3$ et sa base a une aire de $20 \text{ cm}^2$.

1. a) Calculer la hauteur réelle du gratte-ciel en mètres.
2. b) Si l'immeuble réel doit être recouvert de panneaux de verre qui coûtent $120$ € le mètre carré, calculer le coût total du revêtement de la façade (aire latérale), sachant que le gratte-ciel a la forme d'un prisme droit et que la maquette a une aire latérale de $180 \text{ cm}^2$.

Pour mesurer la hauteur d'un pylône électrique, un technicien observe qu'à un moment donné le pylône projette une ombre de $18\text{ mètres}$. Au même moment, il place verticalement un bâton de $1,5\text{ mètres}$ de hauteur qui projette une ombre de $2,25\text{ mètres}$.

1. Justifier pourquoi les triangles formés par le pylône et son ombre, et par le bâton et la sienne, sont semblables.

2. Calculer la hauteur du pylône.

Un artiste de rue veut projeter l'ombre d'une sculpture verticale de $2,4 \text{ m}$ de hauteur sur un mur situé à $6 \text{ m}$ de distance. Pour cela, il place un projecteur au sol à une distance $d$ de la sculpture. S'il souhaite que l'ombre projetée sur le mur ait exactement $8 \text{ m}$ de hauteur, à quelle distance de la sculpture doit-il placer le projecteur ? Utiliser le théorème de Thalès pour justifier la réponse et dessiner le schéma des triangles semblables.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.