Décomposition en produit de facteurs premiers

Indiquer à quel nombre correspondent les décompositions en facteurs premiers suivantes :

1. a) $2^{2} \cdot 3 \cdot 5$

1. b) $2^{3} \cdot 7$

1. c) $3^{2} \cdot 11$

Classer les nombres entiers naturels suivants en nombres premiers ou non premiers. Rappel : les nombres premiers sont ceux qui n'ont que deux diviseurs : $1$ et eux-mêmes.

$14, 17, 21, 23, 27, 29, 33, 37$

Compléter l'arbre de facteurs suivant pour le nombre $24$. Il faut trouver deux nombres dont le produit donne le nombre du niveau supérieur, jusqu'à ce que tous les nombres au bout des branches soient premiers.

Écrire enfin la décomposition de $24$ sous forme de produit de ses facteurs premiers.

Décomposer les nombres suivants en produit de facteurs premiers. Exprimer le résultat final sous forme de produit de puissances :

1. a) $36$

1. b) $45$

1. c) $80$

Compléter les cases vides de la décomposition suivante d'un nombre en produit de facteurs premiers à l'aide de la technique de la barre verticale :

Écrire le résultat final de la décomposition sous forme de puissances.

Effectuer la décomposition en produit de facteurs premiers des nombres $720$ et $1260$ en utilisant la méthode de la barre verticale. Une fois les expressions obtenues sous forme de puissances, indiquer quels facteurs premiers ils ont en commun et quel est le plus grand exposant avec lequel chacun apparaît dans les deux décompositions.

Trouver le nombre dont la décomposition en produit de facteurs premiers est $2^3 \cdot 3^2 \cdot 11$. Une fois celui-ci trouvé, expliquer si ce nombre est un multiple de $6$ et de $22$ en observant uniquement ses facteurs premiers (sans effectuer de divisions).

Observer la décomposition en facteurs premiers des nombres suivants :

$A = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7$

$B = 2 \cdot 3^{2} \cdot 5$

Sans effectuer les multiplications, répondre en justifiant :

1. a) Le nombre $A$ est-il un multiple de $7$ ?
2. b) Le nombre $B$ est-il divisible par $10$ ? (Indice : observer s'il possède les facteurs nécessaires pour former $10$.)
3. c) Le nombre $3$ est-il un diviseur de $A$ ?

À partir de la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre $150$, répondre aux questions suivantes en justifiant :

1. a) $150$ est-il divisible par $10$ ?
2. b) $150$ est-il divisible par $4$ ?
3. c) $150$ est-il divisible par $15$ ?

Un professeur d'EPS souhaite répartir ses $28$ élèves en groupes identiques de plus de $2$ personnes mais de moins de $10$, de sorte qu'aucun élève ne reste seul.

Utiliser la décomposition en facteurs premiers de $28$ pour trouver toutes les façons possibles de constituer les groupes.

Recopier sur le cahier ce schéma de décomposition en facteurs premiers et compléter les cases vides (marquées par la lettre $x$) avec les nombres correspondants :

Un photographe professionnel d'Instagram veut organiser son mur de photos. Il a $210$ images et veut les publier par blocs égaux.

1. a) Décomposer $210$ en facteurs premiers.
2. b) Écrire quatre façons différentes de regrouper les photos (par exemple : « 3 blocs de 70 photos ») en utilisant des combinaisons de ses facteurs premiers.

Le volume d'une boîte en forme de cube est exactement $1728$ cm$^3$.

1. a) Décomposer en produit de facteurs premiers le nombre $1728$.
2. b) Sachant que le volume d'un cube se calcule par $V = l^3$ (où $l$ est l'arête), utiliser la décomposition précédente pour regrouper les facteurs en trois groupes identiques et déterminer la mesure de l'arête.

On dit qu'un nombre est un carré parfait si tous les exposants de sa décomposition en produit de facteurs premiers sont des nombres pairs.

1. a) Décomposer le nombre $180$ en produit de facteurs premiers. Est-ce un carré parfait ?
2. b) Quel est le plus petit nombre par lequel il faudrait multiplier $180$ pour que le résultat soit un carré parfait ? Justifier la réponse en analysant les exposants.

Un nombre entier naturel secret $N$ vérifie simultanément ces trois conditions :

1. Dans sa décomposition en produit de facteurs premiers, seuls apparaissent les facteurs premiers $2$, $3$ et $5$.

2. Il est un multiple de $18$ et aussi un multiple de $20$.

3. Il est inférieur à $300$.

1. a) Écrire la décomposition en facteurs premiers de $18$ et de $20$.
2. b) En considérant les facteurs premiers comme les « briques » indispensables que $N$ doit contenir pour être divisible par $18$ et par $20$, déduire par un raisonnement quels doivent être les exposants minimaux de $2$, de $3$ et de $5$ dans la décomposition de $N$.
3. c) Déterminer quel est le nombre $N$. Un autre nombre entier naturel différent pourrait-il vérifier les trois conditions ? Justifier la réponse.

Déterminer le plus petit nombre qui vérifie simultanément ces trois conditions :

• Il est un carré parfait (tous les exposants de sa décomposition en facteurs premiers sont pairs).

• Il est un multiple de $42$.

• Il est un multiple de $60$.

Pour le résoudre, utiliser la décomposition en produit de facteurs premiers de $42$ et de $60$ et expliquer quels facteurs et quels exposants il faut ajouter pour obtenir le plus petit carré parfait.

Un concepteur de jeux vidéo veut organiser un entrepôt virtuel d'objets. Pour cela, il doit connaître le nombre de diviseurs du nombre de caisses disponibles, qui est $360$.

1. a) Effectuer la décomposition en produit de facteurs premiers de $360$.
2. b) En utilisant la règle des exposants (ajouter un à chaque exposant de la décomposition puis les multiplier), calculer le nombre total de diviseurs de $360$.

On considère le nombre obtenu en calculant $A = 24 \cdot 35 \cdot 55$.

1. a) Estimer : Avant de calculer le produit et sans faire de divisions posées, estimer mentalement combien de facteurs premiers au total (en comptant les répétitions ; par exemple, dans $2^3$ il y a $3$ facteurs premiers) aura le nombre $A$. Expliquer brièvement ce sur quoi vous vous appuyez mentalement pour faire cette estimation.
2. b) Calculer : Obtenir séparément la décomposition en facteurs premiers de $24$, de $35$ et de $55$. À partir de celles-ci, écrire la décomposition complète de $A$ en regroupant les facteurs sous forme de puissances.
3. c) Vérifier et réfléchir : Additionner les exposants de votre décomposition pour connaître le nombre exact de facteurs premiers de $A$ et le comparer à votre estimation. Pourquoi est-il beaucoup plus avantageux de décomposer les trois nombres séparément plutôt que de calculer d'abord le produit $24 \cdot 35 \cdot 55 = 46\,200$ pour ensuite le décomposer ?

Un élève de 4e affirme avoir trouvé un nombre $X$ dont la décomposition en facteurs premiers est $2^{2} \cdot 3^{4} \cdot 6^{2} \cdot 5$.

1. Expliquer pourquoi cette expression n'est pas une décomposition en facteurs premiers valide.

2. Corriger l'expression pour qu'elle soit une véritable décomposition en produit de facteurs premiers.

3. Sans calculer la valeur numérique de $X$, déterminer combien il a de diviseurs. Présenter le calcul étape par étape.