Proportionnalité directe

Déterminer si les couples de grandeurs suivants sont proportionnels. Justifier brièvement votre réponse :

1. a) Le nombre d'abonnés d'un « influenceur » et les « likes » reçus par sa dernière photo.
2. b) La quantité de kilogrammes de pommes que vous achetez et le prix total à payer.
3. c) L'âge d'une personne et sa taille en centimètres.
4. d) Le temps pendant lequel vous laissez votre téléphone en charge et le pourcentage de batterie récupéré (en supposant une charge constante).

Un groupe d'amis veut aller au cinéma. On sait que $3$ places ont coûté $22,50$ €. Compléter le tableau suivant et calculer le coefficient de proportionnalité $k$ (prix par place) :

Une voiture radiocommandée parcourt $12$ mètres en seulement $8$ secondes en gardant une vitesse constante. Si elle continue à se déplacer de la même façon :

1. a) Quelle distance parcourra-t-elle en une minute ($60$ secondes) ?
2. b) Combien de temps mettra-t-elle pour parcourir une piste de $30$ mètres ?

Un créateur de contenu sur une plateforme vidéo reçoit des revenus directement proportionnels au nombre de vues de ses vidéos. Pour $1250$ vues, le système lui génère un bénéfice de $3,75$ €. Recopier le tableau suivant sur votre cahier et le compléter en calculant le coefficient de proportionnalité $k$. Sur le graphique, la donnée connue est marquée.

Pour préparer un smoothie aux fruits pour $4$ personnes, il faut $600$ mL de lait. Si samedi prochain vous invitez $10$ amis chez vous, quelle quantité de lait devrez-vous acheter pour que chacun ait son smoothie ? Résoudre en utilisant un produit en croix (proportionnalité directe).

Une imprimante 3D met $45$ minutes pour fabriquer une pièce qui pèse $60$ grammes. Si l'on veut imprimer une figurine du même matériau qui pèse $100$ grammes, combien de temps l'imprimante mettra-t-elle ? Exprimer le résultat en heures et minutes.

Pour organiser une journée de cohésion scolaire, on a décidé de préparer une recette de citronnade maison. La recette originale indique que, pour $6$ personnes, il faut $1,5$ litres d'eau et $450$ g de sucre. Si finalement $42$ personnes se sont inscrites, combien de litres d'eau et combien de kilogrammes de sucre faut-il acheter pour conserver exactement la proportion ?

Une carte de randonnée de la Sierra de Guadarrama est dessinée à l'échelle $1:25000$. Un groupe d'élèves prévoit un itinéraire qui mesure $14,4$ cm sur la carte.

1. Combien de kilomètres réels parcourront-ils au total ?

2. S'ils marchent à vitesse constante et mettent $45$ minutes pour parcourir les $3$ premiers km, combien de temps leur faudra-t-il en tout pour terminer l'itinéraire ?

La batterie d'une trottinette électrique se décharge proportionnellement à la distance parcourue. Si, pour un trajet de $4,5$ km, on a utilisé $12 \%$ de la capacité totale de la batterie, calculer, en passant par l'unité, la quantité de batterie consommée lors d'un parcours de $15$ km sur le même type de terrain.

Une borne de recharge du réseau public municipal fournit de l'énergie électrique à une puissance nette constante de $22\text{ kW}$ (c'est-à-dire qu'elle transfère exactement $22\text{ kWh}$ par heure complète de connexion continue). Un usager branche sa voiture électrique, dont la batterie a une capacité totale de $50\text{ kWh}$, au moment où la batterie est chargée à $10\,\%$. Le tarif municipal fixe un prix de $0,38\text{ €}$ pour chaque $\text{kWh}$ rechargé.

1. a) Calculer combien de $\text{kWh}$ d'énergie le véhicule doit recevoir pour atteindre $80\,\%$ de sa capacité (niveau habituellement recommandé par les constructeurs pour prolonger la durée de vie des batteries).
2. b) Modéliser la relation entre le temps écoulé $t$ (en heures) et l'énergie transférée $E$ (en $\text{kWh}$) par une fonction linéaire. Pendant combien de temps exactement (exprimé en heures, minutes et secondes) la voiture doit-elle rester branchée pour atteindre ce $80\,\%$ ?
3. c) Modéliser la fonction qui exprime le coût total $C$ (en euros) en fonction du temps de charge $t$ (en heures). Déterminer le coefficient de proportionnalité de cette relation, indiquer ses unités et interpréter sa signification concrète. Combien l'usager paiera-t-il au total pour cette recharge ?

Votre téléphone portable a une capacité totale de stockage de $128$ Go. Si le système d'exploitation et les applications installées occupent déjà $25\%$ de l'espace, combien de gigaoctets sont actuellement occupés ?

Vous avez repéré un sweat qui vous plaît beaucoup dans une boutique en ligne. Son prix initial est de $45$ €, mais aujourd'hui il bénéficie d'une réduction de $15\%$. Combien d'euros économisez-vous grâce à la remise ? (Il n'est pas nécessaire de calculer le prix final.)

À la même heure de la journée, l'ombre d'un panneau de signalisation de $2,2$ mètres de hauteur mesure $1,4$ mètres. Si, juste à côté, se trouve un pylône électrique dont l'ombre mesure $10,5$ mètres, quelle est la hauteur du pylône ? Faire un schéma de la situation avant de résoudre le problème.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Trois amis, Alba, Bruno et Carla, ont acheté ensemble un lot de $50$ pochettes de cartes à collectionner qui coûtait $75$ €. Alba a payé $15$ €, Bruno $27$ € et Carla le reste. S'ils décident de répartir les pochettes proportionnellement à l'argent versé par chacun, combien de pochettes revient-il à chacun ?

Une entreprise de fabrication de composants pour smartphones utilise une machine qui produit $150$ micropuces toutes les $20$ minutes.

1. Combien de micropuces produira-t-elle pendant une journée de travail de $8$ heures sans s'arrêter ?

2. Si, à cause d'une panne technique, la machine réduit de moitié sa vitesse de production, combien d'heures mettra-t-elle pour fabriquer une commande urgente de $2250$ micropuces ?

Un serveur de streaming vidéo ajuste la taille de ses fichiers proportionnellement à la durée et à la résolution (nombre total de pixels). Une vidéo de $10\text{ minutes}$ à une résolution de $1280 \times 720$ pixels occupe $450\text{ Mo}$.

Calculer la taille qu'occupera un film de $1\text{ heure et }45\text{ minutes}$ mis en ligne avec une résolution de $1920 \times 1080$ pixels, sachant que la taille du fichier est directement proportionnelle au nombre total de pixels. Exprimer le résultat en gigaoctets ($1\text{ Go} = 1024\text{ Mo}$).