Racines carrées

Calculer mentalement la valeur des racines carrées exactes suivantes en s'appuyant sur les tables de multiplication :

1. a) $\sqrt{36}$
2. b) $\sqrt{64}$
3. c) $\sqrt{81}$
4. d) $\sqrt{100}$
5. e) $\sqrt{121}$

La chambre de Lucie est de forme carrée et a une surface totale de $16$ mètres carrés. Quelle est la longueur d'un mur de sa chambre ?

Observer la mosaïque suivante formée de points. Quel nombre entier naturel représente le nombre total de points ? Quelle est sa racine carrée ?

Indiquer entre quels deux entiers naturels consécutifs se trouvent les racines carrées suivantes. Observer l'exemple :

Exemple : $\sqrt{10}$ est compris entre $3$ et $4$ car $3^2=9$ et $4^2=16$.

1. a) $\sqrt{20}$
2. b) $\sqrt{45}$
3. c) $\sqrt{70}$
4. d) $\sqrt{95}$

Indiquer, sans calculatrice, entre quels deux entiers naturels consécutifs se trouvent les racines carrées suivantes. Justifier votre réponse en vous appuyant sur les carrés parfaits les plus proches :

1. a) $\sqrt{45}$

1. b) $\sqrt{115}$

Déterminer, sans calculatrice et en justifiant votre réponse par le calcul de carrés de nombres proches, entre quels deux nombres décimaux consécutifs à un chiffre après la virgule (par exemple, $4,4$ et $4,5$) se trouve la racine carrée de $75$.

(Exemple : $\sqrt{20}$ est compris entre $4,4$ et $4,5$ car $4,4^2 = 19,36$ et $4,5^2 = 20,25$).

Déterminer la valeur du chiffre $k$ pour que le nombre $7\,05k$ soit un carré parfait. Une fois trouvé, calculer la racine carrée de ce nombre en utilisant l'algorithme pas à pas. (Indice : le nombre est compris entre $80^2$ et $90^2$).

En corrigeant un devoir au tableau, Marc écrit ceci :

« Comme la racine carrée d'un produit peut se séparer en produit des racines, il se passe exactement la même chose avec la somme : $\sqrt{64 + 36} = \sqrt{64} + \sqrt{36} = 8 + 6 = 14$ ».

1. a) Expliquer en détail pourquoi le raisonnement de Marc est faux, sans se contenter de dire que « les règles ne le permettent pas ».
2. b) Calculer la vraie valeur de l'expression $\sqrt{64 + 36}$ en respectant la priorité des opérations et la comparer avec le résultat de Marc.
3. c) Dessiner mentalement ou décrire une justification géométrique : un carré d'aire $100\text{ cm}^2$ peut-il avoir pour côté $14\text{ cm}$ ?

Mei conçoit un collage avec des photos carrées de $10\text{ cm}$ de côté. Elle veut les placer sur un carton carré dont la surface est de $2500\text{ cm}^2$ sans laisser d'espace entre elles.

1. Quelle est la mesure du côté du carton ?

2. Combien de photos de Mei tiennent en tout sur le carton ?

Effectuer les calculs suivants en respectant la priorité des opérations :

1. a) $10 + \sqrt{49}$
2. b) $3 \cdot \sqrt{25} - 2^2$
3. c) $\sqrt{64} : 2 + 5$
4. d) $(\sqrt{100} - 4) \cdot 3$

Calculer la valeur des expressions suivantes en respectant la priorité des opérations :

1. a) $3 \cdot \sqrt{81} - 2^2 \cdot (10 - \sqrt{49})$

1. b) $(\sqrt{100} - 2^3)^2 + \sqrt{144} : 3$

Calculer la valeur de l'expression suivante, en faisant attention à la priorité des opérations et aux propriétés des racines :

Une entreprise de logistique veut stocker $196$ colis de fournitures médicales dans un entrepôt de plan carré. Si les colis doivent être disposés en formant un carré parfait au sol, combien y aura-t-il de colis sur chaque côté ? Si l'on reçoit ensuite $30$ colis de plus et que l'on veut de nouveau former le plus grand carré possible, combien de colis resteront en surplus ?

Le club d'échecs d'un collège compte $85$ élèves inscrits. Pour la photo officielle de l'année, le photographe veut les placer en formant un carré parfait.

1. Combien d'élèves resteront en dehors de la photo s'il veut former le plus grand carré possible ?

2. Combien d'élèves manqueraient pour pouvoir ajouter une ligne et une colonne au carré précédent sans que personne ne reste dehors ?

Une entreprise de logistique veut organiser une flotte de $2\,500$ drones en une formation parfaitement carrée pour un spectacle nocturne. À cause d'une panne technique, $15\%$ des drones ne peuvent pas décoller. Calculer :

1. Le côté du plus grand carré que l'on peut former avec les drones restants en état de marche.

2. Combien de drones restent en surplus après avoir formé ce carré.

3. Combien de drones opérationnels supplémentaires il faudrait pour ajouter une ligne et une colonne au carré et que celui-ci reste complet.