Notion de fonction
Le pourcentage de batterie de ton téléphone dépend du temps passé à jouer. Le prix d'une course en trottinette électrique dépend de la durée de location. La température d'une journée dépend de l'heure. Dans chaque cas, quand tu connais la première grandeur (la durée, l'heure), tu peux calculer la seconde (le pourcentage, le prix, la température) : on dit qu'elle dépend de la première. Attention, l'inverse n'est pas toujours vrai : une même température peut apparaître à plusieurs heures de la journée. Comment décrire proprement ce lien avec un tableau, une formule ou un graphique ? C'est l'objet de cette page.
Deux grandeurs qui dépendent l'une de l'autre
Une grandeur est quelque chose qu'on peut mesurer ou compter : une durée, une distance, un prix, un pourcentage de batterie…
Pour la location d'une trottinette, la durée choisie par le client détermine le prix à payer. On dit que le prix est en fonction de la durée.
On peut aussi représenter ce lien par un diagramme sagittal : des flèches partent de chaque élément de gauche vers l'élément de droite associé.
Ici, chaque élève part avec une seule flèche : le sport préféré est bien « en fonction de » l'élève. Deux élèves peuvent arriver au même sport sans problème.
Observer le diagramme sagittal (diagramme de Venn) suivant, qui relie un groupe d'amis à leur couleur de t-shirt préférée. Cette relation représente-t-elle une fonction…
Observer le diagramme sagittal (diagramme de Venn) suivant, qui relie un groupe d'amis à leur couleur de t-shirt préférée. Cette relation représente-t-elle une fonction ? Expliquer pourquoi.
Lors d'un championnat de jeux vidéo, on veut établir une relation entre les joueurs et les personnages qu'ils choisissent. Analyser les deux situations suivantes et…
Lors d'un championnat de jeux vidéo, on veut établir une relation entre les joueurs et les personnages qu'ils choisissent. Analyser les deux situations suivantes et déterminer laquelle définit une fonction :
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Situation 1 : À chaque joueur, on associe le nom du seul personnage qu'il a utilisé pendant tout le tournoi.
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Situation 2 : À chaque personnage, on associe les noms de tous les joueurs qui l'ont choisi lors d'au moins une partie.
Dessiner un diagramme sagittal (diagramme de Venn) pour la Situation 1 à partir de ces données : joueurs $\{Ainhoa, Marc, Leo\}$ et personnages $\{Guerrier, Magicienne\}$. Ainhoa et Marc ont choisi le Guerrier, et Leo a choisi la Magicienne.
Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.
Indiquer lesquelles des relations suivantes ne sont pas des fonctions et expliquer pourquoi en s'appuyant sur la définition d'une fonction : 1. À chaque élève de ta…
Indiquer lesquelles des relations suivantes ne sont pas des fonctions et expliquer pourquoi en s'appuyant sur la définition d'une fonction :
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À chaque élève de ta classe, on associe sa date de naissance.
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À chaque nombre entier naturel, on associe ses diviseurs.
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À chaque nombre réel, on associe sa racine carrée positive.
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À chaque mère, on associe le prénom de ses enfants.
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À chaque produit d'un magasin, on associe son prix en euros.
Grandeur indépendante et grandeur dépendante
Avant tout calcul, il faut repérer qui dépend de qui. Une trottinette électrique est louée $1{,}50$ € pour le déverrouillage, puis $0{,}20$ € par minute.
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La durée de la location est choisie par le client : c'est la grandeur indépendante ($x$, en minutes).
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Le prix total se calcule à partir de la durée : c'est la grandeur dépendante ($y$, en euros).
Pour louer une trottinette électrique, une entreprise facture $1,50$ € pour le déverrouillage initial et $0,20$ € par minute d'utilisation. On souhaite étudier la…
Pour louer une trottinette électrique, une entreprise facture $1,50$ € pour le déverrouillage initial et $0,20$ € par minute d'utilisation. On souhaite étudier la relation entre la durée d'utilisation et le coût total de la location.
Identifier les variables de cette relation :
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Variable indépendante ($x$) : ________
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Variable dépendante ($y$) : ________
Tableau de valeurs et formule
Pour décrire la dépendance, on dispose de trois outils : un tableau de valeurs, une formule (expression littérale) et un graphique. Commençons par les deux premiers.
Pour la trottinette, le prix en euros s'obtient avec $y = 0{,}20\,x + 1{,}50$, où $x$ est la durée en minutes.
| Durée $x$ (min) | $5$ | $10$ | $20$ |
|---|---|---|---|
| Prix $y$ (€) | $2{,}50$ | $3{,}50$ | $5{,}50$ |
Pour trouver la formule à partir d'un énoncé, on décrit le calcul à faire. Par exemple, une batterie à $100\ \%$ qui perd $5\ \%$ par kilomètre parcouru donne $y = 100 - 5x$ : on part de $100$ et on enlève $5$ fois le nombre de kilomètres.
Compléter le tableau de valeurs suivant sachant que la fonction associe à chaque nombre entier naturel son triple diminué de un. Autrement dit, l'expression littérale…
Compléter le tableau de valeurs suivant sachant que la fonction associe à chaque nombre entier naturel son triple diminué de un. Autrement dit, l'expression littérale est $y = 3x - 1$.
| Variable indépendante ($x$) | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Variable dépendante ($y$) | $2$ |
Lucie surveille la batterie de son téléphone pendant la matinée. À son réveil, à $08:00$, elle était à $100\%$. Chaque heure qui passe, la batterie diminue de $8\%$. a)…
Lucie surveille la batterie de son téléphone pendant la matinée. À son réveil, à $08:00$, elle était à $100\%$. Chaque heure qui passe, la batterie diminue de $8\%$.
- a) Écrire l'expression littérale de la fonction qui relie les heures écoulées ($x$) au pourcentage de batterie restant ($y$).
- b) Quel pourcentage de batterie Lucie aura-t-elle à $12:00$ du matin (après $4$ heures d'utilisation) ?
Étant donné la fonction $f(x) = x^2 - 3$, calculer la valeur de la variable dépendante pour les valeurs de $x$ suivantes : a) Si $x = 0 \rightarrow y = $ b) Si…
Étant donné la fonction $f(x) = x^2 - 3$, calculer la valeur de la variable dépendante pour les valeurs de $x$ suivantes :
- a) Si $x = 0 \rightarrow y = $
- b) Si $x = 2 \rightarrow y = $
- c) Si $x = 5 \rightarrow y = $
- d) Si $x = 10 \rightarrow y = $
Une trottinette électrique a une batterie qui se décharge de façon constante. Au départ de la maison, la batterie est à $100\%$. Pour chaque kilomètre parcouru, la…
Une trottinette électrique a une batterie qui se décharge de façon constante. Au départ de la maison, la batterie est à $100\%$. Pour chaque kilomètre parcouru, la batterie diminue de $5\%$.
- a) Identifier la variable indépendante et la variable dépendante, en indiquant l'unité de chacune.
- b) Écrire l'expression littérale (formule) de la fonction qui relie les kilomètres parcourus ($x$) au pourcentage de batterie restant ($y$).
- c) La valeur de $x$ peut-elle être égale à $25$ ? Expliquer si cette valeur appartient à l'ensemble de définition de la fonction dans ce contexte réel.
Se repérer dans un repère
Pour représenter une dépendance par un graphique, il faut savoir lire et placer des points dans un repère : deux axes perpendiculaires qui se coupent en l'origine $O$.
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L'axe des abscisses est horizontal : on y lit $x$.
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L'axe des ordonnées est vertical : on y lit $y$.
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Un point s'écrit avec ses coordonnées, abscisse en premier : $A(x ; y)$.
Pour lire $A(2 ; 2)$ : on part de l'origine, on avance de $2$ vers la droite (abscisse), puis de $2$ vers le haut (ordonnée). Une abscisse négative va vers la gauche, une ordonnée négative vers le bas.
Dans un jeu vidéo de stratégie, la position des ressources est indiquée par des coordonnées dans un repère. Observer la carte et écrire les coordonnées des trois coffres…
Dans un jeu vidéo de stratégie, la position des ressources est indiquée par des coordonnées dans un repère. Observer la carte et écrire les coordonnées des trois coffres au trésor représentés :
Écrire les coordonnées de chaque coffre sous la forme $(x\,;\,y)$.
Compléter le tableau de valeurs suivant pour la fonction $y = x^2 - 3$ : | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |…
Compléter le tableau de valeurs suivant pour la fonction $y = x^2 - 3$ :
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ |
Une fois le tableau complété, répondre :
- a) Existe-t-il des valeurs de $x$ différentes qui ont la même image ($y$) ? Cela empêche-t-il qu'il s'agisse d'une fonction ?
- b) Représenter les points obtenus dans un repère. Quelle forme semble avoir la courbe ?
Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.
Le graphique et la droite verticale
Le graphique d'une dépendance est formé des points $(x ; y)$ où $y$ est la valeur associée à $x$. Mais toute courbe dessinée dans un repère ne représente pas une dépendance de ce type. Il y a un test simple.
Une des règles essentielles pour savoir si une courbe représente une fonction est de vérifier qu'à chaque valeur de la variable indépendante $x$ correspond une unique…
Une des règles essentielles pour savoir si une courbe représente une fonction est de vérifier qu'à chaque valeur de la variable indépendante $x$ correspond une unique valeur de la variable dépendante $y$. Indiquer laquelle des courbes suivantes n'est PAS une fonction et justifier brièvement la réponse.
Observer attentivement les trois courbes suivantes représentées dans un repère. Utiliser le critère de la droite verticale (imaginer des droites verticales qui…
Observer attentivement les trois courbes suivantes représentées dans un repère. Utiliser le critère de la droite verticale (imaginer des droites verticales qui parcourent chaque courbe et compter en combien de points elles la coupent) pour identifier laquelle ou lesquelles représentent une fonction, et justifier précisément la réponse dans chaque cas.
Analyser attentivement la représentation graphique suivante, qui montre la relation entre deux grandeurs. Déterminer, en justifiant à partir de la définition d'une…
Analyser attentivement la représentation graphique suivante, qui montre la relation entre deux grandeurs. Déterminer, en justifiant à partir de la définition d'une fonction, si ce graphique représente une fonction ou une relation qui n'est pas une fonction. Indiquer aussi quelle serait la valeur (ou les valeurs) de la variable dépendante $y$ lorsque la variable indépendante $x$ est égale à $2$.
Lire un graphique en contexte
Quand tu lis un graphique réel, demande-toi toujours : qu'y a-t-il sur chaque axe, avec quelle unité, et pour quelles valeurs la situation a-t-elle un sens ?
Voici le remplissage d'un réservoir de $20$ L par un robinet de $4$ L/min. On lit par exemple : au bout de $3$ min, il y a $12$ L (c'est l'image de $3$ min) ; le réservoir contient $8$ L au bout de $2$ min (on lit le temps qui correspond à un volume donné).
Au bout de $5$ min, le réservoir est plein : on arrête le tracé, car la situation n'a plus de sens après.
On décrit aussi l'évolution d'une courbe :
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elle monte : la grandeur $y$ augmente (on dit qu'elle est croissante) ;
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elle descend : $y$ diminue (décroissante) ;
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elle est horizontale : $y$ ne change pas (constante).
Indiquer si les situations suivantes représentent une fonction continue ou une fonction discrète : a) Le nombre de personnes qui entrent dans un cinéma selon le film…
Indiquer si les situations suivantes représentent une fonction continue ou une fonction discrète :
- a) Le nombre de personnes qui entrent dans un cinéma selon le film projeté.
- b) L'altitude d'une montgolfière au fil des minutes depuis son décollage.
- c) Le prix d'un sac d'oranges selon sa masse en kilogrammes.
- d) Le nombre d'abonnés Instagram d'un influenceur jour après jour.
Le graphique suivant montre la distance à laquelle se trouve un drone de livraison par rapport à sa base logistique pendant un trajet aller-retour de 10 minutes. À…
Le graphique suivant montre la distance à laquelle se trouve un drone de livraison par rapport à sa base logistique pendant un trajet aller-retour de 10 minutes.
À partir du graphique, indiquer :
- a) L'ensemble de définition et l'ensemble image de la fonction.
- b) Pendant combien de temps le drone est-il resté immobile pour livrer le colis ? À quelle distance de la base se trouvait-il à ce moment-là ?
- c) Sur quel intervalle de temps le drone est-il revenu vers la base ?
On remplit un réservoir d'eau de forme cylindrique avec un robinet dont le débit constant est de $4$ litres par minute. Au début, le réservoir est vide et sa capacité…
On remplit un réservoir d'eau de forme cylindrique avec un robinet dont le débit constant est de $4$ litres par minute. Au début, le réservoir est vide et sa capacité totale est de $20$ litres.
- a) Indiquer si la fonction qui relie le temps écoulé au volume d'eau est continue ou discrète. Expliquer pourquoi.
- b) Quel est l'ensemble de définition de cette fonction, sachant que le robinet est fermé lorsque le réservoir est plein ?
- c) Dessiner l'allure de la courbe représentant cette situation, avec le temps $t$ (en minutes) sur l'axe horizontal et le volume $V$ (en litres) sur l'axe vertical.
Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.
Un athlète s'entraîne sur un chemin rectiligne. Le graphique suivant montre la distance au point de départ en fonction du temps. a) Expliquer ce qui se passe entre la…
Un athlète s'entraîne sur un chemin rectiligne. Le graphique suivant montre la distance au point de départ en fonction du temps.
- a) Expliquer ce qui se passe entre la minute $4$ et la minute $6$.
- b) À quelle vitesse maximale l'athlète a-t-il couru et sur quel intervalle cela s'est-il produit ?
- c) Expliquer ce qui se passe entre $t=6$ et $t=8$.
- d) Peut-on affirmer qu'il s'agit d'une fonction continue ? Pourquoi ?
Retour au début : la batterie de ton téléphone dépend bien du temps de jeu, car à chaque durée correspond un seul pourcentage de batterie, que tu peux lire dans un tableau, calculer avec une formule comme $y = 100 - 5x$ ou lire sur un graphique.