Rapports et proportions

Calculer la valeur du rapport de chaque couple de quantités et interpréter le résultat :

1. a) $3\ \text{kg}$ de cerises coûtent $10,50\ \text{€}$.

1. b) Un cycliste en gravel parcourt $95\ \text{km}$ en $4\ \text{h}$.

1. c) Une bouteille contient $2\ \text{L}$ et un bidon, $25\ \text{L}$.

Deux tiges métalliques mesurent $8\ \text{dm}$ et $12\ \text{dm}$.

1. a) Calculer le rapport entre la longueur de la première et celle de la seconde, puis le simplifier.

1. b) Calculer le rapport entre la seconde et la première.

1. c) Quel lien y a-t-il entre les deux rapports obtenus ? Est-ce toujours le cas ?

Deux régions viticoles comparent leur production. La région A récolte $4\,500\ \text{t}$ de raisin sur $1\,800\ \text{ha}$ de vignoble ; la région B, $6\,240\ \text{t}$ sur $2\,400\ \text{ha}$.

1. a) Calculer le rapport entre la production et la surface dans chaque région, avec son unité.

1. b) Laquelle des deux obtient le meilleur rendement par hectare ?

1. c) Si la région A augmentait sa surface à $2\,000\ \text{ha}$ en conservant le même rendement, quelle production pourrait-elle espérer ?

Une carte routière est dessinée à l'échelle $1 : 300\,000$.

1. a) Expliquer la signification de ce rapport.

1. b) Quelle distance réelle représentent $5\ \text{cm}$ sur la carte ?

1. c) Deux villages sont distants de $21\ \text{km}$ dans la réalité. Quelle est leur distance sur la carte ?

Pour organiser une randonnée dans la Sierra de Guadarrama, vous utilisez une carte officielle de l'Institut géographique national (IGN) à l'échelle $1 : 25\,000$. Sur la carte, la longueur du parcours que vous voulez effectuer mesure exactement $18,4\text{ cm}$.\na) Avant de calculer la valeur exacte, faire une estimation : expliquer combien de mètres réels représente $1\text{ cm}$ sur la carte et estimer mentalement entre quels deux nombres entiers de kilomètres se situera la distance réelle du parcours.\nb) Écrire l'égalité de proportionnalité qui définit l'échelle de la carte, calculer la distance réelle en kilomètres à l'aide du produit en croix et vérifier si votre estimation initiale était correcte.\nc) Si le groupe marche à une vitesse constante de $4\text{ km/h}$, calculer le temps qu'il mettra pour effectuer le trajet (exprimer le résultat en heures et minutes) et déterminer s'il est raisonnable de faire cette randonnée en une seule matinée.

Vérifier, en calculant le produit des extrêmes et le produit des moyens, si les couples de rapports suivants forment une proportion :

1. a) $\frac{6}{4}$ et $\frac{15}{10}$

1. b) $\frac{5}{8}$ et $\frac{7}{12}$

1. c) $\frac{2,5}{4}$ et $\frac{5}{8}$

Avec les nombres $3$, $6$, $4$ et $8$, former :

1. a) Une proportion dans laquelle $3$ et $8$ sont les extrêmes.

1. b) Une proportion dans laquelle $3$ et $8$ sont les moyens.

1. c) Vérifier dans les deux cas que le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.

Lucie et son frère préparent une boisson en mélangeant du jus d'orange et de l'eau gazeuse dans un rapport de $3 : 2$ (c'est-à-dire que pour $3$ verres de jus d'orange, ils ajoutent $2$ verres d'eau). Comme des amis arrivent à la maison et qu'ils ont besoin de plus de boisson, Lucie propose : « Pour en faire plus en gardant exactement le même goût, ajoutons $2$ verres d'orange et $2$ verres d'eau de plus ; comme on ajoute la même quantité aux deux ingrédients, la proportion ne change pas ».

1. a) Calculer la valeur numérique du rapport initial et la valeur du nouveau rapport après application de la proposition de Lucie. Les deux boissons ont-elles le même goût ? Justifier la réponse en comparant les valeurs décimales des deux rapports.
2. b) Identifier et expliquer de façon argumentée l'erreur conceptuelle commise par Lucie sur la signification de rapport et de proportion.
3. c) Corriger la recette de Lucie : si elle décide d'ajouter $3$ verres d'eau gazeuse de plus, combien de verres de jus d'orange doit-elle ajouter pour conserver exactement la proportion initiale ?

Une élève affirme ce qui suit :

« Comme $\frac{6}{9} = \frac{10}{15}$, alors on a aussi $\frac{6}{10} = \frac{15}{9}$, car j'ai seulement changé l'ordre des nombres. »

1. a) Vérifier si la première égalité est une égalité de proportionnalité vraie.

1. b) Vérifier si la seconde égalité est également vraie. A-t-elle raison ?

1. c) La règle correcte dit que, dans une égalité de proportionnalité, on peut permuter les moyens ou permuter les extrêmes. L'appliquer à $\frac{6}{9} = \frac{10}{15}$ et écrire deux égalités de proportionnalité équivalentes et vraies.

Déterminer la quatrième proportionnelle dans chaque cas :

1. a) $\frac{x}{4} = \frac{9}{12}$

1. b) $\frac{5}{x} = \frac{15}{21}$

1. c) $\frac{8}{6} = \frac{20}{x}$

Dans un refuge pour animaux, le rapport entre le nombre de chats et le nombre de chiens accueillis est de $4 : 7$.

1. a) Sachant qu'il y a au total plus de $30$ animaux et moins de $40$, déduire combien de chats et combien de chiens il y a dans le refuge sans procéder par tâtonnements au hasard. Expliquer clairement la propriété numérique sur laquelle vous vous appuyez.
2. b) Écrire la proportion mathématique complète qui relie le nombre de chats et de chiens au rapport simplifié donné, en indiquant explicitement quels sont les extrêmes et quels sont les moyens.
3. c) Si demain $2$ chats et $2$ chiens sont adoptés, vérifier à l'aide du produit en croix si la proportion entre les deux espèces se maintient ou change.

Déterminer la valeur de $x$ dans ces proportions :

1. a) $\frac{x}{2,4} = \frac{7}{4,8}$

1. b) $\frac{3}{x} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}$

1. c) $\frac{1,5}{4,5} = \frac{x}{13,5}$

Déterminer la moyenne proportionnelle dans chaque cas, c'est-à-dire la valeur positive de $x$ qui vérifie la proportion continue :

1. a) $\frac{x}{4} = \frac{25}{x}$

1. b) $\frac{3}{x} = \frac{x}{27}$

1. c) $\frac{x}{2} = \frac{50}{x}$

Une lanceuse de javelot s'entraîne avec un repère situé à $60\ \text{m}$ et met $4,8\ \text{s}$ pour parcourir cette distance lors de sa course d'élan.

1. a) Calculer le rapport entre la distance et le temps, en $\text{m/s}$.

1. b) L'exprimer en $\text{km/h}$.

1. c) Est-il correct de calculer le rapport entre $60\ \text{m}$ et $4,8\ \text{s}$ sans tenir compte des unités ? Pourquoi faut-il toujours les indiquer lorsqu'on interprète un rapport ?

Le Parthénon d'Athènes a été conçu en recherchant la proportion dorée : le rapport entre le grand côté et le petit côté de ses rectangles est d'environ $\frac{8}{5} = 1,6$.

1. a) Une fenêtre mesure $1,92\ \text{m}$ de haut et $1,20\ \text{m}$ de large. Calculer le rapport entre ses côtés. Est-elle en proportion dorée ?

1. b) Une autre fenêtre mesure $2\ \text{m}$ de haut. Combien doit-elle mesurer de large pour que le rapport entre la hauteur et la largeur soit $1,6$ ?

1. c) Mesurer chez vous trois rectangles du quotidien (une porte, un livre, un écran) et vérifier si l'un d'eux s'approche de la proportion dorée.

Indiquer si chaque affirmation est vraie ou fausse, en supposant que $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ est une égalité de proportionnalité vraie. Justifier en utilisant le produit des extrêmes et des moyens :

1. a) « $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ »

1. b) « $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$ »

1. c) « $\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}$ »

1. d) « $\frac{a}{b} = \frac{a + c}{b + d}$ »

Tâche de décision. Un magasin d'électronique annonce trois écrans comme « panoramiques 16:9 », c'est-à-dire avec un rapport largeur/hauteur de $\frac{16}{9} \approx 1,78$. Les dimensions réelles de la dalle de chaque modèle sont :

• Modèle 1 : $53\ \text{cm}$ de large et $30\ \text{cm}$ de haut.

• Modèle 2 : $62\ \text{cm}$ de large et $34\ \text{cm}$ de haut.

• Modèle 3 : $71\ \text{cm}$ de large et $40\ \text{cm}$ de haut.

1. a) Calculer le rapport largeur/hauteur de chaque modèle avec deux décimales.

1. b) Quels modèles respectent réellement la proportion 16:9 (on admet une erreur de $0,02$) ?

1. c) Un client veut placer l'écran dans un emplacement de $65\ \text{cm}$ de large et $38\ \text{cm}$ de haut. Parmi les modèles qui respectent la proportion, lequel rentre dans l'emplacement ? Justifier la décision par des calculs.

Un menuisier fabrique des cadres dont la partie décorative centrale est un carré. Pour que le cadre garde la même proportion dans toutes les tailles, le côté $x$ du carré doit être la moyenne proportionnelle entre la largeur intérieure et la largeur extérieure du cadre.

1. a) Pour un cadre de largeur intérieure $9\ \text{cm}$ et de largeur extérieure $25\ \text{cm}$, poser la proportion continue $\frac{9}{x} = \frac{x}{25}$ et déterminer le côté du carré.

1. b) Vérifier que les deux rapports ont la même valeur.

1. c) Si la largeur intérieure est de $8\ \text{cm}$ et que le carré décoratif mesure $12\ \text{cm}$ de côté, quelle est la largeur extérieure du cadre ?

On veut construire un carré qui a exactement la même aire qu'un rectangle de $9\ \text{cm}$ sur $16\ \text{cm}$, comme le montre la figure.

1. a) Si le côté du carré est $x$, écrire l'équation $x^2 = 9 \cdot 16$.

1. b) Réécrire l'équation sous la forme d'une proportion continue $\frac{9}{x} = \frac{x}{16}$. Que représente $x$ par rapport à $9$ et $16$ ?

1. c) Calculer $x$ et vérifier que les aires sont égales.

1. d) Quel serait le côté du carré de même aire qu'un rectangle de $5\ \text{cm}$ sur $45\ \text{cm}$ ?

Un cabinet d'architecture conçoit deux fenêtres rectangulaires. La fenêtre A mesure $60\text{ cm}$ de large sur $90\text{ cm}$ de haut, et la fenêtre B mesure $80\text{ cm}$ de large sur $120\text{ cm}$ de haut. Pour vérifier si les deux fenêtres sont proportionnelles, on envisage trois méthodes :\n- Méthode 1 : calculer le rapport interne $\dfrac{\text{hauteur}}{\text{largeur}}$ de chaque fenêtre et comparer si les résultats coïncident.\n- Méthode 2 : calculer les rapports externes entre dimensions homologues ($\dfrac{\text{largeur B}}{\text{largeur A}}$ et $\dfrac{\text{hauteur B}}{\text{hauteur A}}$) et vérifier s'ils sont égaux.\n- Méthode 3 : écrire l'égalité $\dfrac{60}{90} = \dfrac{80}{120}$ et vérifier si l'égalité des produits en croix est satisfaite : $60 \cdot 120 = 90 \cdot 80$.\na) Développer numériquement les trois méthodes et démontrer formellement pourquoi l'égalité $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ garantit mathématiquement que $\dfrac{b}{a} = \dfrac{d}{c}$ et que $\dfrac{c}{a} = \dfrac{d}{b}$.\nb) On vous demande maintenant d'analyser une fenêtre C de $75\text{ cm} \times 110\text{ cm}$. Choisir en justifiant laquelle des trois méthodes est la plus directe pour vérifier si elle est proportionnelle à la fenêtre A, puis l'appliquer en justifiant votre conclusion.\nc) Si l'on construit une fenêtre D dont le périmètre est le triple de celui de la fenêtre A, en conservant la proportion entre ses côtés, dans quel rapport varient sa largeur, sa hauteur et la valeur de son rapport d'aspect ?

Dans une proportion continue, les moyens sont égaux : $\dfrac{a}{x} = \dfrac{x}{b}$, de sorte que le terme $x = \sqrt{a \cdot b}$ s'appelle moyenne proportionnelle entre les extrêmes $a$ et $b$.\na) Trouver tous les couples d'entiers positifs $(a, b)$ avec $a < b$ tels que leur moyenne proportionnelle soit exactement $x = 12$. Présenter la démarche déductive à partir de la décomposition en produit de facteurs premiers de $12^2$, sans recourir à des essais désordonnés.\nb) Parmi tous les couples obtenus à la question précédente, identifier celui qui présente la plus petite différence possible entre ses extrêmes ($b - a$) et écrire la proportion continue correspondante en vérifiant que les produits en croix coïncident.\nc) Démontrer de façon algébrique et générale que si $x$ est la moyenne proportionnelle entre deux nombres positifs quelconques $a$ et $b$, alors la moyenne proportionnelle entre $k \cdot a$ et $k \cdot b$ (avec $k > 0$) est exactement égale à $k \cdot x$.