Puissances

Exprimer les produits suivants sous forme de puissance et indiquer quelle est la base et quel est l'exposant dans chaque cas :

1. a) $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

1. b) $12 \cdot 12 \cdot 12$

1. c) $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

1. d) $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$

Calculer la valeur des puissances élémentaires suivantes :

1. a) $3^{4}$

1. b) $2^{5}$

1. c) $7^{2}$

1. d) $11^{0}$

1. e) $1^{25}$

Observer le carré suivant formé de petites cellules. Exprimer le nombre total de cellules sous forme de puissance et calculer son résultat.

Écrire la décomposition polynomiale des nombres suivants à l'aide de puissances de base $10$ :

1. a) $4\,527$

1. b) $30\,816$

1. c) $504$

Exprimer les données suivantes en écriture scientifique :

a) La distance moyenne de la Terre à la Lune est d'environ $384\,400$ kilomètres.

b) La population mondiale est d'environ $8\,000\,000\,000$ de personnes.

c) Une année-lumière équivaut approximativement à $9\,461\,000\,000\,000$ de kilomètres.

Écrire la décomposition polynomiale des nombres suivants à l'aide de puissances de base 10 :

a) $45\,208$

b) $306\,750$

c) $7\,003\,040$

Le stockage d'un supercalculateur se mesure en « exaoctets ». Sachant que $1 \text{ kilooctet} = 10^3 \text{ octets}$, $1 \text{ mégaoctet} = 10^3 \text{ kilooctets}$, $1 \text{ gigaoctet} = 10^3 \text{ mégaoctets}$ et ainsi de suite en suivant les puissances de 10 (téraoctet, pétaoctet, exaoctet) :

1. a) Exprimer en écriture scientifique combien d'octets il y a dans un exaoctet.
2. b) Si un fichier vidéo haute définition occupe $2 \cdot 10^9$ octets, combien de fichiers de ce type tiennent sur un disque de $4 \text{ Pétaoctets}$ ? Exprimer le résultat en écriture scientifique.

Appliquer les propriétés des puissances pour écrire le résultat sous la forme d'une seule puissance :

1. a) $3^{4} \cdot 3^{2} \cdot 3^{5}$

1. b) $a^{3} \cdot a^{4}$

1. c) $10^{2} \cdot 10 \cdot 10^{3}$

1. d) $2^{6} \cdot 2^{6}$

Réduire à une seule puissance en utilisant la propriété du quotient de puissances de même base :

1. a) $5^{8} : 5^{3}$

1. b) $x^{10} : x^{7}$

1. c) $10^{6} : 10^{5}$

1. d) $\dfrac{2^{9}}{2^{4}}$

Lors d'un contrôle de 4e, Lucas a résolu deux exercices de simplification en commettant des erreurs conceptuelles fréquentes :

• Cas A : Il a écrit que $3^2 \cdot 3^4 = 9^6$, en justifiant « on multiplie les bases et on additionne les exposants ».

• Cas B : Il a écrit que $2^3 \cdot 5^3 = 10^6$, en justifiant « on multiplie les bases et on additionne les exposants ».

1. a) Expliquer en justifiant l'erreur commise dans le cas A, indiquer quelle propriété il aurait dû appliquer et écrire le résultat correct sous la forme d'une unique puissance.
2. b) Expliquer l'erreur commise dans le cas B, quelle propriété correspond à cette opération et calculer la puissance correcte.
3. c) Rédiger une règle claire et brève pour qu'un camarade ne confonde pas les cas où l'on additionne les exposants et ceux où l'on multiplie les bases.

Appliquer les propriétés des puissances pour réduire les expressions suivantes à une seule puissance :

a) $2^5 \cdot 2^3 \cdot 2 =$

b) $(3^4)^3 : 3^7 =$

c) $\frac{5^8 \cdot 5^2}{5^7} =$

Simplifier les expressions suivantes en donnant le résultat sous la forme d'une unique puissance :

1. a) $(4^{3})^{2}$

1. b) $(10^{5})^{4}$

1. c) $(x^{2})^{8}$

Dans un entrepôt de logistique, les caisses sont rangées dans des étagères cubiques. Un bloc de stockage est formé de 4 étagères en largeur, 4 en longueur et 4 en hauteur. Si chaque étagère contient 4 caisses :

a) Exprimer le nombre total de caisses sous la forme d'une seule puissance.

b) Si chaque caisse contient $2^3$ paquets de feuilles, combien y a-t-il de paquets de feuilles au total dans le bloc ? Exprimer le résultat sous la forme d'une puissance de base 2.

Calculer la valeur des expressions suivantes en respectant les priorités opératoires :

a) $2^4 - 3^2 + \sqrt{25} \cdot 2 =$

b) $(5-2)^3 + 10^2 : (2^2 + 1) =$

c) $2 \cdot (3^2 - 4) + \sqrt{64} : 2^3 =$

Pour simplifier et calculer l'expression numérique $\dfrac{12^4}{3^4 \cdot 4^2}$ sans calculatrice, deux élèves proposent des stratégies différentes :

• Méthode de Lucie : Elle regroupe d'abord le numérateur et une partie du dénominateur grâce à la puissance d'un quotient : $\dfrac{12^4}{3^4} = (12 : 3)^4 = 4^4$. Ensuite, elle divise $4^4 : 4^2$ en soustrayant les exposants.

• Méthode de Marc : Il décompose le nombre $12$ en facteurs premiers ($12 = 2^2 \cdot 3$), applique la puissance d'un produit au numérateur, décompose le dénominateur ($4 = 2^2$) et simplifie en soustrayant les exposants de puissances de même base.

1. a) Développer pas à pas la démarche suivant la méthode de Lucie jusqu'à obtenir la valeur finale.
2. b) Développer la démarche suivant la méthode de Marc jusqu'à obtenir le résultat.
3. c) Comparer les deux méthodes : laquelle vous semble la plus rapide dans cet exercice et pourquoi ? Dans quelle situation la méthode de Lucie ne pourrait-elle pas s'appliquer et l'utilisation de celle de Marc serait-elle indispensable ?

Calculer la valeur de l'expression combinée suivante, en appliquant les propriétés des puissances chaque fois que c'est possible pour simplifier le calcul avant d'effectuer les opérations :

$$ \frac{(2^3 \cdot 2^2)^2 \cdot 5^7 \cdot 10^3}{(5^2)^4 \cdot 2^{12}} + \sqrt{144} : 2^2 $$

Une vidéo d'un « streamer » est devenue virale sur un réseau social. Pendant les premières heures, le nombre de personnes qui partagent la vidéo triple chaque heure. Si au départ 3 personnes l'ont partagée :

a) Écrire sous forme de puissance le nombre de personnes qui auront partagé la vidéo au bout de 5 heures.

b) Calculer la valeur de cette puissance pour connaître le nombre total de personnes à ce moment-là.

Déterminer la valeur de l'inconnue $x$ dans chacune des égalités suivantes en appliquant les propriétés des puissances :

a) $7^x \cdot 7^2 = 7^9$

b) $(5^3)^x = 5^{15}$

c) $10^8 : 10^x = 10^3$

Trouver la valeur de l'inconnue $n$ dans les égalités suivantes, en appliquant les règles sur les puissances :

1. a) $2^n \cdot 2^3 \cdot 2 = 1024$
2. b) $5^6 : 5^n = 125$
3. c) $(3^2)^n \cdot 9 = 3^{10}$