Théorème de Thalès

Dans le dessin suivant, les droites $r$ et $s$ sont coupées par trois droites parallèles ($a$, $b$ et $c$). Sachant que les segments déterminés sur la droite $r$ mesurent $AB = 4\text{ cm}$ et $BC = 6\text{ cm}$, et que le segment homologue de $AB$ sur la droite $s$ mesure $A'B' = 2\text{ cm}$, calculer la longueur du segment $B'C'$.

Calculer la valeur de l'inconnue $x$ dans la figure suivante, sachant que les segments horizontaux sont parallèles entre eux.

Dans le schéma suivant, les droites $r$ et $s$ sont coupées par trois droites parallèles ($a$, $b$ et $c$). Utiliser les données fournies pour calculer la longueur du segment inconnu $x$.

Sur une étagère design, trois supports métalliques parallèles entre eux sont coupés par deux tablettes en bois. La tablette supérieure est divisée par les supports en deux tronçons consécutifs de $25$ cm et $x$. La tablette inférieure est divisée en deux tronçons correspondants de $y$ et $48$ cm. Sachant que la tablette supérieure mesure en tout $65$ cm, calculer la mesure des tronçons notés $x$ et $y$.

Deux triangles sont en configuration de Thalès. Le petit triangle a des côtés qui mesurent $3\text{ cm}$, $4\text{ cm}$ et $5\text{ cm}$. Si le côté correspondant à celui de $3\text{ cm}$ dans le grand triangle mesure $9\text{ cm}$, combien mesureront les deux autres côtés du grand triangle ?

Un jeune graphiste crée un logo qui comporte deux triangles en configuration de Thalès. Sachant que le segment $DE$ est parallèle à $BC$, calculer les longueurs des segments $AD$ et $BC$ sachant que $AB = 12$ cm, $AE = 5$ cm, $AC = 15$ cm et $DE = 3$ cm.

On prévoit de concevoir une structure triangulaire $ABC$ de renfort pour une grue, dont la base horizontale $BC$ mesure $120\text{ cm}$ et le côté incliné $AB$ mesure $90\text{ cm}$. On doit souder un tirant d'acier horizontal $DE$, parallèle à la base $BC$, avec le point $D$ situé sur le côté $AB$ et le point $E$ sur le côté $AC$.

1. a) Si la longueur du tirant $DE$ doit être exactement de $40\text{ cm}$, à quelle distance du sommet $A$ faut-il souder le point $D$ le long du côté $AB$ ?
2. b) Si l'on décide de modifier la conception pour que le tirant $DE$ partage le côté $AB$ de sorte que le segment supérieur $AD$ mesure exactement le double du segment inférieur $DB$, quelle sera la longueur de la barre $DE$ dans ce nouveau cas ?
3. c) Déduire une formule littérale qui exprime la longueur de la barre horizontale $DE$ (que l'on notera $y$) en fonction de la distance $AD$ (que l'on notera $x$), et indiquer entre quelles valeurs il est géométriquement pertinent que $x$ varie.

Un menuisier construit une étagère design en forme de triangle rectangle. Il a placé deux tablettes horizontales parallèles à la base. La base de l'étagère mesure $1,2$ mètres. La première tablette est située à une hauteur de $40$ cm par rapport à la base et mesure $90$ cm de long. La seconde tablette mesure $60$ cm de long. À quelle hauteur par rapport à la base se trouve la seconde tablette ? Quelle est la hauteur totale de l'étagère ? (Exprimer tous les résultats en centimètres.)

Un menuisier construit une étagère et veut vérifier si les deux planches sont parallèles. Pour cela, il mesure les distances sur les montants latéraux. Du côté gauche, la distance entre le sol et la première planche est de $30\text{ cm}$, et entre la première et la deuxième il y a $40\text{ cm}$. Du côté droit, la distance au sol est de $45\text{ cm}$ et entre les planches il y a $60\text{ cm}$. Les planches sont-elles parallèles ? Justifier la réponse en utilisant la proportion du théorème de Thalès.

Vérifier si les droites $r$ et $s$ de la figure suivante sont parallèles. Pour cela, vérifier si la relation de proportionnalité est satisfaite entre les segments qu'elles déterminent sur les sécantes qui les coupent. Justifier la réponse avec les calculs nécessaires.

Lors d'une évaluation écrite, le problème suivant est posé : « Dans un triangle $ABC$, le côté $AB$ mesure $15\text{ cm}$. On trace un segment intérieur $DE$ parallèle au côté $BC$ (avec $D$ sur $AB$ et $E$ sur $AC$), de telle sorte que $AD = 6\text{ cm}$ et la base $BC = 20\text{ cm}$. Calculer la longueur du segment parallèle $DE$ ».

Deux élèves discutent de la bonne façon de le résoudre :

• Hélène affirme : « D'après le théorème de Thalès, les segments sont proportionnels. Comme le segment inférieur est $DB = 15 - 6 = 9\text{ cm}$, la proportion est $\frac{AD}{DB} = \frac{DE}{BC}$, c'est-à-dire $\frac{6}{9} = \frac{DE}{20}$, ce qui donne $DE \approx 13,33\text{ cm}$ ».

• Paul réplique : « Ta formule est fausse parce que les côtés parallèles appartiennent à des triangles entiers, et non à des segments découpés sur une transversale. La proportion correcte est $\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}$, c'est-à-dire $\frac{6}{15} = \frac{DE}{20}$, ce qui donne $DE = 8\text{ cm}$ ».

1. a) Justifier rigoureusement qui a raison et expliquer avec précision l'erreur conceptuelle de la personne qui se trompe en confondant les segments des transversales avec les bases parallèles.
2. b) Pour défendre Hélène, un troisième élève dit : « La formule d'Hélène fonctionne si $D$ est placé exactement au milieu de $AB$ ». Vérifier ce qui se passerait avec la formule d'Hélène si $AD = 7,5\text{ cm}$ et $DB = 7,5\text{ cm}$, calculer la valeur qu'elle prédit et argumenter pourquoi ce résultat démontre géométriquement que la formule reste absurde.
3. c) Si l'on définit le rapport de similitude comme $r = \frac{AD}{AB}$, écrire la relation générale correcte qui permet de calculer la longueur du segment $DE$ à partir de la base $BC$ et de $r$.

Un jeune de $1,5\text{ mètres}$ de hauteur projette une ombre de $1\text{ mètre}$ de long. À ce même instant, l'ombre d'un lampadaire de la rue mesure $4\text{ mètres}$. Quelle est la hauteur du lampadaire ? Faire un schéma avec deux triangles rectangles pour visualiser la situation.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Dans un parc, un arbre de $2\text{ mètres}$ de hauteur projette une ombre de $3,5\text{ mètres}$. À quelques mètres se trouve une statue dont l'ombre mesure exactement $7\text{ mètres}$. Quelle est la hauteur de la statue ? Utiliser les triangles semblables que donne le théorème de Thalès.

Pour mesurer la hauteur d'un panier de basket, un élève de 4e place un bâton vertical de $1,5$ mètres de haut de sorte que l'extrémité de son ombre coïncide exactement avec l'extrémité de l'ombre du panier. Si l'ombre du bâton mesure $2,1$ mètres et que la distance entre le pied du bâton et le pied du panier est de $2,2$ mètres, quelle est la hauteur du panier ?

Un artiste urbain veut projeter l'ombre d'une sculpture verticale de $2,5$ mètres de haut sur un mur situé à une certaine distance. Pour cela, il place un projecteur au sol à $6$ mètres de la sculpture. Si l'ombre projetée sur le mur mesure exactement $4$ mètres de haut, à quelle distance du projecteur se trouve le mur ? Si l'artiste rapproche le projecteur de $2$ mètres vers la sculpture, combien mesurera la nouvelle ombre ?

Tracer dans votre cahier un segment $AB$ mesurant $10\text{ cm}$. En utilisant la méthode du théorème de Thalès, le partager exactement en $4$ parties égales. Décrire brièvement les étapes suivies (tracé de la demi-droite auxiliaire, divisions égales et jointure des extrémités).

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Partager un segment de $7\text{ cm}$ en deux parties dont le rapport est de $2$ à $3$. Pour cela, utiliser une demi-droite auxiliaire et marquer $5$ divisions égales ($2+3$). Combien mesure chacun des deux nouveaux segments obtenus sur le segment d'origine ?

Partager graphiquement un segment $AB$ de $9$ cm de longueur en trois parties proportionnelles aux nombres $2$, $3$ et $4$. Expliquer brièvement les étapes effectuées en s'appuyant sur le théorème de Thalès.

Déterminer la quatrième proportionnelle de trois segments dont les longueurs sont $a = 8$ cm, $b = 12$ cm et $c = 10$ cm. Effectuer à la fois le calcul numérique et la construction géométrique en utilisant le théorème de Thalès sur deux demi-droites de même origine.