Exercices: Théorème de Thalès

Dans le dessin suivant, les droites $r$ et $s$ sont coupées par trois droites parallèles ($a$, $b$ et $c$). Sachant que les segments déterminés sur la droite $r$ mesurent $AB = 4\text{ cm}$ et $BC = 6\text{ cm}$, et que le segment homologue de $AB$ sur la droite $s$ mesure $A'B' = 2\text{ cm}$, calculer la longueur du segment $B'C'$.

Tracer dans votre cahier un segment $AB$ mesurant $10\text{ cm}$. En utilisant la méthode du théorème de Thalès, le partager exactement en $4$ parties égales. Décrire brièvement les étapes suivies (tracé de la demi-droite auxiliaire, divisions égales et jointure des extrémités).

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Un jeune de $1,5\text{ mètres}$ de hauteur projette une ombre de $1\text{ mètre}$ de long. À ce même instant, l'ombre d'un lampadaire de la rue mesure $4\text{ mètres}$. Quelle est la hauteur du lampadaire ? Faire un schéma avec deux triangles rectangles pour visualiser la situation.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Deux triangles sont en configuration de Thalès. Le petit triangle a des côtés qui mesurent $3\text{ cm}$, $4\text{ cm}$ et $5\text{ cm}$. Si le côté correspondant à celui de $3\text{ cm}$ dans le grand triangle mesure $9\text{ cm}$, combien mesureront les deux autres côtés du grand triangle ?

Un menuisier construit une étagère et veut vérifier si les deux planches sont parallèles. Pour cela, il mesure les distances sur les montants latéraux. Du côté gauche, la distance entre le sol et la première planche est de $30\text{ cm}$, et entre la première et la deuxième il y a $40\text{ cm}$. Du côté droit, la distance au sol est de $45\text{ cm}$ et entre les planches il y a $60\text{ cm}$. Les planches sont-elles parallèles ? Justifier la réponse en utilisant la proportion du théorème de Thalès.

Calculer la valeur de l'inconnue $x$ dans la figure suivante, sachant que les segments horizontaux sont parallèles entre eux.

Partager un segment de $7\text{ cm}$ en deux parties dont le rapport est de $2$ à $3$. Pour cela, utiliser une demi-droite auxiliaire et marquer $5$ divisions égales ($2+3$). Combien mesure chacun des deux nouveaux segments obtenus sur le segment d'origine ?

Dans un parc, un arbre de $2\text{ mètres}$ de hauteur projette une ombre de $3,5\text{ mètres}$. À quelques mètres se trouve une statue dont l'ombre mesure exactement $7\text{ mètres}$. Quelle est la hauteur de la statue ? Utiliser les triangles semblables que donne le théorème de Thalès.

Dans la cour de votre collège, à 12 h, vous plantez verticalement dans le sol une règle de $1\text{ m}$ de hauteur et vous observez que son ombre mesure exactement $0,5\text{ m}$. Juste à côté, un lampadaire projette au même instant une ombre de $2,6\text{ m}$.

1. a) Sans effectuer d'opérations avec papier et crayon, estimer de façon raisonnée si le lampadaire mesure plus ou moins de $5\text{ m}$, en expliquant votre déduction à partir du rapport entre la hauteur de la règle et son ombre.
2. b) Appliquer le théorème de Thalès pour calculer avec exactitude la hauteur réelle du lampadaire.
3. c) Comparer la valeur obtenue avec votre estimation préalable et expliquer pourquoi le résultat est cohérent.

Deux droites sécantes, $r$ et $s$, sont coupées par trois droites parallèles ($a$, $b$ et $c$). Sur la droite $r$, ces parallèles déterminent deux segments consécutifs : $AB = 3\text{ cm}$ et $BC = 5\text{ cm}$. Sur la droite $s$, les segments homologues correspondants sont $A'B' = 4,5\text{ cm}$ et $B'C' = x$.

Pour calculer la valeur de $x$, Marcus a écrit dans son cahier l'égalité suivante :

et après résolution, il a obtenu $x = 2,7\text{ cm}$.

1. a) Indiquer quelle est l'erreur de raisonnement de Marcus dans l'association des segments de la proportion.
2. b) Sans faire de calculs numériques pour l'instant, expliquer pourquoi un résultat de $2,7\text{ cm}$ contredit la logique géométrique du théorème de Thalès, en observant les mesures de $AB$ et $BC$.
3. c) Écrire la proportion correcte, la résoudre étape par étape et déterminer la mesure réelle du segment $B'C'$.

Dans le schéma suivant, les droites $r$ et $s$ sont coupées par trois droites parallèles ($a$, $b$ et $c$). Utiliser les données fournies pour calculer la longueur du segment inconnu $x$.

Un jeune graphiste crée un logo qui comporte deux triangles en configuration de Thalès. Sachant que le segment $DE$ est parallèle à $BC$, calculer les longueurs des segments $AD$ et $BC$ sachant que $AB = 12$ cm, $AE = 5$ cm, $AC = 15$ cm et $DE = 3$ cm.

Pour mesurer la hauteur d'un panier de basket, un élève de 4e place un bâton vertical de $1,5$ mètres de haut de sorte que l'extrémité de son ombre coïncide exactement avec l'extrémité de l'ombre du panier. Si l'ombre du bâton mesure $2,1$ mètres et que la distance entre le pied du bâton et le pied du panier est de $2,2$ mètres, quelle est la hauteur du panier ?

Partager graphiquement un segment $AB$ de $9$ cm de longueur en trois parties proportionnelles aux nombres $2$, $3$ et $4$. Expliquer brièvement les étapes effectuées en s'appuyant sur le théorème de Thalès.

Sur une étagère design, trois supports métalliques parallèles entre eux sont coupés par deux tablettes en bois. La tablette supérieure est divisée par les supports en deux tronçons consécutifs de $25$ cm et $x$. La tablette inférieure est divisée en deux tronçons correspondants de $y$ et $48$ cm. Sachant que la tablette supérieure mesure en tout $65$ cm, calculer la mesure des tronçons notés $x$ et $y$.

Déterminer la quatrième proportionnelle de trois segments dont les longueurs sont $a = 8$ cm, $b = 12$ cm et $c = 10$ cm. Effectuer à la fois le calcul numérique et la construction géométrique en utilisant le théorème de Thalès sur deux demi-droites de même origine.

Vérifier si les droites $r$ et $s$ de la figure suivante sont parallèles. Pour cela, vérifier si la relation de proportionnalité est satisfaite entre les segments qu'elles déterminent sur les sécantes qui les coupent. Justifier la réponse avec les calculs nécessaires.

Une échelle de $2,4$ mètres de longueur est appuyée contre un mur. Les barreaux sont parallèles au sol. Le premier barreau est à $30$ cm du sol en suivant l'inclinaison de l'échelle, et le second à $30$ cm de plus du premier. Si la distance horizontale entre le pied de l'échelle et le mur est de $1,2$ mètres, quelle est la distance horizontale entre le pied de l'échelle et la verticale du second barreau ?

Pour améliorer le confort thermique d'un centre de santé, la mairie commande l'installation d'une pergola inclinée avec des panneaux solaires. La poutre maîtresse inclinée mesure $6\text{ m}$ de longueur et s'appuie depuis le sol jusqu'au sommet d'un mur vertical de $2,4\text{ m}$ de hauteur. Pour renforcer la structure métallique, on place deux poteaux verticaux auxiliaires (parallèles au mur) :

• Le premier poteau est placé à $1,5\text{ m}$ de l'appui au sol (mesurés sur la poutre inclinée).

• Le second poteau est placé à $4\text{ m}$ de cet appui (mesurés également sur la poutre).

1. a) Modéliser la situation en identifiant les triangles en configuration de Thalès et justifier pourquoi les deux poteaux et le mur remplissent les conditions du théorème.
2. b) Calculer la hauteur exacte que doit avoir chacun des deux poteaux verticaux de renfort.
3. c) Si la réglementation municipale d'accessibilité exige que la hauteur de passage libre sous tout point praticable de la structure soit d'au moins $1,5\text{ m}$, déterminer en justifiant si un adulte qui marche debout peut passer sous le premier poteau.

On prévoit de concevoir une structure triangulaire $ABC$ de renfort pour une grue, dont la base horizontale $BC$ mesure $120\text{ cm}$ et le côté incliné $AB$ mesure $90\text{ cm}$. On doit souder un tirant d'acier horizontal $DE$, parallèle à la base $BC$, avec le point $D$ situé sur le côté $AB$ et le point $E$ sur le côté $AC$.

1. a) Si la longueur du tirant $DE$ doit être exactement de $40\text{ cm}$, à quelle distance du sommet $A$ faut-il souder le point $D$ le long du côté $AB$ ?
2. b) Si l'on décide de modifier la conception pour que le tirant $DE$ partage le côté $AB$ de sorte que le segment supérieur $AD$ mesure exactement le double du segment inférieur $DB$, quelle sera la longueur de la barre $DE$ dans ce nouveau cas ?
3. c) Déduire une formule littérale qui exprime la longueur de la barre horizontale $DE$ (que l'on notera $y$) en fonction de la distance $AD$ (que l'on notera $x$), et indiquer entre quelles valeurs il est géométriquement pertinent que $x$ varie.

Dans la structure d'une passerelle piétonne, on a placé trois poutres de renfort horizontales parallèles entre elles. Les poutres sont reliées par deux tirants d'acier obliques, comme le montre la figure. Sachant que les segments déterminés sur le premier tirant mesurent $x$ et $x + 2$ mètres, et que les segments correspondants sur le second tirant mesurent $3$ et $4$ mètres, calculer la valeur de $x$ et la longueur totale du premier tirant.

Un artiste urbain veut projeter l'ombre d'une sculpture verticale de $2,5$ mètres de haut sur un mur situé à une certaine distance. Pour cela, il place un projecteur au sol à $6$ mètres de la sculpture. Si l'ombre projetée sur le mur mesure exactement $4$ mètres de haut, à quelle distance du projecteur se trouve le mur ? Si l'artiste rapproche le projecteur de $2$ mètres vers la sculpture, combien mesurera la nouvelle ombre ?

Dans un parc d'aventures, un câble de tyrolienne relie le sommet de deux tours verticales. Une barre de sécurité de $3$ mètres de haut est placée perpendiculairement au sol, de sorte qu'elle touche exactement le câble de la tyrolienne. Si la distance entre le pied de la petite tour et la barre est de $12$ mètres et que la distance entre la barre et l'ancrage du câble au sol est de $8$ mètres, calculer la hauteur de la petite tour. Si la grande tour est à $30$ mètres de l'ancrage au sol, quelle est sa hauteur ?

Pour mesurer la profondeur d'un puits circulaire de $2$ mètres de diamètre, une personne de $1,70$ mètres de haut se place à $1,2$ mètres du bord du puits. De cette position, ses yeux (situés à $1,60$ mètres du sol) voient alignés le bord du puits et l'extrémité inférieure de la paroi opposée. Faire un schéma de la situation et calculer la profondeur du puits à l'aide du théorème de Thalès.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Un menuisier construit une étagère design en forme de triangle rectangle. Il a placé deux tablettes horizontales parallèles à la base. La base de l'étagère mesure $1,2$ mètres. La première tablette est située à une hauteur de $40$ cm par rapport à la base et mesure $90$ cm de long. La seconde tablette mesure $60$ cm de long. À quelle hauteur par rapport à la base se trouve la seconde tablette ? Quelle est la hauteur totale de l'étagère ? (Exprimer tous les résultats en centimètres.)

Deux immeubles situés dans la même rue projettent des ombres qui se superposent à un moment donné de la journée. L'immeuble A a une hauteur de $18$ mètres et projette une ombre de $12$ mètres. L'immeuble B est situé derrière, de sorte que son ombre se termine exactement au même point que celle de l'immeuble A. Si la distance entre la base de l'immeuble A et le bout de son ombre est de $12$ mètres, et que la distance entre les deux immeubles est de $10$ mètres, calculer la hauteur de l'immeuble B.

Sur une carte à l'échelle $1:2\,500$, un terrain en forme de trapèze rectangle a une grande base de $8$ cm et une petite base de $5$ cm. Si, dans la réalité, la hauteur de ce terrain est de $100$ mètres, calculer :

1. La longueur réelle des bases en mètres.

2. La mesure de la hauteur sur la carte en centimètres.

3. Si l'on trace une droite parallèle aux bases qui partage la hauteur de la carte exactement en deux parties égales, combien mesurera ce nouveau segment sur la carte ?

Calculer la valeur des segments $y$ et $z$ dans la configuration suivante de droites parallèles coupées par des sécantes. On sait que le rapport entre les segments supérieurs est $x / 2 = 5 / 4$. Utiliser les données de l'image pour écrire les proportions nécessaires en s'appuyant sur le théorème de Thalès.

Pour mesurer la hauteur du clocher de leur village lors d'une sortie scolaire, deux groupes de 4e proposent deux procédés fondés sur les triangles semblables :

• Méthode 1 (ombre du soleil) : ils plantent dans le sol un piquet vertical de $1,5\text{ m}$, mesurent son ombre ($0,9\text{ m}$) et l'ombre projetée par la tour ($15\text{ m}$) à 11 h 30.

• Méthode 2 (miroir au sol) : ils placent un miroir plan horizontal sur le sol à $20\text{ m}$ du pied de la tour. Une élève dont la hauteur jusqu'aux yeux est de $1,60\text{ m}$ s'éloigne de $1,28\text{ m}$ du miroir en ligne droite jusqu'à voir le sommet de la tour reflété au centre du miroir (sachant que l'angle d'incidence de la lumière sur le miroir est égal à l'angle de réflexion).

1. a) Effectuer les calculs que ferait chaque groupe et vérifier si les deux méthodes donnent le même résultat pour la hauteur du clocher.
2. b) Expliquer le principe géométrique de la méthode du miroir en démontrant pourquoi les deux triangles en jeu sont semblables et comment cela se rattache à la configuration de Thalès.
3. c) Si l'activité devait obligatoirement avoir lieu un jour très nuageux sans ombres nettes, ou bien sur une place fermée où les bâtiments voisins cachent l'ombre de la tour, laquelle des deux méthodes choisiriez-vous ? Justifier les avantages, les limites et les inconvénients de chacune en situation réelle.

Lors d'une évaluation écrite, le problème suivant est posé : « Dans un triangle $ABC$, le côté $AB$ mesure $15\text{ cm}$. On trace un segment intérieur $DE$ parallèle au côté $BC$ (avec $D$ sur $AB$ et $E$ sur $AC$), de telle sorte que $AD = 6\text{ cm}$ et la base $BC = 20\text{ cm}$. Calculer la longueur du segment parallèle $DE$ ».

Deux élèves discutent de la bonne façon de le résoudre :

• Hélène affirme : « D'après le théorème de Thalès, les segments sont proportionnels. Comme le segment inférieur est $DB = 15 - 6 = 9\text{ cm}$, la proportion est $\frac{AD}{DB} = \frac{DE}{BC}$, c'est-à-dire $\frac{6}{9} = \frac{DE}{20}$, ce qui donne $DE \approx 13,33\text{ cm}$ ».

• Paul réplique : « Ta formule est fausse parce que les côtés parallèles appartiennent à des triangles entiers, et non à des segments découpés sur une transversale. La proportion correcte est $\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}$, c'est-à-dire $\frac{6}{15} = \frac{DE}{20}$, ce qui donne $DE = 8\text{ cm}$ ».

1. a) Justifier rigoureusement qui a raison et expliquer avec précision l'erreur conceptuelle de la personne qui se trompe en confondant les segments des transversales avec les bases parallèles.
2. b) Pour défendre Hélène, un troisième élève dit : « La formule d'Hélène fonctionne si $D$ est placé exactement au milieu de $AB$ ». Vérifier ce qui se passerait avec la formule d'Hélène si $AD = 7,5\text{ cm}$ et $DB = 7,5\text{ cm}$, calculer la valeur qu'elle prédit et argumenter pourquoi ce résultat démontre géométriquement que la formule reste absurde.
3. c) Si l'on définit le rapport de similitude comme $r = \frac{AD}{AB}$, écrire la relation générale correcte qui permet de calculer la longueur du segment $DE$ à partir de la base $BC$ et de $r$.