Exercices: Notions

Sarah a deux photographies de son chien. La première mesure $10 \text{ cm}$ de large et $15 \text{ cm}$ de haut. La seconde est un agrandissement qui mesure $20 \text{ cm}$ de large et $30 \text{ cm}$ de haut. Ces deux photographies sont-elles des figures semblables ? Justifier votre réponse en vérifiant si les dimensions sont proportionnelles.

Calculer le rapport d'agrandissement ou de réduction $k$ qui transforme le rectangle $A$ en le rectangle $B$, sachant que le petit côté de $A$ mesure $4 \text{ cm}$ et le petit côté de $B$ mesure $12 \text{ cm}$. S'agit-il d'un agrandissement ou d'une réduction ?

Lucas a dessiné un triangle dont les angles mesurent $40^\circ$, $60^\circ$ et $80^\circ$. S'il décide de créer un nouveau triangle semblable en doublant la longueur de tous ses côtés, combien mesureront les angles du nouveau triangle ? Expliquer ce qui se passe pour les angles de deux figures lorsqu'elles sont semblables.

Sur l'écran de son téléphone, Marc voit une carte à une certaine échelle. Si le rapport de similitude entre la carte affichée et la réalité est $k = \frac{1}{5000}$, indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses :

• a) La carte est une réduction de la réalité.

• b) $1 \text{ cm}$ sur la carte représente $5000 \text{ cm}$ dans la réalité.

• c) Les angles entre les rues changent sur la carte pour qu'elles puissent tenir sur l'écran.

Un logo a la forme d'un pentagone régulier de côté $3 \text{ cm}$. Pour la façade d'un magasin, on fabrique un logo semblable avec un rapport $k = 15$. Combien mesurera le côté du nouveau logo ?

Observer les paires de rectangles suivantes. Indiquer, sans effectuer de calculs compliqués, lequel ne peut pas être semblable à l'original et expliquer pourquoi en observant sa forme.

Si deux polygones sont semblables avec un rapport $k = 2,5$ et que le périmètre du petit polygone est de $20 \text{ cm}$, quel sera le périmètre du grand polygone ? Rappeler la relation qui existe entre le rapport et les périmètres.

Dessiner sur un quadrillage une lettre « L » qui occupe $2$ carreaux de large et $4$ de haut. Dessiner ensuite à côté une autre lettre « L » semblable avec un rapport $k = 0,5$. Combien de carreaux de haut aura la nouvelle figure ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Camille a une feuille rectangulaire de $20\text{ cm} \times 30\text{ cm}$ pour le cours d'arts plastiques et utilise exactement un tube de $60\text{ ml}$ de gouache pour la couvrir entièrement. Pour une exposition au collège, elle veut faire une version agrandie et semblable en multipliant la longueur de tous ses côtés par $3$ (c'est-à-dire avec un rapport $k = 3$). Son camarade Hugo lui dit : « Comme les côtés mesurent le triple, tu vas avoir besoin de trois fois plus de peinture, donc achète $3$ tubes de $60\text{ ml}$ ($180\text{ ml}$) et tu en auras assez ».\na) Relever l'erreur de raisonnement d'Hugo et expliquer, à l'aide des propriétés des figures semblables, pourquoi la quantité de peinture n'est pas proportionnelle au rapport $k$.\nb) Calculer combien de millilitres de gouache et combien de tubes entiers Camille aura réellement besoin pour peindre la grande feuille.

La mairie va peindre au sol d'un parc un terrain de sport pour enfants qui sera semblable à un terrain réglementaire de futsal. Le terrain réglementaire mesure $40\text{ m}$ de long sur $20\text{ m}$ de large. Le terrain pour enfants aura une longueur de $20\text{ m}$.\na) Sans faire de calculs détaillés pour l'instant, estimer en justifiant : le périmètre du terrain pour enfants sera-t-il la moitié ou le quart de celui du terrain réglementaire ? Et son aire sera-t-elle la moitié, le quart ou le huitième ?\nb) Calculer maintenant le rapport de réduction $k$, le périmètre des deux terrains et l'aire des deux terrains.\nc) Vérifier si vos estimations de la question a) coïncident avec les valeurs calculées et justifier la relation mathématique obtenue entre le rapport de réduction, les périmètres et les aires.

Un illustrateur conçoit deux versions d'un même logo rectangulaire. Le logo original a pour dimensions $12\text{ cm}$ de long et $8\text{ cm}$ de large. S'il veut créer une version agrandie semblable dont la longueur mesure $30\text{ cm}$ :

1. Calculer le rapport d'agrandissement $k$.

2. Déterminer la largeur du nouveau logo.

3. Si le périmètre du petit logo est de $40\text{ cm}$, quel sera le périmètre du grand ? Utiliser la relation entre les périmètres de figures semblables pour le vérifier.

Calculer la valeur du segment inconnu $x$ dans la figure suivante, sachant que les droites $r$, $s$ et $t$ sont parallèles. Appliquer le théorème de Thalès et donner le résultat avec deux décimales.

Deux triangles, $ABC$ et $A'B'C'$, sont en configuration de Thalès. Le petit triangle a des côtés qui mesurent $AB = 5\text{ cm}$, $BC = 6\text{ cm}$ et $AC = 4\text{ cm}$. Si le côté correspondant $AB'$ du grand triangle mesure $12,5\text{ cm}$ :

1. Quel est le rapport d'agrandissement entre le grand triangle et le petit ?

2. Déterminer les longueurs des côtés $B'C'$ et $AC'$.

3. Vérifier que le quotient de leurs aires est égal au carré du rapport d'agrandissement.

Un architecte a dessiné le plan d'une pièce à l'échelle 1/50. Sur le plan, la pièce est un rectangle de $12\text{ cm}$ de long sur $8\text{ cm}$ de large.

1. Calculer les dimensions réelles de la pièce en mètres.

2. L'architecte veut poser un tapis qui occupe $6\text{ m}^2$ dans la réalité. Quelle aire ce tapis occupera-t-il sur le plan (en $\text{cm}^2$) ?

3. S'il décidait de changer l'échelle pour 1/100, comment varieraient les mesures du dessin par rapport au plan précédent ?

Pour mesurer la hauteur d'un pylône électrique, un technicien observe qu'à un moment donné le pylône projette une ombre de $18\text{ mètres}$. Au même moment, il place verticalement un bâton de $1,5\text{ mètres}$ de hauteur qui projette une ombre de $2,25\text{ mètres}$.

1. Justifier pourquoi les triangles formés par le pylône et son ombre, et par le bâton et la sienne, sont semblables.

2. Calculer la hauteur du pylône.

Déterminer si les paires de triangles suivantes sont formées de triangles semblables et indiquer quel critère de similitude a été utilisé dans chaque cas :

• Cas A : Le triangle 1 a des angles de $40^\circ$ et $75^\circ$. Le triangle 2 a des angles de $75^\circ$ et $65^\circ$.

• Cas B : Le triangle 1 a des côtés de $6\text{ cm}$, $9\text{ cm}$ et $12\text{ cm}$. Le triangle 2 a des côtés de $8\text{ cm}$, $12\text{ cm}$ et $16\text{ cm}$.

• Cas C : Les deux triangles ont un angle de $50^\circ$. Dans le premier, les côtés qui forment cet angle mesurent $4\text{ cm}$ et $7\text{ cm}$. Dans le second, ils mesurent $8\text{ cm}$ et $14\text{ cm}$.

Dans un triangle rectangle, la hauteur issue de l'angle droit partage l'hypoténuse en deux segments (projections des côtés de l'angle droit) qui mesurent $3,6\text{ cm}$ et $10\text{ cm}$.

1. Calculer la hauteur du triangle à l'aide de la relation sur la hauteur.

2. Calculer la longueur des côtés de l'angle droit à l'aide de la relation sur les côtés de l'angle droit.

3. Dessiner un schéma du triangle en indiquant toutes les valeurs trouvées.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Nous disposons de deux boîtes de jus de fruit cylindriques qui sont semblables. La petite boîte a une hauteur de $10\text{ cm}$ et une contenance de $250\text{ ml}$. La grande boîte a une hauteur de $20\text{ cm}$.

1. Quel est le rapport d'agrandissement $k$ entre la grande boîte et la petite ?

2. Calculer la contenance (volume) de la grande boîte en litres. Rappeler la relation entre le rapport d'agrandissement et le volume de solides semblables.

3. Si l'aire de la base de la petite boîte est de $25\text{ cm}^2$, quelle sera l'aire de la base de la grande ?

La cour intérieure d'un centre culturel de votre région a la forme d'un trapèze d'aire totale $54\text{ m}^2$ et son grand côté mesure $12\text{ m}$. À l'accueil, on veut commander une maquette semblable de la cour pour l'exposer dans une vitrine. Vu les dimensions de la vitrine, l'aire de la maquette doit être exactement de $6\text{ m}^2$.\na) Sachant que le rapport entre les aires de figures semblables dépend de $k^2$, poser l'équation correspondante et calculer le rapport de réduction $k$ de la maquette par rapport à la cour réelle.\nb) Déterminer la longueur que doit avoir sur la maquette le côté correspondant au grand côté de $12\text{ m}$.\nc) Si le périmètre complet de la cour réelle mesure $36\text{ m}$, combien de centimètres de baguette de bois faudra-t-il pour border le périmètre de la maquette ?

Dans un atelier de graphisme, on prépare une banderole triangulaire pour une campagne sur l'usage des transports en commun. Le croquis initial est un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $6\text{ cm}$ et $8\text{ cm}$. Pour le support final, il faut une banderole semblable avec un rapport d'agrandissement $k = 4$. Pour trouver la surface de tissu qu'occupera la grande banderole, deux graphistes proposent des méthodes différentes :\n- Méthode de Lucie : calculer d'abord les nouvelles mesures des côtés de l'angle droit en les multipliant par $4$ puis, avec elles, calculer l'aire du grand triangle avec la formule $(\text{base} \cdot \text{hauteur}) / 2$.\n- Méthode de Mathis : calculer d'abord l'aire du croquis initial et la multiplier directement par le rapport au carré ($k^2$).\na) Résoudre le problème en appliquant les deux méthodes pas à pas et vérifier numériquement si l'on obtient le même résultat.\nb) Si la figure n'était pas un triangle simple mais un logo en forme de polygone irrégulier à $7$ côtés dont on connaît déjà l'aire initiale ($35\text{ cm}^2$), laquelle des deux méthodes choisiriez-vous et pourquoi ? Justifier votre choix en évaluant la quantité de données et de calculs nécessaires.

Une entreprise de parfums lance deux formats de son flacon phare, qui ont la forme de pyramides à base carrée semblables. Le flacon « Grand » a une base d'aire $144 \text{ cm}^2$ et une hauteur de $15 \text{ cm}$. Le flacon « Mini » a été conçu pour que sa surface totale de verre soit exactement le neuvième de la surface du flacon « Grand ». Si le coût du parfum est de $0,25$ € pour $\text{cm}^3$, calculer la différence de prix entre le contenu des deux flacons.

Un artiste de rue veut projeter l'ombre d'une sculpture verticale de $2,4 \text{ m}$ de hauteur sur un mur situé à $6 \text{ m}$ de distance. Pour cela, il place un projecteur au sol à une distance $d$ de la sculpture. S'il souhaite que l'ombre projetée sur le mur ait exactement $8 \text{ m}$ de hauteur, à quelle distance de la sculpture doit-il placer le projecteur ? Utiliser le théorème de Thalès pour justifier la réponse et dessiner le schéma des triangles semblables.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Dans un triangle rectangle $ABC$ (rectangle en $A$), on trace la hauteur $h$ relative à l'hypoténuse, qui la divise en deux segments $m$ et $n$. On sait que le côté de l'angle droit $b$ mesure $15 \text{ cm}$ et que sa projection sur l'hypoténuse, $n$, mesure $9 \text{ cm}$. Calculer le périmètre et l'aire du triangle initial en utilisant les relations métriques du triangle rectangle (théorèmes du côté et de la hauteur).

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Le plan d'un logement est dessiné à l'échelle $1:75$. Sur ce plan, la cuisine a la forme d'un rectangle de $4 \text{ cm} \times 6 \text{ cm}$. Le propriétaire veut refaire le sol avec des carreaux carrés de $40 \text{ cm}$ de côté.

1. a) Calculer l'aire réelle de la cuisine en mètres carrés.
2. b) Combien de carreaux entiers faut-il au minimum pour couvrir le sol de la cuisine réelle ? (On tiendra compte du fait que les chutes de carreaux peuvent être réutilisées, mais que l'on ne peut acheter que des carreaux entiers.)

Deux pentagones réguliers sont semblables. Le périmètre du premier est de $75 \text{ cm}$. On sait que l'aire du second est $1,44$ fois l'aire du premier.

1. a) Déterminer le rapport de réduction ou d'agrandissement $k$ entre le second pentagone et le premier.
2. b) Calculer le périmètre du second pentagone.
3. c) Si l'apothème du premier pentagone mesure $10,32 \text{ cm}$, combien mesurera le rayon du cercle circonscrit du second pentagone ? (Arrondir à deux décimales.)

Un téléviseur de $50$ pouces a un format d'image de $16:9$ (cela signifie que la base et la hauteur sont proportionnelles à $16$ et $9$). Sachant que $1$ pouce équivaut à $2,54 \text{ cm}$ et que les « pouces » d'un téléviseur correspondent à la mesure de sa diagonale :

1. a) Calculer les dimensions réelles (base et hauteur) du téléviseur en centimètres.
2. b) Si une image de $800 \times 450$ pixels s'affiche en plein écran sans déformation, quelle est l'aire de chaque pixel sur l'écran réel ?

Une maquette de gratte-ciel à l'échelle $1:250$ a un volume de $320 \text{ cm}^3$ et sa base a une aire de $20 \text{ cm}^2$.

1. a) Calculer la hauteur réelle du gratte-ciel en mètres.
2. b) Si l'immeuble réel doit être recouvert de panneaux de verre qui coûtent $120$ € le mètre carré, calculer le coût total du revêtement de la façade (aire latérale), sachant que le gratte-ciel a la forme d'un prisme droit et que la maquette a une aire latérale de $180 \text{ cm}^2$.

Une commune du sud de l'Espagne applique un plan d'économie d'eau en raison de la sécheresse et doit modéliser la consommation des bassins de son complexe sportif municipal. Elle dispose de deux bassins en forme de prisme droit qui sont semblables entre eux (ils ont la même forme et les mêmes proportions en longueur, largeur et profondeur) : la pataugeoire et le bassin récréatif pour adultes. La pataugeoire mesure $10\text{ m}$ de long et a une capacité de $30\text{ m}^3$ d'eau ($30\,000\text{ litres}$). Le bassin pour adultes mesure $25\text{ m}$ de long.\na) Modéliser la situation en identifiant le rapport d'agrandissement $k$ qui transforme les mesures de la pataugeoire en celles du bassin pour adultes.\nb) Calculer le volume total d'eau, en mètres cubes et en litres, nécessaire pour remplir le bassin pour adultes.\nc) Avant de les remplir, il faut appliquer une couche de résine protectrice sur le fond et sur les quatre parois intérieures. Si l'on a utilisé $16\text{ kg}$ de résine pour la pataugeoire, calculer combien de kilogrammes seront nécessaires pour le bassin pour adultes.\nd) Expliquer pourquoi l'augmentation de la quantité de peinture/résine ne coïncide pas avec l'augmentation de la quantité d'eau lorsqu'on compare les deux installations.

Un maître chocolatier d'Astorga fabrique des figurines pleines semblables en forme de cloche traditionnelle. La petite figurine mesure $10\text{ cm}$ de hauteur, pèse $125\text{ g}$ et se vend $3,50$ €. Pour une commande spéciale d'une confrérie, il souhaite fabriquer une cloche géante semblable qui pèse exactement $1\text{ kg}$ ($1\,000\text{ g}$). Les deux figurines sont faites avec le même chocolat pur, donc leur masse est proportionnelle à leur volume.\na) À partir de la relation entre les masses (volumes), déduire la valeur du rapport d'agrandissement $k$ entre la cloche géante et la petite.\nb) Quelle sera la hauteur de la cloche géante ?\nc) Pour l'emballer, on utilise du papier cellophane métallisé. Si la petite cloche nécessite $180\text{ cm}^2$ de papier pour être totalement recouverte, calculer l'aire de papier nécessaire pour emballer la cloche géante.\nd) Le client affirme : « Comme la hauteur de la cloche géante est le double de celle de la petite, le juste prix devrait être le double : $7,00$ € ». Justifier mathématiquement si l'affirmation du client est correcte ou non, et déterminer quel devrait être le prix de la cloche géante si on le facture proportionnellement à la quantité de chocolat utilisée.