Exercices: Réciproque du théorème de Pythagore et de Thalès

Le triangle $ABC$ a pour côtés $AB = 6\text{ cm}$, $AC = 8\text{ cm}$ et $BC = 10\text{ cm}$.

Montrer que ce triangle est rectangle et préciser en quel sommet.

Le triangle $DEF$ a pour côtés $DE = 5\text{ cm}$, $DF = 6\text{ cm}$ et $EF = 8\text{ cm}$.

Ce triangle est-il rectangle ? Justifier.

Les points $A, M, B$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que $A, N, C$ dans cet ordre, avec $AM = 3\text{ cm}$, $AB = 5\text{ cm}$, $AN = 4{,}5\text{ cm}$ et $AC = 7{,}5\text{ cm}$.

Comparer les rapports $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$. Que peut-on dire des droites $(MN)$ et $(BC)$ ?

Un menuisier de Toulouse vérifie l'équerrage d'un cadre censé être rectangulaire. Il mesure un côté de $1{,}20\text{ m}$, un autre de $0{,}90\text{ m}$ et la diagonale de $1{,}55\text{ m}$.

Le cadre a-t-il bien un angle droit ? Justifier.

Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$. On donne $AM = 4\text{ cm}$, $MB = 6\text{ cm}$, $AN = 3{,}2\text{ cm}$ et $NC = 4{,}8\text{ cm}$.

1. a) Calculer $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$.
2. b) Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?

Dans le triangle $RST$, $RS = 7\text{ cm}$, $ST = 24\text{ cm}$ et $RT = 25\text{ cm}$.

1. a) Montrer que $RST$ est rectangle.
2. b) Calculer son aire.
3. c) Calculer la hauteur issue de $S$.

Dans le triangle $ABC$, $AB = 12\text{ cm}$, $AC = 9\text{ cm}$ et $BC = 15\text{ cm}$. Le point $M$ est sur $[AB]$ tel que $AM = 8\text{ cm}$. La parallèle à $(BC)$ passant par $M$ coupe $(AC)$ en $N$.

1. a) Montrer que $ABC$ est rectangle.
2. b) Calculer $AN$ et $MN$.
3. c) Montrer que $AMN$ est rectangle et calculer son aire.

Les points $A, M, B$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que $A, N, C$. On donne $AM = 2{,}4\text{ cm}$, $AB = 6\text{ cm}$, $AN = 3\text{ cm}$ et $AC = 7{,}5\text{ cm}$. De plus $MN = 2{,}6\text{ cm}$ et $BC = 6{,}5\text{ cm}$.

1. a) Montrer que $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
2. b) Dans le triangle $AMN$, calculer $MN^2$, $AM^2$ et $AN^2$. Le triangle est-il rectangle ?
3. c) Le triangle $ABC$ est-il rectangle ? Justifier.

Un charpentier doit construire un portique. Les poteaux $[AB]$ et $[DC]$ sont verticaux, la traverse est $[BC]$ et la poutre inclinée $[AC]$. On donne $AD = 1{,}5\text{ m}$, $DC = 2\text{ m}$ et $AC = 2{,}5\text{ m}$, avec $D$ sur le sol, et on souhaite vérifier que l'angle en $D$ est droit.

1. a) Montrer que le triangle $ADC$ est rectangle en $D$.
2. b) Un point $E$ est placé sur $[AC]$ avec $AE = 1{,}5\text{ m}$ et $F$ sur $[AD]$ avec $AF = 0{,}9\text{ m}$. Les droites $(EF)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles ?
3. c) Calculer $EF$ si elles le sont, sinon justifier pourquoi on ne peut pas le calculer par cette méthode.