Exercices: Opérations sur les nombres rationnels

Lors d'une enquête réalisée dans ta classe sur le réseau social préféré, $\frac{12}{30}$ des élèves ont choisi une plateforme de vidéos courtes. Déterminer la fraction irréductible pour savoir quelle part du total représente ce groupe.

Observer la figure suivante qui représente un gâteau au chocolat partagé en parts égales. Écrire la fraction qui représente la partie manquante et calculer l'opposé et l'inverse de cette quantité.

Un adolescent consacre $\frac{1}{3}$ de son temps libre de l'après-midi au sport et $\frac{2}{5}$ à étudier les mathématiques.

1. a) Calculer quelle fraction de son temps libre total occupent ces deux activités.
2. b) Quelle fraction de temps lui reste-t-il pour jouer à la console ?

La batterie de ton téléphone portable a une capacité totale de $4500$ mAh. Si l'écran indique en ce moment qu'il lui reste exactement $\frac{4}{9}$ de sa capacité :

1. a) Combien de mAh sont disponibles ?
2. b) Si le mode économie d'énergie s'active lorsqu'il reste $\frac{1}{5}$ du total, combien de mAh représente cette limite ?

Pour préparer un smoothie healthy, tu as mélangé $\frac{3}{4}$ de litre de lait d'avoine avec $\frac{1}{2}$ litre de jus d'orange. En servant, $\frac{1}{8}$ de litre se renversent. Effectuer l'opération pas à pas pour savoir quelle quantité de mélange reste dans la carafe.

Sur une étagère d'une boutique de bandes dessinées, $\frac{2}{3}$ des exemplaires sont des comics de super-héros. Parmi ces comics de super-héros, la moitié ($\frac{1}{2}$) appartient à une célèbre maison d'édition américaine. Calculer la fraction du total de l'étagère que représentent les comics de cette maison d'édition en effectuant une multiplication de fractions.

On veut répartir $\frac{3}{2}$ de kilo de bonbons dans de petits sachets. Si l'on met $\frac{1}{10}$ de kilo dans chaque sachet :

1. a) Combien de sachets pourra-t-on remplir complètement ?
2. b) Effectuer l'opération en utilisant la division de fractions : $\frac{3}{2} : \frac{1}{10}$

Calculer l'expression suivante en respectant les priorités opératoires :

Hélène résout un exercice de classe et affirme : « Pour calculer $-\frac{3}{4} : \frac{2}{5}$, comme diviser c'est partager, je divise le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur : $\frac{-3 : 2}{4 : 5}$. Comme ça ne tombe pas juste, je change simplement le signe de la deuxième fraction et je multiplie en ligne : $-\frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ ».

1. a) Identifier les deux erreurs conceptuelles commises par Hélène dans son raisonnement et expliquer la différence fondamentale entre l'« inverse » et l'« opposé » d'une fraction.
2. b) Effectuer correctement l'opération pas à pas, en donnant le résultat final sous forme de fraction irréductible.

Avant d'effectuer de longs calculs avec des dénominateurs différents, il est très utile d'estimer l'ordre de grandeur du résultat pour anticiper la réponse et repérer d'éventuelles erreurs. On considère l'opération suivante : $E = \left( 1 - \frac{1}{6} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{5}{11} \right)$.

1. a) Sans effectuer le calcul exact, estimer le résultat de façon argumentée en répondant aux questions suivantes :

• Le facteur $\left( 1 - \frac{1}{6} \right)$ est-il supérieur ou inférieur à $1$ ? Est-il proche de $1$ ?

• Sachant que $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$, la fraction $\frac{5}{11}$ est-elle supérieure ou inférieure à $\frac{1}{2}$ ? La deuxième parenthèse sera-t-elle plus grande ou plus petite que $1$ ?

• À partir de ce qui précède, déduire en justifiant si le produit final $E$ sera légèrement inférieur à $1$, exactement égal à $1$ ou nettement supérieur à $1$.

1. b) Effectuer maintenant le calcul exact de $E$ en calculant les parenthèses puis en multipliant les fractions. Exprimer le résultat sous forme de fraction irréductible.
2. c) Donner l'écriture décimale de ton résultat exact (avec deux décimales) et vérifier si ton estimation initiale était correcte.

Calculer l'expression suivante, en simplifiant le résultat jusqu'à obtenir la fraction irréductible :

Calculer le résultat de l'opération suivante, en simplifiant le résultat jusqu'à obtenir la fraction irréductible :

Trois amis décident d'acheter un cadeau pour un camarade qui change de collège. Le premier verse $\frac{2}{5}$ du prix total, le deuxième verse $\frac{1}{3}$ de ce qui reste et le troisième complète le paiement avec $16$ €.

1. a) Quelle fraction du total représente la somme versée par le deuxième ami ?
2. b) Quel est le prix total du cadeau ?
3. c) Combien chacun a-t-il versé ?

Un architecte conçoit une aire de jeux dans un parc rectangulaire. Il a décidé de diviser le terrain comme le montre le schéma suivant :

Si la zone « Pelouse » occupe exactement la moitié du terrain et que la zone « Balançoires » représente $\frac{3}{10}$ du total du parc :

1. a) Quelle fraction du total représente la zone « Sable » ?
2. b) Si le parc a une surface totale de $1200$ $m^2$, combien de mètres carrés mesure la zone « Sable » ?

Calculer la valeur de l'expression suivante en tenant compte des priorités opératoires et des règles des signes :

Un créateur de contenu a enregistré une vidéo pour sa chaîne. Pendant le montage, il coupe $\frac{1}{6}$ de la durée totale à cause de problèmes de son. Puis il supprime $\frac{2}{5}$ de ce qui restait car le rythme était trop lent. Au final, la vidéo montée dure $18$ minutes.

1. a) Quelle fraction de la durée d'origine représente la vidéo finale de $18$ minutes ?
2. b) Quelle était la durée de l'enregistrement d'origine avant le début du montage ?

Calculer la valeur de l'expression suivante contenant des puissances d'exposant négatif et simplifier le résultat :

Dans un laboratoire de chimie, un récipient contient $2,4$ litres d'une solution acide. Pour une expérience, on en retire d'abord $\frac{2}{3}$ du contenu. Ensuite, on ajoute $0,5$ litres d'eau distillée pour diluer le mélange. Enfin, on utilise $\frac{3}{5}$ du mélange obtenu.

1. a) Effectuer toutes les opérations en travaillant uniquement avec des fractions.
2. b) Combien de litres de mélange reste-t-il à la fin dans le récipient ? Exprimer le résultat sous forme de fraction et de nombre décimal.

Pour préparer une épreuve par binômes en classe de mathématiques, il faut proposer une énigme numérique avec l'égalité incomplète suivante :

1. a) En appliquant les propriétés des opérations inverses et en respectant les priorités opératoires, résoudre pas à pas et calculer quelle fraction irréductible doit être placée dans la case $\Box$.
2. b) Expliquer, à partir de la règle des signes du produit, pourquoi le contenu de la parenthèse devait nécessairement être négatif et justifier pourquoi la fraction cherchée $\Box$ doit être supérieure à $\frac{2}{5}$.
3. c) Vérifier la solution en remplaçant par la fraction obtenue dans l'expression de départ et en la calculant pas à pas.

À la fin du printemps, un barrage du bassin de la Garonne est rempli aux $\frac{4}{5}$ de sa capacité totale. Pendant l'été, à cause de l'évaporation et de l'irrigation agricole, $\frac{3}{8}$ de l'eau que contenait le barrage est consommée. En septembre, grâce aux premiers orages d'automne, une quantité d'eau équivalente à $\frac{1}{10}$ de la capacité totale du barrage y entre.

1. a) Quelle fraction de la capacité totale du barrage représente l'eau consommée pendant l'été ?
2. b) Écrire une seule expression avec des fractions donnant la fraction de la capacité totale que contient le barrage après les pluies de septembre, puis la calculer en simplifiant jusqu'à la fraction irréductible.
3. c) Si la capacité maximale totale du barrage est de $160\text{ hm}^3$, combien d'hectomètres cubes d'eau restent effectivement stockés à la fin de septembre ?

Calculer la valeur exacte de l'expression suivante, en transformant d'abord les nombres décimaux en fractions et en simplifiant les étapes intermédiaires :

Une jeune influenceuse organise son budget mensuel issu de ses collaborations. Elle consacre $\frac{2}{5}$ de ses revenus au loyer de son studio et $\frac{1}{4}$ du reste au montage vidéo. Si après ces dépenses il lui reste encore $\frac{5}{9}$ de ce qui restait pour l'épargne et qu'elle dispose encore de $480$ € pour ses dépenses personnelles, à combien s'élèvent ses revenus mensuels totaux ?

Dans un laboratoire de chimie, un réservoir contient un mélange d'alcool et d'eau. Au départ, $\frac{2}{7}$ du contenu est de l'alcool. On retire $12$ litres du mélange et on les remplace par $12$ litres d'alcool pur. Si le mélange contient maintenant $\frac{2}{5}$ d'alcool, combien y a-t-il de litres de liquide au total dans le réservoir ?

Observer le motif de ce carreau moderne destiné à un centre culturel. Le carré extérieur a une aire de $1$ m$^2$. Différentes régions ont été coloriées selon un motif géométrique. Déterminer quelle fraction du total représente la zone coloriée en orange et calculer combien de cm$^2$ elle représente.

Lors d'une compétition d'e-sport, le prix total est réparti ainsi : l'équipe gagnante reçoit $\frac{4}{7}$ du total, la deuxième $\frac{2}{3}$ de ce qui reste, et la troisième le reste. Si la différence entre le prix de la deuxième et celui de la troisième est de $3\,500$ €, calculer le montant total du prix et la somme reçue par chacune des trois équipes.

Déterminer la valeur de $x$ dans l'égalité suivante de puissances de nombres rationnels, en appliquant les propriétés nécessaires pour simplifier l'expression :

Un drone de surveillance effectue un aller-retour entre deux bases. À l'aller, il vole avec le vent dans le dos à vitesse constante. Au retour, avec le vent de face, sa vitesse est réduite aux $\frac{3}{5}$ de la vitesse à l'aller. Si le temps de vol total est de $1$ heure et $20$ minutes, quelle fraction du temps total a-t-il passée sur le trajet retour ? Exprimer aussi le résultat en minutes et secondes.

Trois associés investissent dans une entreprise technologique. Le premier apporte $12\,000$ €, le deuxième apporte les $\frac{2}{5}$ du total et le troisième apporte la même somme que les deux autres réunis moins $18\,000$ €.

1. a) Quel est l'investissement total de l'entreprise ?
2. b) Quelle fraction du total chaque associé apporte-t-il ? (Exprimer les fractions sous forme irréductible.)

Pour calculer la valeur exacte de l'expression $M = \frac{3}{4} \cdot \left( \frac{8}{9} - \frac{16}{21} \right)$, Sophie et David débattent pour savoir quelle est la méthode la plus astucieuse :

• Méthode de Sophie (parenthèses d'abord) : elle détermine le PPCM de $9$ et $21$, effectue la soustraction dans la parenthèse puis multiplie par $\frac{3}{4}$, en simplifiant la fraction obtenue.

• Méthode de David (distributivité) : il applique la distributivité en calculant $\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} - \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{21}$, en simplifiant chaque produit avant d'effectuer la soustraction.

1. a) Calculer l'expression en suivant en détail la méthode de Sophie jusqu'à obtenir la fraction irréductible.
2. b) Calculer l'expression en suivant la méthode de David, en indiquant clairement les simplifications croisées avant chaque multiplication.
3. c) Analyser la taille des dénominateurs et des numérateurs utilisés dans chaque méthode. Justifier laquelle des deux est la plus efficace et présente le moins de risque d'erreur de calcul dans ce cas précis.

Lors d'une étape de montagne exigeante du Tour de France :

• Dans le premier tronçon, $\frac{1}{12}$ des coureurs partis abandonnent.

• Dans le deuxième tronçon, lors de la montée d'un col hors catégorie, $\frac{2}{11}$ des coureurs encore en course abandonnent.

• Dans le troisième tronçon, à cause d'une forte grêle dans la descente, $\frac{1}{3}$ des coureurs ayant franchi le col abandonnent.

• Au début de la montée finale vers l'arrivée, il ne reste que $60$ coureurs en lice pour l'étape.

1. a) Exprimer par un produit de fractions la part du peloton encore en course tronçon après tronçon, et simplifier en croisant les facteurs pour démontrer que les $60$ coureurs représentent exactement $\frac{1}{2}$ du peloton initial.
2. b) En déduire combien de coureurs ont pris le départ au début de l'étape.
3. c) Pendant la retransmission télévisée, un commentateur affirme : « Comme $\frac{1}{12}$ ont abandonné au début, $\frac{2}{11}$ dans le col et $\frac{1}{3}$ dans la descente, on additionne $\frac{1}{12} + \frac{2}{11} + \frac{1}{3} = \frac{79}{132}$, ce qui signifie que presque $60\,\%$ du peloton a abandonné ». Justifier avec rigueur mathématique la grave erreur conceptuelle du commentateur et indiquer quelle est la véritable fraction du peloton initial qui a abandonné la course.

Défi du thème. Comment le temps qu'il fait influence-t-il notre environnement ? Devenir analyste météorologique en étudiant des données réelles de son département.

1. Recueil de données : accéder au site officiel de Météo-France et relever les températures maximales et minimales (entiers ou décimaux relatifs) et les précipitations des $7$ derniers jours.

2. Entiers et fractions : calculer l'amplitude thermique quotidienne ($T_{\text{max}} - T_{\text{min}}$) en effectuant des opérations sur les nombres entiers relatifs et décimaux. Exprimer par une fraction les jours de pluie par rapport au total de la semaine, déterminer sa fraction irréductible et trouver une fraction égale correspondant à un mois de $28$ jours.

3. Calculs et conclusions : saisir les données dans un tableur pour déterminer la température moyenne de la semaine et estimer l'économie réalisée sur l'arrosage sachant que chaque litre recueilli représente $0,18$ € (les précipitations en l/m² indiquent les litres recueillis par mètre carré ; exprimer donc l'économie en €/m²). Rédiger un court compte rendu en justifiant ses résultats.

Seront évalués :

• La justesse dans l'application des signes et de la soustraction d'entiers/décimaux pour l'amplitude thermique.

• La détermination rigoureuse de la fraction irréductible et de la fraction égale.

• La précision des calculs avec des décimaux dans le tableur.

• La clarté et la justification mathématique du compte rendu final.