Exercices: Proportionnalité directe

Déterminer si les couples de grandeurs suivants sont proportionnels. Justifier brièvement votre réponse :

1. a) Le nombre d'abonnés d'un « influenceur » et les « likes » reçus par sa dernière photo.
2. b) La quantité de kilogrammes de pommes que vous achetez et le prix total à payer.
3. c) L'âge d'une personne et sa taille en centimètres.
4. d) Le temps pendant lequel vous laissez votre téléphone en charge et le pourcentage de batterie récupéré (en supposant une charge constante).

Un groupe d'amis veut aller au cinéma. On sait que $3$ places ont coûté $22,50$ €. Compléter le tableau suivant et calculer le coefficient de proportionnalité $k$ (prix par place) :

Pour préparer un smoothie aux fruits pour $4$ personnes, il faut $600$ mL de lait. Si samedi prochain vous invitez $10$ amis chez vous, quelle quantité de lait devrez-vous acheter pour que chacun ait son smoothie ? Résoudre en utilisant un produit en croix (proportionnalité directe).

Une voiture radiocommandée parcourt $12$ mètres en seulement $8$ secondes en gardant une vitesse constante. Si elle continue à se déplacer de la même façon :

1. a) Quelle distance parcourra-t-elle en une minute ($60$ secondes) ?
2. b) Combien de temps mettra-t-elle pour parcourir une piste de $30$ mètres ?

Votre téléphone portable a une capacité totale de stockage de $128$ Go. Si le système d'exploitation et les applications installées occupent déjà $25\%$ de l'espace, combien de gigaoctets sont actuellement occupés ?

Vous avez repéré un sweat qui vous plaît beaucoup dans une boutique en ligne. Son prix initial est de $45$ €, mais aujourd'hui il bénéficie d'une réduction de $15\%$. Combien d'euros économisez-vous grâce à la remise ? (Il n'est pas nécessaire de calculer le prix final.)

Une imprimante 3D met $45$ minutes pour fabriquer une pièce qui pèse $60$ grammes. Si l'on veut imprimer une figurine du même matériau qui pèse $100$ grammes, combien de temps l'imprimante mettra-t-elle ? Exprimer le résultat en heures et minutes.

Marc accompagne sa grand-mère chez un marchand de fruits du marché de son quartier à Marseille. Ils voient une affiche indiquant qu'un filet de $3\text{ kg}$ d'oranges coûte $4,20\text{ €}$. Marc veut calculer combien coûtera un filet de $5\text{ kg}$ de la même variété et effectue sur son téléphone l'opération $3 : 4,20 \approx 0,71$. Puis il dit à sa grand-mère : « Le kilo revient à $0,71\text{ €}$, donc le filet de $5\text{ kg}$ nous coûtera $5 \cdot 0,71 = 3,55\text{ €}$ ».

1. a) Expliquer, en justifiant, pourquoi le résultat final de Marc est manifestement absurde, sans avoir besoin d'effectuer de calculs compliqués.
2. b) Identifier l'erreur de raisonnement commise par Marc en calculant le coefficient de proportionnalité. Quelle grandeur représente réellement le nombre $0,71$ qu'il a obtenu et quelle est son unité de mesure ?
3. c) Corriger la démarche : calculer le coefficient de proportionnalité adéquat (prix au kilogramme), écrire la formule de la fonction linéaire $y = k \cdot x$ et déterminer le prix exact qu'ils paieront pour le filet de $5\text{ kg}$.

Dans une station météorologique de Météo-France située à Chamonix, un pluviomètre numérique enregistre une précipitation constante pendant une tempête d'automne. L'appareil indique qu'il est tombé exactement $18\text{ litres par mètre carré}$ ($18\text{ mm}$) pendant une durée continue de $40\text{ minutes}$.

1. a) Avant d'effectuer tout calcul exact sur papier, estimer mentalement combien de litres par mètre carré auront été recueillis si la tempête se poursuit avec la même intensité constante pendant un total de $2\text{ heures et }15\text{ minutes}$. Expliquer par écrit quelles approximations ou déductions rapides ont été utilisées pour obtenir cette estimation.
2. b) Vérifier l'estimation en calculant la valeur exacte par proportionnalité : déterminer le coefficient de proportionnalité (en litres par mètre carré et par minute) et obtenir la quantité totale cumulée pour $135\text{ minutes}$.
3. c) Comparer l'estimation de la question a) avec le résultat exact de la question b) et juger si l'approximation initiale était raisonnable, en expliquant pourquoi cette vérification est utile dans des situations réelles.

Un créateur de contenu sur une plateforme vidéo reçoit des revenus directement proportionnels au nombre de vues de ses vidéos. Pour $1250$ vues, le système lui génère un bénéfice de $3,75$ €. Recopier le tableau suivant sur votre cahier et le compléter en calculant le coefficient de proportionnalité $k$. Sur le graphique, la donnée connue est marquée.

La batterie d'une trottinette électrique se décharge proportionnellement à la distance parcourue. Si, pour un trajet de $4,5$ km, on a utilisé $12 \%$ de la capacité totale de la batterie, calculer, en passant par l'unité, la quantité de batterie consommée lors d'un parcours de $15$ km sur le même type de terrain.

Pour organiser une journée de cohésion scolaire, on a décidé de préparer une recette de citronnade maison. La recette originale indique que, pour $6$ personnes, il faut $1,5$ litres d'eau et $450$ g de sucre. Si finalement $42$ personnes se sont inscrites, combien de litres d'eau et combien de kilogrammes de sucre faut-il acheter pour conserver exactement la proportion ?

Trois amis, Alba, Bruno et Carla, ont acheté ensemble un lot de $50$ pochettes de cartes à collectionner qui coûtait $75$ €. Alba a payé $15$ €, Bruno $27$ € et Carla le reste. S'ils décident de répartir les pochettes proportionnellement à l'argent versé par chacun, combien de pochettes revient-il à chacun ?

Une carte de randonnée de la Sierra de Guadarrama est dessinée à l'échelle $1:25000$. Un groupe d'élèves prévoit un itinéraire qui mesure $14,4$ cm sur la carte.

1. Combien de kilomètres réels parcourront-ils au total ?

2. S'ils marchent à vitesse constante et mettent $45$ minutes pour parcourir les $3$ premiers km, combien de temps leur faudra-t-il en tout pour terminer l'itinéraire ?

Un centre de recyclage rémunère les usagers selon le poids de plastique apporté. Le lundi, un collège a apporté $120$ kg et a reçu $18$ €. Le mardi, un autre collège a apporté une quantité inconnue et a reçu $24,75$ €.

1. Quel est le prix par kilogramme de plastique recyclé ?

2. Combien de kilogrammes le second collège a-t-il apportés ?

À la même heure de la journée, l'ombre d'un panneau de signalisation de $2,2$ mètres de hauteur mesure $1,4$ mètres. Si, juste à côté, se trouve un pylône électrique dont l'ombre mesure $10,5$ mètres, quelle est la hauteur du pylône ? Faire un schéma de la situation avant de résoudre le problème.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Une entreprise de fabrication de composants pour smartphones utilise une machine qui produit $150$ micropuces toutes les $20$ minutes.

1. Combien de micropuces produira-t-elle pendant une journée de travail de $8$ heures sans s'arrêter ?

2. Si, à cause d'une panne technique, la machine réduit de moitié sa vitesse de production, combien d'heures mettra-t-elle pour fabriquer une commande urgente de $2250$ micropuces ?

Laura est la responsable de la cuisine d'un lycée public avec cantine. Elle sait, grâce aux registres officiels, que pour servir $180$ convives par jour on cuisine exactement $27\text{ kg}$ de riz. La semaine prochaine ont lieu des journées d'orientation et le nombre de convives va varier : le mardi, $210$ élèves mangeront ; le jeudi, $195$ ; et le vendredi, $240$.

Pour calculer la quantité de riz nécessaire pour chacun de ces trois jours, Laura hésite entre deux stratégies :

• Méthode 1 (produit en croix) : écrire trois situations de proportionnalité directe indépendantes à l'aide de produits en croix, une pour chaque jour.

• Méthode 2 (passage à l'unité) : calculer d'abord le coefficient de proportionnalité (la ration de riz par convive), puis l'appliquer aux convives de chaque jour.

1. a) Appliquer les deux méthodes pour calculer les kilogrammes de riz du mardi ($210$ convives) et vérifier que les deux procédés conduisent au même résultat.
2. b) Utiliser la méthode 2 pour calculer les kilogrammes nécessaires le jeudi ($195$ convives) et le vendredi ($240$ convives).
3. c) Justifier de façon argumentée laquelle des deux méthodes est la plus avantageuse et la plus efficace dans ce cas particulier. Votre recommandation changerait-elle si Laura devait seulement calculer la nourriture pour une seule journée isolée ? Justifier votre réponse.

Une borne de recharge du réseau public municipal fournit de l'énergie électrique à une puissance nette constante de $22\text{ kW}$ (c'est-à-dire qu'elle transfère exactement $22\text{ kWh}$ par heure complète de connexion continue). Un usager branche sa voiture électrique, dont la batterie a une capacité totale de $50\text{ kWh}$, au moment où la batterie est chargée à $10\,\%$. Le tarif municipal fixe un prix de $0,38\text{ €}$ pour chaque $\text{kWh}$ rechargé.

1. a) Calculer combien de $\text{kWh}$ d'énergie le véhicule doit recevoir pour atteindre $80\,\%$ de sa capacité (niveau habituellement recommandé par les constructeurs pour prolonger la durée de vie des batteries).
2. b) Modéliser la relation entre le temps écoulé $t$ (en heures) et l'énergie transférée $E$ (en $\text{kWh}$) par une fonction linéaire. Pendant combien de temps exactement (exprimé en heures, minutes et secondes) la voiture doit-elle rester branchée pour atteindre ce $80\,\%$ ?
3. c) Modéliser la fonction qui exprime le coût total $C$ (en euros) en fonction du temps de charge $t$ (en heures). Déterminer le coefficient de proportionnalité de cette relation, indiquer ses unités et interpréter sa signification concrète. Combien l'usager paiera-t-il au total pour cette recharge ?

Un cabinet d'architecture conçoit la maquette d'un gratte-ciel à l'aide d'une imprimante 3D de haute précision. Il a constaté que, pour imprimer une section de la structure d'un volume de $450\text{ cm}^3$, il faut $12,5\text{ mètres}$ de filament plastique et que l'imprimante met $3\text{ heures et }45\text{ minutes}$. Si le gratte-ciel complet de la maquette nécessite un volume total de plastique de $2,16\text{ dm}^3$ :

1. a) Combien de bobines de filament de $50\text{ mètres}$ faudra-t-il acheter au minimum pour terminer la maquette ?
2. b) Si l'imprimante fonctionne sans interruption, combien de jours et d'heures mettra-t-elle pour terminer le travail ?

Un serveur de streaming vidéo ajuste la taille de ses fichiers proportionnellement à la durée et à la résolution (nombre total de pixels). Une vidéo de $10\text{ minutes}$ à une résolution de $1280 \times 720$ pixels occupe $450\text{ Mo}$.

Calculer la taille qu'occupera un film de $1\text{ heure et }45\text{ minutes}$ mis en ligne avec une résolution de $1920 \times 1080$ pixels, sachant que la taille du fichier est directement proportionnelle au nombre total de pixels. Exprimer le résultat en gigaoctets ($1\text{ Go} = 1024\text{ Mo}$).

Sur une carte stellaire, la distance entre deux étoiles est de $18\text{ cm}$. On sait que cette carte représente une échelle où $1\text{ cm}$ équivaut à $4,5$ années-lumière. Si un vaisseau spatial voyage à vitesse constante et met $240\text{ ans}$ pour parcourir $0,8$ années-lumière :

1. a) Quelle est la distance réelle, en années-lumière, entre les deux étoiles ?
2. b) Combien de siècles le vaisseau mettrait-il pour aller d'une étoile à l'autre ? (On considère que le temps et la distance parcourue sont proportionnels.)

Une usine de dessalement produit de l'eau potable proportionnellement au temps de fonctionnement de ses turbines. Pendant une période de $8\text{ heures}$, l'usine produit assez d'eau pour alimenter une population de $3\,500\text{ personnes}$, en consommant $1\,400\text{ kWh}$ d'énergie.

À cause d'une canicule, la consommation d'eau par personne augmente de $25\%$. Si l'usine doit maintenant alimenter une population de $5\,000\text{ personnes}$ dans ces nouvelles conditions, pendant combien d'heures devra-t-elle fonctionner et quelle sera la consommation d'énergie totale prévue ? (On suppose que la consommation d'énergie est aussi directement proportionnelle au temps de fonctionnement.)

Au laboratoire de physique de 3e, on étudie deux ressorts élastiques, $A$ et $B$, qui vérifient la loi de Hooke : la force appliquée $F$ (en newtons, $\text{N}$) est directement proportionnelle à l'allongement $x$ (en centimètres, $\text{cm}$), avec $F = k \cdot x$.

Les élèves trouvent une ancienne fiche de laboratoire dont plusieurs données ont été effacées, mais dont trois notes sont restées intactes :

1. Lorsqu'on soumet le ressort $A$ à une force de $10\text{ N}$, son allongement enregistré est de $8\text{ cm}$.

2. Sous une même force inconnue $F_1$, le ressort $A$ s'allonge exactement de $3\text{ cm}$ de plus que le ressort $B$.

3. Si l'on double cette force inconnue (en appliquant $2 \cdot F_1$), l'allongement total du ressort $B$ est égal à l'allongement qu'avait le ressort $A$ sous la force initiale $F_1$.

1. a) Calculer la constante de proportionnalité (constante de raideur) $k_A$ du ressort $A$ et interpréter sa signification physique en indiquant ses unités.
2. b) À partir uniquement des propriétés de la proportionnalité directe et des conditions 2 et 3, déduire la constante de raideur $k_B$ du ressort $B$ sans calculer au préalable la valeur numérique de la force $F_1$.
3. c) Reconstituer les données perdues de l'essai : déterminer la valeur numérique exacte de la force $F_1$ (en $\text{N}$) et les allongements des deux ressorts sous cette force.

La régie municipale de transports surveille la consommation d'énergie de ses bus électriques urbains. Dans des conditions normales de circulation, la consommation d'énergie est directement proportionnelle à la distance parcourue, avec un coefficient de proportionnalité de $1,20\text{ kWh/km}$. Cependant, pendant les mois d'été, l'utilisation continue de la climatisation augmente la consommation par kilomètre de $25\,\%$.

1. a) Écrire l'équation de proportionnalité directe $E = k \cdot d$ qui relie l'énergie consommée $E$ (en $\text{kWh}$) à la distance parcourue $d$ (en $\text{km}$) dans chacun des deux cas : régime standard ($k_1$) et régime d'été ($k_2$).
2. b) Un bus commence sa journée avec la batterie complètement chargée ($320\text{ kWh}$). Par règle de sécurité, le centre exige que le véhicule rentre au dépôt avant que la batterie descende à $15\,\%$ de sa capacité. Calculer l'autonomie maximale (en kilomètres) que le bus peut parcourir en régime d'été avant de devoir rentrer au dépôt.
3. c) Lors d'une journée d'essais, un bus effectue un trajet total de $180\text{ km}$ : les premiers $120\text{ km}$ avec la climatisation à fond et les derniers $60\text{ km}$ en mode standard. Calculer le coefficient de proportionnalité global de la journée (la consommation moyenne réelle par kilomètre). Un rapport technique provisoire proposait de calculer ce coefficient en faisant la moyenne arithmétique simple de $k_1$ et $k_2$ : $\frac{1,20 + 1,50}{2} = 1,35\text{ kWh/km}$. Justifier rigoureusement pourquoi cette moyenne simple est conceptuellement erronée et comment la pondération par les distances intervient dans le calcul correct.