Exercices: Abscisse, ordonnée, altitude

Un pavé droit $OABCDEFG$ a pour dimensions $OA = 4\text{ cm}$, $OC = 3\text{ cm}$ et $OD = 2\text{ cm}$. On repère l'espace avec l'origine $O$, l'axe des abscisses $(OA)$, l'axe des ordonnées $(OC)$ et l'axe des altitudes $(OD)$.

Donner les coordonnées de $A$, $C$ et $D$.

Dans le même repère, le point $B$ est le sommet du pavé tel que $OABC$ est un rectangle dans le plan horizontal, et $F$ est situé au-dessus de $B$ à l'altitude $2\text{ cm}$.

Donner les coordonnées de $B$ et de $F$.

Dans le repère précédent, placer le point $M(2\,;\,1\,;\,2)$ en décrivant la construction, puis dire s'il se trouve à l'intérieur du pavé, sur l'une de ses faces ou à l'extérieur.

Une salle de classe est un pavé droit de $8\text{ m}$ de long, $6\text{ m}$ de large et $3\text{ m}$ de haut. On prend pour origine un coin du sol, l'axe des abscisses le long de la longueur, l'axe des ordonnées le long de la largeur et l'axe des altitudes vertical, orienté vers le haut.

1. a) Donner les coordonnées des huit sommets de la salle.
2. b) Une lampe est fixée au plafond au centre de la pièce. Donner ses coordonnées.

Dans un repère de l'espace attaché à un pavé droit, on donne $A(5\,;\,0\,;\,0)$ et $B(5\,;\,4\,;\,0)$ et $C(5\,;\,4\,;\,3)$.

1. a) Calculer les longueurs $AB$ et $BC$.
2. b) Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle et calculer $AC$.

Un drone évolue dans un entrepôt de $20\text{ m}$ sur $15\text{ m}$ et $6\text{ m}$ de haut. Il est au point $P(5\,;\,10\,;\,4)$.

1. a) À quelle hauteur du sol est-il ? À quelle distance du mur d'équation $x = 0$ ?
2. b) Il monte de $1{,}5\text{ m}$ et avance de $3\text{ m}$ selon l'axe des abscisses. Donner ses nouvelles coordonnées. Est-il toujours dans l'entrepôt ?

Un pavé droit a pour sommets $O(0\,;\,0\,;\,0)$, $A(6\,;\,0\,;\,0)$, $C(0\,;\,8\,;\,0)$ et $D(0\,;\,0\,;\,5)$.

1. a) Donner les coordonnées de tous les autres sommets.
2. b) Calculer la longueur de la diagonale du pavé.
3. c) Calculer le volume du pavé.

Dans un repère orthonormé attaché à un pavé droit, on considère le point $M$ milieu de l'arête reliant $A(6\,;\,0\,;\,0)$ et $B(6\,;\,8\,;\,0)$ et le point $N(0\,;\,8\,;\,5)$.

1. a) Donner les coordonnées de $M$.
2. b) Calculer les longueurs des côtés du triangle rectangle de sommets $M$, $B$ et $N'(6\,;\,8\,;\,5)$ puis la longueur $MN'$.
3. c) Calculer la distance $MN$ à l'aide du théorème de Pythagore appliqué deux fois.

Un entrepôt est un pavé droit de $30\text{ m}$ sur $20\text{ m}$ avec $8\text{ m}$ de hauteur. Une caméra est fixée au sommet $K(0\,;\,0\,;\,8)$ et filme un colis posé sur le sol au point $L(24\,;\,18\,;\,0)$.

1. a) Calculer la distance $KL$, arrondie au décimètre.
2. b) La caméra a une portée de $35\text{ m}$. Peut-elle filmer tout le sol de l'entrepôt ? Justifier en considérant le point du sol le plus éloigné.
3. c) Calculer l'angle entre la direction $KL$ et le plan horizontal, au degré près, en utilisant le cosinus.