Exercices: Racines carrées

Calculer mentalement la valeur des racines carrées exactes suivantes en s'appuyant sur les tables de multiplication :

1. a) $\sqrt{36}$
2. b) $\sqrt{64}$
3. c) $\sqrt{81}$
4. d) $\sqrt{100}$
5. e) $\sqrt{121}$

Associer dans votre cahier chaque puissance à sa racine correspondante, comme dans l'exemple :

Exemple : $7^2 = 49 \rightarrow \sqrt{49} = 7$

1. a) $4^2 = 16$
2. b) $9^2 = 81$
3. c) $12^2 = 144$
4. d) $15^2 = 225$

La chambre de Lucie est de forme carrée et a une surface totale de $16$ mètres carrés. Quelle est la longueur d'un mur de sa chambre ?

Indiquer entre quels deux entiers naturels consécutifs se trouvent les racines carrées suivantes. Observer l'exemple :

Exemple : $\sqrt{10}$ est compris entre $3$ et $4$ car $3^2=9$ et $4^2=16$.

1. a) $\sqrt{20}$
2. b) $\sqrt{45}$
3. c) $\sqrt{70}$
4. d) $\sqrt{95}$

Appliquer la propriété de la racine d'un produit pour calculer plus simplement les racines suivantes, comme dans le modèle :

Modèle : $\sqrt{4 \cdot 25} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{25} = 2 \cdot 5 = 10$

1. a) $\sqrt{9 \cdot 100}$
2. b) $\sqrt{16 \cdot 25}$
3. c) $\sqrt{4 \cdot 81}$

Observer la mosaïque suivante formée de points. Quel nombre entier naturel représente le nombre total de points ? Quelle est sa racine carrée ?

Effectuer les calculs suivants en respectant la priorité des opérations :

1. a) $10 + \sqrt{49}$
2. b) $3 \cdot \sqrt{25} - 2^2$
3. c) $\sqrt{64} : 2 + 5$
4. d) $(\sqrt{100} - 4) \cdot 3$

Marc veut ranger sa collection de $40$ figurines dans une vitrine carrée.

1. a) Quel est le plus grand carré parfait qu'il peut former avec ses figurines ?
2. b) Combien de figurines lui resteront s'il forme ce carré ?
3. c) Combien de figurines lui manqueraient pour pouvoir former le carré suivant ?

En corrigeant un devoir au tableau, Marc écrit ceci :

« Comme la racine carrée d'un produit peut se séparer en produit des racines, il se passe exactement la même chose avec la somme : $\sqrt{64 + 36} = \sqrt{64} + \sqrt{36} = 8 + 6 = 14$ ».

1. a) Expliquer en détail pourquoi le raisonnement de Marc est faux, sans se contenter de dire que « les règles ne le permettent pas ».
2. b) Calculer la vraie valeur de l'expression $\sqrt{64 + 36}$ en respectant la priorité des opérations et la comparer avec le résultat de Marc.
3. c) Dessiner mentalement ou décrire une justification géométrique : un carré d'aire $100\text{ cm}^2$ peut-il avoir pour côté $14\text{ cm}$ ?

On veut trouver la racine carrée du nombre $85$ sans calculatrice et sans appliquer l'algorithme traditionnel de la racine.

1. a) Estimer la valeur de $\sqrt{85}$ en identifiant entre quels deux carrés parfaits consécutifs se trouve le radicande $85$, et en déduire entre quels deux entiers naturels consécutifs cette valeur est comprise.
2. b) À partir de votre estimation, indiquer quelle est la racine carrée entière $r$ de $85$ et calculer son reste $R$.
3. c) Vérifier que votre résultat est valide en contrôlant que l'égalité $N = r^2 + R$ est vérifiée et que le reste est strictement inférieur au double de la racine plus un ($R < 2r + 1$).

Une entreprise de logistique veut stocker $196$ colis de fournitures médicales dans un entrepôt de plan carré. Si les colis doivent être disposés en formant un carré parfait au sol, combien y aura-t-il de colis sur chaque côté ? Si l'on reçoit ensuite $30$ colis de plus et que l'on veut de nouveau former le plus grand carré possible, combien de colis resteront en surplus ?

Dans un jeu vidéo de construction, un joueur dispose de $150$ blocs de pierre pour créer la base d'une tour carrée. Calculer :

1. La longueur du côté de la plus grande base carrée qu'il peut construire.

2. Le nombre de blocs qui lui resteront après la construction.

Calculer la valeur des expressions suivantes en respectant la priorité des opérations :

1. a) $3 \cdot \sqrt{81} - 2^2 \cdot (10 - \sqrt{49})$

1. b) $(\sqrt{100} - 2^3)^2 + \sqrt{144} : 3$

Indiquer, sans calculatrice, entre quels deux entiers naturels consécutifs se trouvent les racines carrées suivantes. Justifier votre réponse en vous appuyant sur les carrés parfaits les plus proches :

1. a) $\sqrt{45}$

1. b) $\sqrt{115}$

Utiliser les propriétés des racines pour résoudre de la manière la plus simple possible :

1. a) $\sqrt{9 \cdot 16 \cdot 25}$

1. b) $\sqrt{3600 : 4}$

1. c) $\sqrt{100 \cdot 49}$

Le club d'échecs d'un collège compte $85$ élèves inscrits. Pour la photo officielle de l'année, le photographe veut les placer en formant un carré parfait.

1. Combien d'élèves resteront en dehors de la photo s'il veut former le plus grand carré possible ?

2. Combien d'élèves manqueraient pour pouvoir ajouter une ligne et une colonne au carré précédent sans que personne ne reste dehors ?

On sait qu'un entier naturel a une racine carrée entière égale à $15$ et que son reste est le plus grand possible. De quel nombre s'agit-il ?

(Indice : le reste d'une racine ne peut pas être égal ou supérieur à $2 \cdot \text{racine} + 1$).

Mei conçoit un collage avec des photos carrées de $10\text{ cm}$ de côté. Elle veut les placer sur un carton carré dont la surface est de $2500\text{ cm}^2$ sans laisser d'espace entre elles.

1. Quelle est la mesure du côté du carton ?

2. Combien de photos de Mei tiennent en tout sur le carton ?

Pour calculer la valeur exacte de l'expression $\sqrt{144 \cdot 25}$, deux élèves de 4e proposent des stratégies différentes :

• Alexandre effectue d'abord la multiplication sous la racine : $144 \cdot 25 = 3600$, puis calcule $\sqrt{3600}$.

• Berthe applique la propriété de la racine d'un produit : $\sqrt{144 \cdot 25} = \sqrt{144} \cdot \sqrt{25}$, puis multiplie les racines obtenues.

1. a) Développer entièrement les deux procédés jusqu'au résultat final.
2. b) Comparer les deux méthodes et justifier laquelle est la plus avantageuse si l'on doit faire le calcul mentalement ou sans calculatrice.
3. c) Si l'opération proposée était $\sqrt{144 : 4}$, pourrait-on appliquer la méthode de Berthe ? Et si c'était $\sqrt{144 - 64}$ ? Justifier dans chaque cas si la propriété correspondante est applicable ou non.

Dans une exploitation oléicole de Nyons (Drôme), une coopérative agricole reçoit un lot de $750$ jeunes plants d'oliviers à disposer sur une parcelle en formant un quadrillage carré parfait (même nombre d'arbres par ligne que par colonne).

1. a) Quel est le plus grand nombre d'oliviers que peut avoir chaque côté du quadrillage ? Combien de plants resteront non plantés après avoir formé ce carré ?
2. b) Pour utiliser les plants restants sans laisser de vides, ils décident d'acheter à la pépinière juste le nombre d'arbres nécessaire pour former un carré avec un olivier de plus par ligne et par colonne. Combien d'oliviers supplémentaires doivent-ils acheter au minimum ?
3. c) Justifier géométriquement pourquoi la quantité d'arbres à ajouter pour passer d'un carré de côté $r$ au carré suivant de côté $r + 1$ est toujours égale à $2r + 1$.

Sachant qu'un nombre entier naturel $N$ a pour racine carrée entière $a = 45$, déterminer la plus grande valeur que peut prendre ce nombre $N$ et son reste dans ce cas. Tenir compte de la propriété reliant le reste à la racine entière pour que l'approximation soit maximale. Sur la figure (sans échelle exacte dans les espaces vides), on a le carré de côté $a$ et le carré suivant, de côté $a+1$.

Une entreprise de logistique veut organiser une flotte de $2\,500$ drones en une formation parfaitement carrée pour un spectacle nocturne. À cause d'une panne technique, $15\%$ des drones ne peuvent pas décoller. Calculer :

1. Le côté du plus grand carré que l'on peut former avec les drones restants en état de marche.

2. Combien de drones restent en surplus après avoir formé ce carré.

3. Combien de drones opérationnels supplémentaires il faudrait pour ajouter une ligne et une colonne au carré et que celui-ci reste complet.

Calculer la valeur de l'expression suivante, en faisant attention à la priorité des opérations et aux propriétés des racines :

L'aire d'un jardin carré est de $676$ $m^2$. On veut installer autour du jardin une clôture de sécurité qui coûte $12,50$ € le mètre linéaire. Cependant, il faut laisser une ouverture de $2,5$ mètres pour un portail sur l'un des côtés. Calculer le budget total pour l'installation de la clôture.

Déterminer la valeur du chiffre $k$ pour que le nombre $7\,05k$ soit un carré parfait. Une fois trouvé, calculer la racine carrée de ce nombre en utilisant l'algorithme pas à pas. (Indice : le nombre est compris entre $80^2$ et $90^2$).

On a construit une plateforme carrée en assemblant des pièces carrées en plastique de $1$ $dm^2$ chacune. Pour border toute la plateforme, on a utilisé $156$ pièces bleues (qui forment le contour extérieur sur une pièce de large).

1. Quelle est l'aire totale de la plateforme en $dm^2$ ?

2. Quelle est la racine carrée exacte de cette aire ?

Un astronome observe une nébuleuse dont la surface apparente dans le ciel est approximativement circulaire. Si l'aire calculée est de $5,76 \cdot 10^{10}$ $km^2$ :

1. Exprimer cette quantité en écriture décimale.

2. Calculer le rayon de cette nébuleuse sachant que l'aire d'un disque s'approche par la formule $A \approx 3 \cdot r^2$ (en utilisant $\pi \approx 3$ pour simplifier).

3. Exprimer le résultat du rayon en écriture scientifique.

Déterminer, sans calculatrice et en justifiant votre réponse par le calcul de carrés de nombres proches, entre quels deux nombres décimaux consécutifs à un chiffre après la virgule (par exemple, $4,4$ et $4,5$) se trouve la racine carrée de $75$.

(Exemple : $\sqrt{20}$ est compris entre $4,4$ et $4,5$ car $4,4^2 = 19,36$ et $4,5^2 = 20,25$).

On étudie les propriétés de la racine carrée entière et du reste dans l'ensemble des entiers naturels.

1. a) Démontrer en justifiant pourquoi le reste $R$ de la racine carrée entière $r$ d'un entier naturel $N$ ne peut jamais être supérieur ou égal à $2r + 1$. S'appuyer sur le calcul du carré parfait suivant, $(r + 1)^2$.
2. b) Trouver tous les entiers naturels à deux chiffres ($10 \le N \le 99$) dont la racine carrée entière est exactement égale à leur reste ($r = R$). Justifier pourquoi il n'existe pas d'autres solutions que celles trouvées.
3. c) Un entier naturel inconnu $N$ a pour racine entière $r$ et son reste $R$ est le plus grand reste possible pour cette racine. Sachant qu'en lui ajoutant une unité il devient un carré parfait ($N + 1 = 144$), calculer la valeur exacte de $N$, sa racine entière $r$ et son reste $R$.

Sur la plateforme logistique de Bordeaux, une entreprise de colis stocke au sol des palettes carrées identiques en formant un grand bloc carré compact de $n$ palettes de côté.

1. a) Après avoir reçu un lot de $49$ nouvelles palettes, le responsable constate qu'il peut toutes les placer en réorganisant le chargement en un nouveau carré compact ayant exactement une ligne et une colonne de plus que l'original (c'est-à-dire de côté $n + 1$). Poser l'égalité correspondante et calculer combien de palettes il y avait initialement dans l'entrepôt.
2. b) En partant du bloc agrandi (de côté $n + 1$), on veut planifier un futur agrandissement pour que le côté passe à $n + 3$ palettes. Déduire en justifiant combien de palettes supplémentaires il faudra commander au total pour y parvenir.
3. c) Si, au lieu de $49$ palettes, on n'avait reçu que $35$ en plus du stock initial de la question a), aurait-il été possible d'agrandir le côté du carré à $n + 1$ ? Si ce n'est pas le cas, calculer la racine carrée entière et le reste du nouveau total de palettes, et expliquer la signification pratique de ces deux valeurs dans l'organisation de l'entrepôt.