Exercices: Puissances

Exprimer les produits suivants sous forme de puissance et indiquer quelle est la base et quel est l'exposant dans chaque cas :

1. a) $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

1. b) $12 \cdot 12 \cdot 12$

1. c) $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

1. d) $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$

Calculer la valeur des puissances élémentaires suivantes :

1. a) $3^{4}$

1. b) $2^{5}$

1. c) $7^{2}$

1. d) $11^{0}$

1. e) $1^{25}$

Observer le carré suivant formé de petites cellules. Exprimer le nombre total de cellules sous forme de puissance et calculer son résultat.

Écrire la décomposition polynomiale des nombres suivants à l'aide de puissances de base $10$ :

1. a) $4\,527$

1. b) $30\,816$

1. c) $504$

Appliquer les propriétés des puissances pour écrire le résultat sous la forme d'une seule puissance :

1. a) $3^{4} \cdot 3^{2} \cdot 3^{5}$

1. b) $a^{3} \cdot a^{4}$

1. c) $10^{2} \cdot 10 \cdot 10^{3}$

1. d) $2^{6} \cdot 2^{6}$

Réduire à une seule puissance en utilisant la propriété du quotient de puissances de même base :

1. a) $5^{8} : 5^{3}$

1. b) $x^{10} : x^{7}$

1. c) $10^{6} : 10^{5}$

1. d) $\dfrac{2^{9}}{2^{4}}$

Simplifier les expressions suivantes en donnant le résultat sous la forme d'une unique puissance :

1. a) $(4^{3})^{2}$

1. b) $(10^{5})^{4}$

1. c) $(x^{2})^{8}$

Un créateur de contenu publie une vidéo qui devient virale. Si chaque heure le nombre de personnes qui l'ont vue triple ($3^{n}$), compléter le tableau suivant en exprimant les résultats sous forme de puissance :

Temps écoulé	Personnes qui ont vu la vidéo
Au début (heure 0)	$3^{0} = 1$
Après 1 heure	$3^{1} = 3$
Après 2 heures
Après 5 heures
Après $n$ heures

Lors d'un contrôle de 4e, Lucas a résolu deux exercices de simplification en commettant des erreurs conceptuelles fréquentes :

• Cas A : Il a écrit que $3^2 \cdot 3^4 = 9^6$, en justifiant « on multiplie les bases et on additionne les exposants ».

• Cas B : Il a écrit que $2^3 \cdot 5^3 = 10^6$, en justifiant « on multiplie les bases et on additionne les exposants ».

1. a) Expliquer en justifiant l'erreur commise dans le cas A, indiquer quelle propriété il aurait dû appliquer et écrire le résultat correct sous la forme d'une unique puissance.
2. b) Expliquer l'erreur commise dans le cas B, quelle propriété correspond à cette opération et calculer la puissance correcte.
3. c) Rédiger une règle claire et brève pour qu'un camarade ne confonde pas les cas où l'on additionne les exposants et ceux où l'on multiplie les bases.

Résoudre les défis suivants en construisant les puissances qui vérifient les conditions demandées :

1. a) Trouver trois façons différentes d'écrire le nombre $64$ sous la forme d'une unique puissance $a^b$, où la base $a$ et l'exposant $b$ sont tous deux des nombres entiers naturels supérieurs à $1$.
2. b) Écrire le nombre $81$ comme puissance de base $3$ et comme puissance de base $9$. Démontrer, en appliquant la propriété de la puissance d'une puissance, pourquoi ces deux expressions représentent exactement la même quantité.
3. c) Écrire une multiplication de deux puissances ayant une base différente et un exposant différent (tous deux supérieurs à $1$) dont le résultat final soit exactement égal à $2^7$.

Une vidéo d'un « streamer » est devenue virale sur un réseau social. Pendant les premières heures, le nombre de personnes qui partagent la vidéo triple chaque heure. Si au départ 3 personnes l'ont partagée :

a) Écrire sous forme de puissance le nombre de personnes qui auront partagé la vidéo au bout de 5 heures.

b) Calculer la valeur de cette puissance pour connaître le nombre total de personnes à ce moment-là.

Appliquer les propriétés des puissances pour réduire les expressions suivantes à une seule puissance :

a) $2^5 \cdot 2^3 \cdot 2 =$

b) $(3^4)^3 : 3^7 =$

c) $\frac{5^8 \cdot 5^2}{5^7} =$

Dans un entrepôt de logistique, les caisses sont rangées dans des étagères cubiques. Un bloc de stockage est formé de 4 étagères en largeur, 4 en longueur et 4 en hauteur. Si chaque étagère contient 4 caisses :

a) Exprimer le nombre total de caisses sous la forme d'une seule puissance.

b) Si chaque caisse contient $2^3$ paquets de feuilles, combien y a-t-il de paquets de feuilles au total dans le bloc ? Exprimer le résultat sous la forme d'une puissance de base 2.

Exprimer les données suivantes en écriture scientifique :

a) La distance moyenne de la Terre à la Lune est d'environ $384\,400$ kilomètres.

b) La population mondiale est d'environ $8\,000\,000\,000$ de personnes.

c) Une année-lumière équivaut approximativement à $9\,461\,000\,000\,000$ de kilomètres.

Déterminer la valeur de l'inconnue $x$ dans chacune des égalités suivantes en appliquant les propriétés des puissances :

a) $7^x \cdot 7^2 = 7^9$

b) $(5^3)^x = 5^{15}$

c) $10^8 : 10^x = 10^3$

Écrire la décomposition polynomiale des nombres suivants à l'aide de puissances de base 10 :

a) $45\,208$

b) $306\,750$

c) $7\,003\,040$

Calculer la valeur des expressions suivantes en respectant les priorités opératoires :

a) $2^4 - 3^2 + \sqrt{25} \cdot 2 =$

b) $(5-2)^3 + 10^2 : (2^2 + 1) =$

c) $2 \cdot (3^2 - 4) + \sqrt{64} : 2^3 =$

Laquelle des expressions suivantes est la plus grande ? Effectuer les calculs nécessaires pour justifier la réponse sans utiliser la calculatrice.

a) $2^6$

b) $4^3$

c) $8^2$

d) $64^1$

Quelle relation observez-vous entre les bases de toutes ces puissances ?

Pour simplifier et calculer l'expression numérique $\dfrac{12^4}{3^4 \cdot 4^2}$ sans calculatrice, deux élèves proposent des stratégies différentes :

• Méthode de Lucie : Elle regroupe d'abord le numérateur et une partie du dénominateur grâce à la puissance d'un quotient : $\dfrac{12^4}{3^4} = (12 : 3)^4 = 4^4$. Ensuite, elle divise $4^4 : 4^2$ en soustrayant les exposants.

• Méthode de Marc : Il décompose le nombre $12$ en facteurs premiers ($12 = 2^2 \cdot 3$), applique la puissance d'un produit au numérateur, décompose le dénominateur ($4 = 2^2$) et simplifie en soustrayant les exposants de puissances de même base.

1. a) Développer pas à pas la démarche suivant la méthode de Lucie jusqu'à obtenir la valeur finale.
2. b) Développer la démarche suivant la méthode de Marc jusqu'à obtenir le résultat.
3. c) Comparer les deux méthodes : laquelle vous semble la plus rapide dans cet exercice et pourquoi ? Dans quelle situation la méthode de Lucie ne pourrait-elle pas s'appliquer et l'utilisation de celle de Marc serait-elle indispensable ?

Face à l'alerte de fortes chutes de neige émise par Météo-France dans une vallée de montagne, la Sécurité civile déclenche un protocole en chaîne pour prévenir les refuges isolés :

• À l'étape 1 (10 minutes après l'alerte), le centre départemental prévient 3 postes principaux.

• À l'étape 2 (20 minutes après), chacun de ces 3 postes prévient 3 refuges locaux.

• À chaque nouvelle étape de 10 minutes, chaque refuge prévenu lors du tour précédent contacte 3 nouveaux refuges, sans interrompre la chaîne.

1. a) Modéliser par une puissance de base 3 le nombre de nouveaux refuges qui reçoivent l'alerte exactement à l'étape $n$. Combien sont prévenus à l'étape 4 ?
2. b) Exprimer par une somme de puissances le total cumulé de refuges prévenus depuis le début jusqu'à la fin de l'étape 3 incluse.
3. c) Si la chaîne s'achève lorsque, à une certaine étape, $3^6$ refuges sont prévenus, combien de minutes se sont écoulées au total depuis le premier avertissement ? Justifier comment on obtient la durée à partir de l'exposant.

Lors d'une fouille archéologique près de l'ancienne Mésopotamie, on a trouvé une structure cérémonielle formée de blocs de pierre cubiques. La structure suit un motif de « cubes emboîtés ». Le premier niveau est un cube de $2 \cdot 2 \cdot 2$ blocs. Le deuxième niveau entoure le précédent en formant un cube de $4 \cdot 4 \cdot 4$ blocs, et le troisième un cube de $8 \cdot 8 \cdot 8$ blocs.

1. a) Exprimer sous la forme d'une unique puissance de base 2 le nombre total de blocs qu'il y aurait au cinquième niveau si l'arête du cube continue de doubler à chaque étape.
2. b) Si chaque bloc a une masse de $2^6$ kg, exprimer la masse totale de la structure au cinquième niveau sous la forme d'une seule puissance.

Un nouveau réseau social a constaté que le nombre de « partages » d'une fausse information triple chaque heure. À 10 h du matin, l'information a déjà été partagée $3^4$ fois.

1. a) À quelle heure le nombre de partages dépassera-t-il pour la première fois le chiffre de $3^{10}$ ?
2. b) Si le serveur s'effondre lorsque le nombre de partages atteint $9^7$, combien d'heures se seront écoulées entre 10 h et l'effondrement ? Exprimer toutes les étapes à l'aide des propriétés des puissances.

Calculer la valeur de l'expression combinée suivante, en appliquant les propriétés des puissances chaque fois que c'est possible pour simplifier le calcul avant d'effectuer les opérations :

$$ \frac{(2^3 \cdot 2^2)^2 \cdot 5^7 \cdot 10^3}{(5^2)^4 \cdot 2^{12}} + \sqrt{144} : 2^2 $$

Le stockage d'un supercalculateur se mesure en « exaoctets ». Sachant que $1 \text{ kilooctet} = 10^3 \text{ octets}$, $1 \text{ mégaoctet} = 10^3 \text{ kilooctets}$, $1 \text{ gigaoctet} = 10^3 \text{ mégaoctets}$ et ainsi de suite en suivant les puissances de 10 (téraoctet, pétaoctet, exaoctet) :

1. a) Exprimer en écriture scientifique combien d'octets il y a dans un exaoctet.
2. b) Si un fichier vidéo haute définition occupe $2 \cdot 10^9$ octets, combien de fichiers de ce type tiennent sur un disque de $4 \text{ Pétaoctets}$ ? Exprimer le résultat en écriture scientifique.

Sans effectuer le calcul complet des puissances, indiquer en justifiant lequel des nombres suivants est le plus grand. Pour cela, utiliser la transformation des bases en une base commune :

$$ A = 8^{20} \cdot 4^{15} $$ $$ B = 16^{18} \cdot 2^5 $$

Trouver la valeur de l'inconnue $n$ dans les égalités suivantes, en appliquant les règles sur les puissances :

1. a) $2^n \cdot 2^3 \cdot 2 = 1024$
2. b) $5^6 : 5^n = 125$
3. c) $(3^2)^n \cdot 9 = 3^{10}$

On veut réaliser une mosaïque carrée composée de carreaux également carrés. On sait que le nombre de carreaux utilisés est le résultat de l'opération suivante :

$$ \sqrt{10^2 - 8^2} \cdot (3^3 - 5^2)^2 - 2^3 $$

1. a) Combien de carreaux la mosaïque comportera-t-elle au total ?
2. b) Combien de carreaux y aura-t-il sur chaque côté de la mosaïque carrée ?

Un nombre entier naturel $X$ a la décomposition en produit de facteurs premiers suivante : $X = 2^a \cdot 3^2 \cdot 5^b$.

On sait que :

• Le PGCD de $X$ et $180$ est $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^0$.

• Le PPCM de $X$ et $180$ est $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1$.

Déterminer les valeurs des exposants $a$ et $b$ et écrire le nombre $X$ en écriture décimale. (Donnée : $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1$).

Les archives d'une mairie française vont numériser des actes historiques. Elles ont répertorié $2^9$ boîtes ; chaque boîte contient $2^6$ dossiers et chaque dossier occupe, une fois scanné en haute résolution, $2^7\text{ Ko}$ (kilo-octets).

Le service technique hésite entre acheter une clé USB de $64\text{ Go}$ ou souscrire à un disque réseau de $1\text{ To}$.

Données d'équivalence approchée : $1\text{ Go} \approx 10^6\text{ Ko}$, $1\text{ To} \approx 10^9\text{ Ko}$ et $2^{10} = 1024 \approx 10^3\text{ Ko}$.

1. a) Estimer : Sans calculer la valeur numérique en détail, calculer mentalement la taille totale en additionnant les exposants en base 2 et utiliser l'approximation $2^{10} \approx 10^3$ pour estimer l'ordre de grandeur des archives en puissances de 10. Formuler une hypothèse : la clé de $64\text{ Go}$ suffira-t-elle ou le disque de $1\text{ To}$ sera-t-il nécessaire ?
2. b) Vérifier : Exprimer la taille totale exacte des archives sous la forme d'une unique puissance de base 2 en appliquant les propriétés du produit de puissances.
3. c) Décomposer cette puissance sous la forme $(2^{10})^2 \cdot 2^k$ pour calculer sa valeur numérique en kilo-octets et déterminer, en justifiant, si votre estimation initiale était juste et quel support il convient d'acheter pour ne pas dépenser plus que nécessaire.

Pour déchiffrer un code de sécurité, il faut trouver un nombre entier naturel $x$ qui vérifie l'égalité suivante avec des puissances :

$$\frac{4^{x+2} \cdot 8^x}{16^x} = 64$$

1. a) Décomposer les bases $4$, $8$, $16$ et le résultat $64$ en puissances de base $2$.
2. b) Transformer le membre de gauche en une unique puissance de base 2 en appliquant, dans l'ordre, les propriétés de la puissance d'une puissance, du produit et du quotient de puissances de même base.
3. c) Égaliser les exposants obtenus de chaque côté pour poser une équation du premier degré et calculer la valeur de $x$. Vérifier que la solution est correcte en remplaçant par la valeur trouvée dans l'expression initiale.
4. d) Raisonnement inverse : Si le membre de droite était $1$ au lieu de $64$, existerait-il un nombre entier naturel $x$ vérifiant l'égalité ? Justifier la réponse en utilisant la propriété de l'exposant 0 ($a^0 = 1$ pour $a \neq 0$).