Exercices: Décomposition en facteurs premiers

Classer les nombres entiers naturels suivants en nombres premiers ou non premiers. Rappel : les nombres premiers sont ceux qui n'ont que deux diviseurs : $1$ et eux-mêmes.

$14, 17, 21, 23, 27, 29, 33, 37$

Compléter les cases vides de la décomposition suivante d'un nombre en produit de facteurs premiers à l'aide de la technique de la barre verticale :

Écrire le résultat final de la décomposition sous forme de puissances.

Décomposer les nombres suivants en produit de facteurs premiers. Exprimer le résultat final sous forme de produit de puissances :

1. a) $36$

1. b) $45$

1. c) $80$

Indiquer à quel nombre correspondent les décompositions en facteurs premiers suivantes :

1. a) $2^{2} \cdot 3 \cdot 5$

1. b) $2^{3} \cdot 7$

1. c) $3^{2} \cdot 11$

Compléter l'arbre de facteurs suivant pour le nombre $24$. Il faut trouver deux nombres dont le produit donne le nombre du niveau supérieur, jusqu'à ce que tous les nombres au bout des branches soient premiers.

Écrire enfin la décomposition de $24$ sous forme de produit de ses facteurs premiers.

Observer la décomposition en facteurs premiers des nombres suivants :

$A = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7$

$B = 2 \cdot 3^{2} \cdot 5$

Sans effectuer les multiplications, répondre en justifiant :

1. a) Le nombre $A$ est-il un multiple de $7$ ?
2. b) Le nombre $B$ est-il divisible par $10$ ? (Indice : observer s'il possède les facteurs nécessaires pour former $10$.)
3. c) Le nombre $3$ est-il un diviseur de $A$ ?

Un professeur d'EPS souhaite répartir ses $28$ élèves en groupes identiques de plus de $2$ personnes mais de moins de $10$, de sorte qu'aucun élève ne reste seul.

Utiliser la décomposition en facteurs premiers de $28$ pour trouver toutes les façons possibles de constituer les groupes.

Quel est le plus grand nombre à deux chiffres dont la décomposition en facteurs premiers ne contient que $2$ et $3$ ?

Exemple d'aide : le nombre $6 = 2 \cdot 3$ vérifie la condition, mais ce n'est pas le plus grand nombre à deux chiffres.

Mathis doit décomposer le nombre $540$ en facteurs premiers et utilise la méthode de la barre verticale en écrivant dans son cahier :

$540 \mid 10$

$\phantom{0}54 \mid 9$

$\phantom{00}6 \mid 6$

$\phantom{00}1$

Une fois terminé, il affirme : « Comme $10 \cdot 9 \cdot 6 = 540$, la décomposition de $540$ en facteurs premiers est $10 \cdot 9 \cdot 6$ et j'ai mis deux fois moins de temps. »

1. a) Expliquer quelle erreur de compréhension commet Mathis en appliquant la définition de la décomposition en produit de facteurs premiers.
2. b) Pourquoi n'est-il pas valable d'utiliser des nombres comme $10$, $9$ ou $6$ dans la colonne de droite de la méthode de la barre ?
3. c) Corriger l'exercice de Mathis : obtenir la décomposition correcte de $540$ exprimée sous forme de produit de puissances de nombres premiers.

Pour décomposer le nombre $4200$ en facteurs premiers, Marc et Laura débattent de la meilleure stratégie :

• Marc propose d'appliquer la barre verticale traditionnelle, en divisant systématiquement par les plus petits nombres premiers : $2, 2, 2, 3\dots$

• Laura propose d'utiliser un arbre de facteurs rapide : elle sépare d'abord mentalement $4200$ en $42 \cdot 100$, puis décompose $42$ et $100$ en branches plus petites jusqu'à obtenir des nombres premiers.

1. a) Arriveront-ils tous les deux au même résultat final ? Quelle propriété ou quel théorème sur les entiers naturels le garantit ?
2. b) Comparer les deux démarches : laquelle est la plus rapide et présente le moins de risque d'erreur dans les divisions pour ce nombre précis ? Justifier votre choix.
3. c) Appliquer la stratégie de Laura pour écrire la décomposition définitive de $4200$ sous forme de puissances.

Effectuer la décomposition en produit de facteurs premiers des nombres $720$ et $1260$ en utilisant la méthode de la barre verticale. Une fois les expressions obtenues sous forme de puissances, indiquer quels facteurs premiers ils ont en commun et quel est le plus grand exposant avec lequel chacun apparaît dans les deux décompositions.

Recopier sur le cahier ce schéma de décomposition en facteurs premiers et compléter les cases vides (marquées par la lettre $x$) avec les nombres correspondants :

Un concepteur de jeux vidéo veut organiser un entrepôt virtuel d'objets. Pour cela, il doit connaître le nombre de diviseurs du nombre de caisses disponibles, qui est $360$.

1. a) Effectuer la décomposition en produit de facteurs premiers de $360$.
2. b) En utilisant la règle des exposants (ajouter un à chaque exposant de la décomposition puis les multiplier), calculer le nombre total de diviseurs de $360$.

Trouver le nombre dont la décomposition en produit de facteurs premiers est $2^3 \cdot 3^2 \cdot 11$. Une fois celui-ci trouvé, expliquer si ce nombre est un multiple de $6$ et de $22$ en observant uniquement ses facteurs premiers (sans effectuer de divisions).

À partir de la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre $150$, répondre aux questions suivantes en justifiant :

1. a) $150$ est-il divisible par $10$ ?
2. b) $150$ est-il divisible par $4$ ?
3. c) $150$ est-il divisible par $15$ ?

Le volume d'une boîte en forme de cube est exactement $1728$ cm$^3$.

1. a) Décomposer en produit de facteurs premiers le nombre $1728$.
2. b) Sachant que le volume d'un cube se calcule par $V = l^3$ (où $l$ est l'arête), utiliser la décomposition précédente pour regrouper les facteurs en trois groupes identiques et déterminer la mesure de l'arête.

Un photographe professionnel d'Instagram veut organiser son mur de photos. Il a $210$ images et veut les publier par blocs égaux.

1. a) Décomposer $210$ en facteurs premiers.
2. b) Écrire quatre façons différentes de regrouper les photos (par exemple : « 3 blocs de 70 photos ») en utilisant des combinaisons de ses facteurs premiers.

On dit qu'un nombre est un carré parfait si tous les exposants de sa décomposition en produit de facteurs premiers sont des nombres pairs.

1. a) Décomposer le nombre $180$ en produit de facteurs premiers. Est-ce un carré parfait ?
2. b) Quel est le plus petit nombre par lequel il faudrait multiplier $180$ pour que le résultat soit un carré parfait ? Justifier la réponse en analysant les exposants.

Un nombre entier naturel secret $N$ vérifie simultanément ces trois conditions :

1. Dans sa décomposition en produit de facteurs premiers, seuls apparaissent les facteurs premiers $2$, $3$ et $5$.

2. Il est un multiple de $18$ et aussi un multiple de $20$.

3. Il est inférieur à $300$.

1. a) Écrire la décomposition en facteurs premiers de $18$ et de $20$.
2. b) En considérant les facteurs premiers comme les « briques » indispensables que $N$ doit contenir pour être divisible par $18$ et par $20$, déduire par un raisonnement quels doivent être les exposants minimaux de $2$, de $3$ et de $5$ dans la décomposition de $N$.
3. c) Déterminer quel est le nombre $N$. Un autre nombre entier naturel différent pourrait-il vérifier les trois conditions ? Justifier la réponse.

On considère le nombre obtenu en calculant $A = 24 \cdot 35 \cdot 55$.

1. a) Estimer : Avant de calculer le produit et sans faire de divisions posées, estimer mentalement combien de facteurs premiers au total (en comptant les répétitions ; par exemple, dans $2^3$ il y a $3$ facteurs premiers) aura le nombre $A$. Expliquer brièvement ce sur quoi vous vous appuyez mentalement pour faire cette estimation.
2. b) Calculer : Obtenir séparément la décomposition en facteurs premiers de $24$, de $35$ et de $55$. À partir de celles-ci, écrire la décomposition complète de $A$ en regroupant les facteurs sous forme de puissances.
3. c) Vérifier et réfléchir : Additionner les exposants de votre décomposition pour connaître le nombre exact de facteurs premiers de $A$ et le comparer à votre estimation. Pourquoi est-il beaucoup plus avantageux de décomposer les trois nombres séparément plutôt que de calculer d'abord le produit $24 \cdot 35 \cdot 55 = 46\,200$ pour ensuite le décomposer ?

Un pirate informatique a bloqué l'accès à un serveur et a laissé l'indice suivant sur le mot de passe numérique, qui est un nombre $N$ à quatre chiffres :

• La décomposition en produit de facteurs premiers de $N$ est de la forme $2^{a} \cdot 3^{b} \cdot 5^{c}$.

• Le nombre total de diviseurs de $N$ est exactement $30$.

• Le nombre est un multiple de $100$ mais n'est pas un multiple de $8$.

Déterminer, en justifiant, la valeur du mot de passe $N$ et donner sa décomposition en produit de facteurs premiers complète.

On considère deux entiers naturels, $A$ et $B$, dont les décompositions en produit de facteurs premiers sont les suivantes :

$A = 2^{3} \cdot 3^{x} \cdot 5^{2}$

$B = 2^{y} \cdot 3^{3} \cdot 7^{1}$

Sachant que le PGCD des deux nombres est $\text{PGCD}(A ; B) = 36$, déterminer la valeur des inconnues $x$ et $y$. Une fois celles-ci trouvées, calculer la valeur du $\text{PPCM}(A ; B)$ en l'exprimant aussi sous la forme de sa décomposition en produit de facteurs premiers.

Une entreprise de logistique utilise de petites boîtes cubiques pour stocker des pièces. Le volume total d'un conteneur de chargement est de $151200$ $cm^{3}$. Le conteneur doit être entièrement rempli de colis rectangulaires mesurant $a$ cm de large, $b$ cm de long et $c$ cm de haut, où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres premiers distincts deux à deux.

Si l'on sait que le conteneur peut contenir exactement un nombre de colis qui est un multiple de $10$ :

1. Effectuer la décomposition en produit de facteurs premiers de $151200$.

2. Déterminer les dimensions possibles des colis si le volume de chaque colis doit être supérieur à $100$ $cm^{3}$.

On dispose de trois entiers naturels décomposés en produit de facteurs premiers :

$n_1 = 2^{3} \cdot p \cdot 7$

$n_2 = 2^{q} \cdot 3^{2} \cdot 5$

$n_3 = 3 \cdot 5^{2} \cdot 11$

Si l'on sait que :

• $\text{PGCD}(n_1 ; n_2) = 12$

• $\text{PPCM}(n_2 ; n_3) = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 11$

Déterminer les valeurs des nombres premiers ou des exposants inconnus $p$ et $q$. Justifier la réponse en utilisant les propriétés de la décomposition en produit de facteurs premiers pour le calcul du PGCD et du PPCM.

Un élève de 4e affirme avoir trouvé un nombre $X$ dont la décomposition en facteurs premiers est $2^{2} \cdot 3^{4} \cdot 6^{2} \cdot 5$.

1. Expliquer pourquoi cette expression n'est pas une décomposition en facteurs premiers valide.

2. Corriger l'expression pour qu'elle soit une véritable décomposition en produit de facteurs premiers.

3. Sans calculer la valeur numérique de $X$, déterminer combien il a de diviseurs. Présenter le calcul étape par étape.

Dans un réseau de satellites, le satellite A effectue une orbite toutes les $1260$ minutes, le satellite B toutes les $1584$ minutes et le satellite C toutes les $n$ minutes.

On sait que la dernière fois que les trois se sont trouvés ensemble au-dessus de Paris, c'était il y a exactement la durée donnée par leur PPCM.

Si la décomposition en produit de facteurs premiers de $n$ est $2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 7$, calculer :

1. La décomposition en produit de facteurs premiers des durées des satellites A et B.

2. Le temps total (en minutes) qui doit s'écouler pour que les trois satellites se retrouvent ensemble. Laisser le résultat sous la forme d'un produit de puissances de facteurs premiers.

Déterminer le plus petit nombre qui vérifie simultanément ces trois conditions :

• Il est un carré parfait (tous les exposants de sa décomposition en facteurs premiers sont pairs).

• Il est un multiple de $42$.

• Il est un multiple de $60$.

Pour le résoudre, utiliser la décomposition en produit de facteurs premiers de $42$ et de $60$ et expliquer quels facteurs et quels exposants il faut ajouter pour obtenir le plus petit carré parfait.

On veut concevoir un code-barres spécial fondé sur un nombre $K$. Ce nombre est formé en multipliant les $n$ premiers nombres premiers consécutifs (par exemple, si $n=3$, le nombre serait $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$).

On veut que le nombre $K$ :

1. Soit supérieur à $1000$ mais inférieur à $5000$.

2. Ait exactement $5$ facteurs premiers distincts dans sa décomposition en produit de facteurs premiers.

Quelle est la valeur de $K$ ? Donner la liste des nombres premiers utilisés et vérifier que le résultat appartient bien à l'intervalle demandé.

Une coopérative agricole de la région de Marseille prépare un envoi de $2520\text{ kg}$ d'oranges dans des caisses identiques à destination de plusieurs marchés européens. Pour organiser le transport, le service logistique impose les conditions suivantes :

1. Le poids de chaque caisse (en kilogrammes entiers) doit être un multiple de $15$, mais doit être impair (c'est-à-dire qu'il ne peut pas contenir le facteur premier $2$).

2. Le nombre total de caisses préparées doit être supérieur à $20$.

3. Le nombre total de caisses doit être un multiple de $8$.

1. a) Calculer la décomposition en produit de facteurs premiers de $2520$.
2. b) En utilisant uniquement la décomposition obtenue (sans tâtonner au hasard avec des divisions), expliquer quels facteurs premiers doivent obligatoirement former le poids de chaque caisse et lesquels doivent former le nombre total de caisses.
3. c) Déduire, en justifiant, toutes les combinaisons possibles (poids de chaque caisse, nombre total de caisses) qui satisfont toutes les exigences du transport.

On cherche le plus petit entier naturel $N$ qui vérifie à la fois ces deux conditions :

• Lorsqu'on le multiplie par $6$, le résultat $6 \cdot N$ est un carré parfait (tous les exposants de sa décomposition en facteurs premiers sont des nombres pairs).

• Lorsqu'on le multiplie par $10$, le résultat $10 \cdot N$ est un cube parfait (tous les exposants de sa décomposition en facteurs premiers sont des multiples de $3$).

1. a) Écrire la décomposition en produit de facteurs premiers de $6$ et de $10$, et en déduire quels facteurs premiers doit avoir au minimum le nombre $N$.
2. b) En supposant que $N = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$, déduire quelles conditions de parité et de divisibilité les exposants $a$, $b$ et $c$ doivent obligatoirement vérifier.
3. c) Trouver les plus petites valeurs entières naturelles possibles pour $a$, $b$ et $c$, écrire la décomposition en produit de facteurs premiers de $N$ et calculer la valeur numérique de ce nombre.