Exercices: Écriture scientifique

Pour qu'un nombre soit correctement écrit en écriture scientifique, il doit avoir un seul chiffre non nul avant la virgule.

Indiquer lesquels des nombres suivants sont correctement écrits en écriture scientifique :

1. a) $12,5 \cdot 10^4$
2. b) $3,07 \cdot 10^8$
3. c) $0,95 \cdot 10^3$
4. d) $7 \cdot 10^{11}$

La baleine bleue est le plus grand animal de la planète et peut peser environ $180\,000$ kilogrammes. Écrire cette quantité en écriture scientifique.

Exprimer en écriture décimale (en écrivant tous les chiffres) les distances astronomiques suivantes, données en écriture scientifique :

1. a) Distance à la Lune : $3,84 \cdot 10^5$ km
2. b) Distance au Soleil : $1,5 \cdot 10^8$ km

Un célèbre influenceur a atteint $2,4 \cdot 10^6$ abonnés sur son compte principal. S'il a $850\,000$ abonnés sur son compte secondaire, combien d'abonnés a-t-il en tout ? Exprimer le résultat final en écriture scientifique.

Recopier et compléter dans votre cahier avec le signe $>$ (supérieur à) ou $<$ (inférieur à) en comparant ces nombres en écriture scientifique :

1. a) $4,2 \cdot 10^5$ ____ $1,8 \cdot 10^6$
2. b) $9,5 \cdot 10^3$ ____ $9,45 \cdot 10^3$
3. c) $3 \cdot 10^7$ ____ $2,99 \cdot 10^7$

Un ordinateur effectue environ $5 \cdot 10^9$ opérations par seconde. Combien d'opérations effectuera-t-il en une minute ($60$ secondes) ? Exprimer le résultat en écriture scientifique.

La vitesse de la lumière dans le vide est de $300\,000$ kilomètres par seconde. Si un rayon de lumière met $100$ secondes pour atteindre une cible, quelle distance a-t-il parcourue ? Exprimer le résultat en écriture scientifique.

Sur une droite graduée régulièrement, on représente les nombres $2$, $3$ et $4$. Chaque unité est divisée en dix parties égales par des graduations secondaires. Identifier les nombres décimaux correspondant aux points marqués par les lettres $A$ (situé à la cinquième graduation entre $2$ et $3$) et $B$ (situé à la cinquième graduation entre $3$ et $4$) :

Irène doit calculer le produit $(4 \cdot 10^5) \cdot (5 \cdot 10^3)$ et donner le résultat final en écriture scientifique. Dans son cahier, elle a écrit le développement suivant :

Quand le professeur lui demande comment elle a obtenu la dernière étape, Irène explique : « Comme $20$ n'est pas inférieur à $10$, je divise la mantisse par $10$ pour qu'elle soit $2$, et pour compenser, je retire $1$ à l'exposant, ce qui donne $10^7$ ».

1. a) Expliquer en justifiant quelle est l'erreur dans le raisonnement d'Irène sur la compensation de l'exposant.
2. b) Écrire la correction complète de l'exercice, en justifiant ce qu'il faut réellement faire avec l'exposant pour que la valeur numérique ne soit pas modifiée.

On considère deux nombres, $A$ et $B$, exprimés en écriture scientifique : $A = 2,5 \cdot 10^n$ et $B = b \cdot 10^4$.

Sachant que leur produit est exactement $A \cdot B = 10^8$ et que la mantisse $b$ est un entier positif ($1 \le b < 10$) :

1. a) Justifier quelle valeur doit obligatoirement avoir la mantisse $b$ pour que, en multipliant les deux mantisses ($2,5 \cdot b$), le résultat soit une puissance exacte de $10$.
2. b) Une fois cette valeur de $b$ fixée, calculer en justifiant la valeur de l'exposant entier $n$ en détaillant les étapes de votre déduction.

Calculer le résultat de l'expression suivante, en respectant les priorités opératoires et en indiquant les étapes intermédiaires :

$3^3 \cdot \sqrt{64} - [4^2 + (12 - 5 \cdot 2) \cdot 7]$

Un célèbre streamer organise un tirage au sort d'abonnements tous les $14$ jours et un direct spécial de questions-réponses tous les $21$ jours. Si ce lundi il a réalisé les deux activités le même jour, combien de jours doivent s'écouler au minimum pour qu'il organise de nouveau le tirage au sort et le direct spécial le même jour ? Quel jour de la semaine sera-ce ?

Le club de robotique du collège possède $54$ capteurs infrarouges et $72$ servomoteurs. Les élèves veulent ranger le matériel dans des boîtes identiques contenant le plus grand nombre possible de composants, sans mélanger les types et sans qu'il n'en reste.

1. a) Combien de composants y aura-t-il dans chaque boîte ?
2. b) Combien de boîtes de capteurs et combien de boîtes de servomoteurs obtiendront-ils ?

Réduire à une seule puissance en utilisant les propriétés des puissances :

1. a) $(2^5 \cdot 2^3)^2 : 2^{10}$
2. b) $\frac{(3^4)^3 \cdot 9^2}{27^3}$ (Indice : exprimer d'abord tous les nombres comme puissances de base 3)

La distance moyenne de la Terre au Soleil est d'environ $149\,600\,000$ kilomètres.

1. a) Exprimer cette quantité en mètres en utilisant l'écriture scientifique.
2. b) Indiquer quel est l'ordre de grandeur de cette distance exprimée en mètres.

Écrire en écriture décimale (forme développée) les données scientifiques suivantes extraites d'un magazine de technologie :

1. a) Le nombre de transistors dans un microprocesseur avancé est de $4,5 \cdot 10^9$.
2. b) Le débit de transfert d'un câble à fibre optique est de $2,4 \cdot 10^7$ bits par seconde.
3. c) La capacité de stockage d'un serveur est de $1,25 \cdot 10^{12}$ octets.

Un globule rouge a un diamètre d'environ $7,5 \cdot 10^{-6}$ mètres. Si l'on pouvait placer en file $100$ millions de globules rouges les uns à côté des autres, quelle longueur totale atteindraient-ils ? Exprimer le résultat final en écriture scientifique et en kilomètres.

On considère le nombre $N = 3 \cdot 10^a$. On sait que le carré de ce nombre est $90\,000$ :

1. a) Déterminer la valeur de l'exposant $a$.
2. b) Écrire le nombre $N$ en écriture décimale.
3. c) $N$ est-il un carré parfait ? Justifier la réponse en calculant sa racine carrée.

D'après les données publiées par l'Institut national de la statistique espagnol (INE), la population résidant en Espagne est d'environ $4,8 \cdot 10^7$ personnes. Sur une année complète, l'ensemble des foyers et des communes espagnols génère environ $2,4 \cdot 10^7$ tonnes de déchets urbains.

1. a) Sachant que $1\text{ tonne} = 10^3\text{ kg}$, écrire en écriture scientifique la quantité totale de déchets générés par an, en kilogrammes.
2. b) Calculer la quantité moyenne de déchets que produit un habitant espagnol en un an (en $\text{kg/habitant}$). Exprimer l'opération et le résultat en écriture scientifique.
3. c) En prenant une année de $365$ jours, calculer combien de grammes de déchets produit en moyenne une personne par jour en Espagne. Écrire le résultat final en écriture décimale et interpréter si le résultat obtenu est cohérent avec la réalité.

Une équipe de recherche environnementale prélève un échantillon de sédiments dans les marais de la Camargue. L'analyse au microscope détermine qu'il y a une concentration moyenne de $3,8 \cdot 10^8$ micro-organismes par gramme de sol. La masse totale de l'échantillon prélevé est de $4,2 \cdot 10^2\text{ grammes}$.

1. a) Estimer : sans calculatrice et sans effectuer d'opérations détaillées sur le papier, arrondir les mantisses à l'unité la plus proche et déduire mentalement l'ordre de grandeur (l'exposant de la puissance de $10$) du nombre total de micro-organismes dans l'échantillon. Expliquer brièvement votre raisonnement.
2. b) Calculer : effectuer la multiplication en détaillant toutes les étapes, en appliquant les propriétés de l'écriture scientifique, et exprimer le résultat avec une mantisse adaptée.
3. c) Vérifier : comparer votre estimation initiale avec le résultat exact obtenu. L'ordre de grandeur coïncide-t-il ? Justifier en quoi faire une estimation préalable aide à détecter des erreurs de calcul.

Le corps d'un adolescent contient environ $2,5 \cdot 10^{13}$ globules rouges. Si chacun de ces globules a un diamètre d'à peine $7 \cdot 10^{-6}$ mètres, imaginer qu'on puisse tous les placer en file, les uns derrière les autres, pour former une très longue chaîne.

Calculer la longueur totale de cette chaîne en kilomètres et exprimer le résultat en écriture scientifique. Combien de fois cette chaîne pourrait-elle faire le tour de la Terre si la circonférence à l'équateur mesure environ $4 \cdot 10^4$ km ?

La distance moyenne de la Terre au Soleil est de $1,496 \cdot 10^8$ km, tandis que la distance moyenne de Mars au Soleil est de $2,279 \cdot 10^8$ km. À un instant donné, les trois astres sont parfaitement alignés, la Terre étant située entre le Soleil et Mars.

Calculer la distance qui sépare la Terre de Mars à cet instant. Exprimer le résultat en écriture scientifique et en mètres.

Un serveur d'un réseau social de vidéos très populaire reçoit en moyenne $4,5 \cdot 10^5$ mégaoctets (Mo) d'informations par seconde.

1. a) Combien de gigaoctets (Go) d'informations le serveur reçoit-il en une heure ? (Rappel : $1$ Go = $10^3$ Mo).
2. b) Si le serveur a une capacité totale de stockage de $1,2 \cdot 10^9$ Go, combien de jours mettrait-il à se remplir complètement si aucune donnée n'était effacée ? Donner le résultat final arrondi à l'unité.

En chimie, on sait qu'une mole de n'importe quelle substance contient $6,022 \cdot 10^{23}$ molécules (nombre d'Avogadro). Si l'on a un réservoir qui contient $2,5 \cdot 10^2$ moles d'eau et que l'on sait que la masse d'une seule molécule d'eau est d'environ $3 \cdot 10^{-23}$ grammes :

1. a) Calculer le nombre total de molécules d'eau dans le réservoir.
2. b) Calculer la masse totale de l'eau dans le réservoir en kilogrammes. Exprimer les deux résultats en écriture scientifique.

La lumière se déplace à une vitesse constante de $3 \cdot 10^8$ mètres par seconde. Un processeur de dernière génération effectue une opération élémentaire toutes les $0,5$ nanosecondes (une nanoseconde vaut $10^{-9}$ secondes).

Quelle distance la lumière parcourt-elle pendant le temps exact que met le processeur pour effectuer une seule opération ? Exprimer le résultat en millimètres et en écriture scientifique.

Une centrale électrique produit chaque année $2,8 \cdot 10^{10}$ kilowattheures (kWh). Dans une ville, il y a $5 \cdot 10^5$ foyers, et chaque foyer consomme en moyenne $3,5 \cdot 10^3$ kWh par an.

Calculer quelle quantité d'énergie reste après avoir approvisionné toute la ville. Exprimer le résultat en écriture scientifique et réfléchir : cette énergie excédentaire pourrait-elle approvisionner une autre ville de $2 \cdot 10^5$ foyers avec la même consommation moyenne ? Justifier la réponse en effectuant les calculs nécessaires.

Si l'on étirait tout l'ADN d'une seule cellule humaine, il mesurerait environ $2 \cdot 10^0$ mètres (c'est-à-dire 2 mètres). Le corps humain compte environ $3,7 \cdot 10^{13}$ cellules.

1. a) Quelle serait la longueur totale de tout l'ADN d'une personne si on pouvait le mettre bout à bout ? L'exprimer en kilomètres et en écriture scientifique.
2. b) Sachant que la distance de la Terre à la Lune est de $3,84 \cdot 10^5$ km, combien de fois pourrait-on faire l'aller-retour jusqu'à la Lune avec tout cet ADN ?

Ranger les valeurs suivantes dans l'ordre croissant, mais avant cela, les exprimer toutes sous forme de nombre décimal « ordinaire » (écriture décimale) afin de vérifier votre précision :

• $A = 345 \cdot 10^6$

• $B = 0,034 \cdot 10^{10}$

• $C = 3,5 \cdot 10^8$

• $D = 3,400 \cdot 10^5$

Une fois les valeurs rangées, effectuer l'opération suivante et exprimer le résultat final en écriture scientifique : $\frac{A + C}{D}$. (Remarque : faire très attention aux exposants lors de l'addition).

Dans une classe de 4e, on propose de calculer le résultat de la soustraction suivante : $R = 3,2 \cdot 10^{14} - 7,5 \cdot 10^{11}$. Deux élèves défendent des stratégies différentes :

• Serge dit : « Je préfère écrire les deux nombres avec tous leurs chiffres et leurs zéros en écriture décimale traditionnelle, les placer l'un sous l'autre, soustraire, puis repasser le résultat en écriture scientifique ».

• Lucie réplique : « C'est très risqué. Il vaut bien mieux égaliser les exposants en écriture scientifique en transformant l'un des termes pour pouvoir factoriser la puissance de $10$ et ne soustraire que les mantisses ».

1. a) Analyser les inconvénients et les risques de calcul que présente la méthode de Serge dans ce cas précis, en indiquant combien de zéros il faudrait écrire pour chaque nombre.
2. b) Appliquer la méthode de Lucie pas à pas : égaliser les exposants au plus grand d'entre eux ($10^{14}$), effectuer la soustraction et donner la solution en écriture scientifique correcte.
3. c) Décrire dans quelle situation particulière d'une addition ou d'une soustraction il serait raisonnable d'appliquer la méthode de Serge et donner un exemple numérique avec des puissances de $10$ qui le justifie.

Dans un observatoire astronomique, on analyse deux corps célestes, $X$ et $Y$, dont les masses estimées sont données par $M_X = 4,8 \cdot 10^k\text{ kg}$ et $M_Y = 1,6 \cdot 10^{k-2}\text{ kg}$, où $k$ est un nombre entier positif dont on sait qu'il est supérieur à $5$.

1. a) Sans connaître la valeur numérique précise de $k$, calculer combien de fois le corps $X$ est plus massif que le corps $Y$. Justifier en détail pourquoi le résultat obtenu est indépendant de la valeur de $k$.
2. b) Si les deux corps entraient en collision et fusionnaient pour former un unique objet de masse $M_T = M_X + M_Y$, calculer cette masse totale exprimée en écriture scientifique en fonction de $k$ (avec une mantisse correctement comprise entre $1$ et $10$).
3. c) Si les astronomes affirment que la masse totale $M_T$ est strictement inférieure à $10^{19}\text{ kg}$, déterminer quelle est la plus grande valeur entière possible de l'exposant $k$. Justifier la déduction à l'aide d'une inégalité.