Exercices: Programmes de calcul et identités

On considère le programme de calcul suivant :

• Choisir un nombre.

• Ajouter 3.

• Multiplier le résultat par 2.

1. a) Appliquer ce programme au nombre $5$, puis au nombre $-4$.
2. b) Exprimer le résultat en fonction du nombre de départ $x$.

Développer et réduire l'expression $A = 3(x + 4) - 2x$.

Vérifier ensuite que $A$ et $x + 12$ sont égales pour $x = 7$.

Pour chaque égalité, dire si elle est vraie pour $x = 2$, puis pour $x = 3$ :

1. a) $x^2 = 2x$
2. b) $2(x+1) = 2x + 2$

Laquelle de ces deux égalités est une identité ? Justifier.

Programme A : choisir un nombre, le multiplier par $4$, ajouter $6$, diviser par $2$.

Programme B : choisir un nombre, multiplier par $2$, ajouter $3$.

1. a) Exprimer le résultat de chaque programme en fonction du nombre $x$ choisi.
2. b) Que peut-on conjecturer ? Le démontrer.

Léa affirme : « Si je choisis un nombre, que je lui ajoute $1$, que j'élève le résultat au carré, puis que je retranche le carré du nombre de départ, j'obtiens toujours un nombre impair. »

1. a) Tester l'affirmation avec $x = 3$ et $x = -5$.
2. b) Démontrer l'affirmation pour tout nombre entier $x$.

Montrer que l'égalité $(x+3)^2 - (x-3)^2 = 12x$ est une identité.

Utiliser ce résultat pour calculer mentalement $103^2 - 97^2$.

On considère le programme de calcul suivant :

• Choisir un nombre $x$.

• Calculer son carré.

• Soustraire au résultat le produit du nombre précédent $x-1$ par le nombre suivant $x+1$.

1. a) Montrer que le résultat de « carré de $x$ moins le produit $(x-1)(x+1)$ » est toujours égal à $1$.
2. b) Utiliser ce résultat pour calculer $2\,025^2 - 2\,024 \times 2\,026$.

Soit $n$ un entier. On appelle $S$ la somme de trois entiers consécutifs : $n$, $n+1$ et $n+2$.

1. a) Montrer que $S$ est un multiple de $3$.
2. b) Montrer que la somme des carrés de deux entiers consécutifs est toujours un nombre impair.
3. c) Le produit de quatre entiers consécutifs augmenté de $1$ est-il un carré ? Tester avec $1, 2, 3, 4$ puis avec $2, 3, 4, 5$. Que peut-on conjecturer ?

On choisit un nombre $x$ et on applique deux programmes :

Programme 1 : ajouter $5$, élever au carré, soustraire $25$.

Programme 2 : multiplier $x$ par $x + 10$.

1. a) Exprimer le résultat de chaque programme sous forme développée et réduite.
2. b) Les deux programmes donnent-ils toujours le même résultat ? Justifier.
3. c) Trouver tous les nombres $x$ pour lesquels le programme 2 donne $0$.