Exercices: Notion de fonction

Dans un jeu vidéo de stratégie, la position des ressources est indiquée par des coordonnées dans un repère. Observer la carte et écrire les coordonnées des trois coffres au trésor représentés :

Écrire les coordonnées de chaque coffre sous la forme $(x\,;\,y)$.

Pour louer une trottinette électrique, une entreprise facture $1,50$ € pour le déverrouillage initial et $0,20$ € par minute d'utilisation. On souhaite étudier la relation entre la durée d'utilisation et le coût total de la location.

Identifier les variables de cette relation :

• Variable indépendante ($x$) : ________

• Variable dépendante ($y$) : ________

Une des règles essentielles pour savoir si une courbe représente une fonction est de vérifier qu'à chaque valeur de la variable indépendante $x$ correspond une unique valeur de la variable dépendante $y$. Indiquer laquelle des courbes suivantes n'est PAS une fonction et justifier brièvement la réponse.

Compléter le tableau de valeurs suivant sachant que la fonction associe à chaque nombre entier naturel son triple diminué de un. Autrement dit, l'expression littérale est $y = 3x - 1$.

Variable indépendante ($x$)	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Variable dépendante ($y$)	$2$

Indiquer si les situations suivantes représentent une fonction continue ou une fonction discrète :

1. a) Le nombre de personnes qui entrent dans un cinéma selon le film projeté.
2. b) L'altitude d'une montgolfière au fil des minutes depuis son décollage.
3. c) Le prix d'un sac d'oranges selon sa masse en kilogrammes.
4. d) Le nombre d'abonnés Instagram d'un influenceur jour après jour.

Observer le diagramme sagittal (diagramme de Venn) suivant, qui relie un groupe d'amis à leur couleur de t-shirt préférée. Cette relation représente-t-elle une fonction ? Expliquer pourquoi.

Lucie surveille la batterie de son téléphone pendant la matinée. À son réveil, à $08:00$, elle était à $100\%$. Chaque heure qui passe, la batterie diminue de $8\%$.

1. a) Écrire l'expression littérale de la fonction qui relie les heures écoulées ($x$) au pourcentage de batterie restant ($y$).
2. b) Quel pourcentage de batterie Lucie aura-t-elle à $12:00$ du matin (après $4$ heures d'utilisation) ?

Étant donné la fonction $f(x) = x^2 - 3$, calculer la valeur de la variable dépendante pour les valeurs de $x$ suivantes :

1. a) Si $x = 0 \rightarrow y = $
2. b) Si $x = 2 \rightarrow y = $
3. c) Si $x = 5 \rightarrow y = $
4. d) Si $x = 10 \rightarrow y = $

Observer attentivement les trois courbes suivantes représentées dans un repère. Utiliser le critère de la droite verticale (imaginer des droites verticales qui parcourent chaque courbe et compter en combien de points elles la coupent) pour identifier laquelle ou lesquelles représentent une fonction, et justifier précisément la réponse dans chaque cas.

Lors d'un championnat de jeux vidéo, on veut établir une relation entre les joueurs et les personnages qu'ils choisissent. Analyser les deux situations suivantes et déterminer laquelle définit une fonction :

• Situation 1 : À chaque joueur, on associe le nom du seul personnage qu'il a utilisé pendant tout le tournoi.

• Situation 2 : À chaque personnage, on associe les noms de tous les joueurs qui l'ont choisi lors d'au moins une partie.

Dessiner un diagramme sagittal (diagramme de Venn) pour la Situation 1 à partir de ces données : joueurs $\{Ainhoa, Marc, Leo\}$ et personnages $\{Guerrier, Magicienne\}$. Ainhoa et Marc ont choisi le Guerrier, et Leo a choisi la Magicienne.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Une trottinette électrique a une batterie qui se décharge de façon constante. Au départ de la maison, la batterie est à $100\%$. Pour chaque kilomètre parcouru, la batterie diminue de $5\%$.

1. a) Identifier la variable indépendante et la variable dépendante, en indiquant l'unité de chacune.
2. b) Écrire l'expression littérale (formule) de la fonction qui relie les kilomètres parcourus ($x$) au pourcentage de batterie restant ($y$).
3. c) La valeur de $x$ peut-elle être égale à $25$ ? Expliquer si cette valeur appartient à l'ensemble de définition de la fonction dans ce contexte réel.

Le graphique suivant montre la distance à laquelle se trouve un drone de livraison par rapport à sa base logistique pendant un trajet aller-retour de 10 minutes.

À partir du graphique, indiquer :

1. a) L'ensemble de définition et l'ensemble image de la fonction.
2. b) Pendant combien de temps le drone est-il resté immobile pour livrer le colis ? À quelle distance de la base se trouvait-il à ce moment-là ?
3. c) Sur quel intervalle de temps le drone est-il revenu vers la base ?

Compléter le tableau de valeurs suivant pour la fonction $y = x^2 - 3$ :

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$

Une fois le tableau complété, répondre :

1. a) Existe-t-il des valeurs de $x$ différentes qui ont la même image ($y$) ? Cela empêche-t-il qu'il s'agisse d'une fonction ?
2. b) Représenter les points obtenus dans un repère. Quelle forme semble avoir la courbe ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

On remplit un réservoir d'eau de forme cylindrique avec un robinet dont le débit constant est de $4$ litres par minute. Au début, le réservoir est vide et sa capacité totale est de $20$ litres.

1. a) Indiquer si la fonction qui relie le temps écoulé au volume d'eau est continue ou discrète. Expliquer pourquoi.

1. b) Quel est l'ensemble de définition de cette fonction, sachant que le robinet est fermé lorsque le réservoir est plein ?

1. c) Dessiner l'allure de la courbe représentant cette situation, avec le temps $t$ (en minutes) sur l'axe horizontal et le volume $V$ (en litres) sur l'axe vertical.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

On considère la fonction définie par le graphique suivant, qui représente le coût d'un abonnement mensuel à une plateforme de musique en fonction du nombre de mois souscrits :

1. a) Est-il correct de relier les points par un trait continu ? Justifier si la variable indépendante est discrète ou continue.
2. b) Si le point $(1 ; 10)$ appartient à la courbe de la fonction, que signifie cette donnée dans le contexte du problème ?
3. c) Déterminer l'image de $x=3$ en observant la tendance des points.

Indiquer lesquelles des relations suivantes ne sont pas des fonctions et expliquer pourquoi en s'appuyant sur la définition d'une fonction :

1. À chaque élève de ta classe, on associe sa date de naissance.

2. À chaque nombre entier naturel, on associe ses diviseurs.

3. À chaque nombre réel, on associe sa racine carrée positive.

4. À chaque mère, on associe le prénom de ses enfants.

5. À chaque produit d'un magasin, on associe son prix en euros.

Analyser attentivement la représentation graphique suivante, qui montre la relation entre deux grandeurs. Déterminer, en justifiant à partir de la définition d'une fonction, si ce graphique représente une fonction ou une relation qui n'est pas une fonction. Indiquer aussi quelle serait la valeur (ou les valeurs) de la variable dépendante $y$ lorsque la variable indépendante $x$ est égale à $2$.

Une entreprise de livraison par drones facture un tarif de base de $5\ €$ pour le service. De plus, le coût selon la distance est découpé en paliers : les $2\ km$ premiers sont gratuits, mais au-delà, chaque kilomètre ou fraction de kilomètre supplémentaire coûte $2\ €$ (c'est-à-dire que si le drone parcourt $2,1\ km$, on facture comme si c'étaient $3\ km$).

1. a) Expliquer pourquoi cette situation représente une fonction discontinue.
2. b) Identifier la variable indépendante et la variable dépendante.
3. c) Représenter graphiquement le coût du service pour des distances comprises entre $0$ et $5\ km$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

On définit une relation entre deux ensembles de nombres de la façon suivante : « À chaque nombre entier $x$ correspond sa racine carrée ».

1. a) Cette relation est-elle une fonction si l'ensemble de départ (ensemble de définition) est l'ensemble de tous les nombres entiers $\mathbb{Z}$ ? Justifier votre réponse en analysant ce qui se passe pour les nombres négatifs.
2. b) Et si l'on restreint l'ensemble de définition aux nombres $\{0, 1, 4, 9\}$ ? Serait-ce une fonction si chaque nombre pouvait avoir deux valeurs associées (positive et négative) ? Justifier votre réponse en vous appuyant sur l'unicité de l'image.

Un athlète s'entraîne sur un chemin rectiligne. Le graphique suivant montre la distance au point de départ en fonction du temps.

1. a) Expliquer ce qui se passe entre la minute $4$ et la minute $6$.
2. b) À quelle vitesse maximale l'athlète a-t-il couru et sur quel intervalle cela s'est-il produit ?
3. c) Expliquer ce qui se passe entre $t=6$ et $t=8$.
4. d) Peut-on affirmer qu'il s'agit d'une fonction continue ? Pourquoi ?

Dans le tableau de valeurs suivant, relevé lors d'une expérience de physique, on soupçonne qu'une des données est erronée et qu'elle empêche la relation d'être une fonction.

Temps (s)	$1$	$2$	$3$	$2$	$5$
Position (m)	$10$	$20$	$35$	$25$	$60$

1. a) Identifier la donnée qui empêche ce tableau de représenter une fonction. Justifier votre choix.
2. b) Si l'on supprime la donnée erronée, la variable indépendante serait-elle discrète ou continue ?
3. c) Écrire une équation possible $y = f(x)$ reliant la position au temps si la vitesse était constante et égale à $12\ m/s$.

On considère la fonction qui, à chaque nombre entier naturel à deux chiffres, associe la somme de ses chiffres.

Par exemple : $f(14) = 1 + 4 = 5$.

1. a) Quel est l'ensemble de définition de cette fonction ?
2. b) Quel est l'ensemble image de la fonction ? (Tenir compte du plus petit et du plus grand nombre possibles.)
3. c) La fonction est-elle croissante ? Justifier la réponse en comparant, par exemple, $f(19)$ et $f(20)$.

Dans un repère, tracer la courbe représentative d'une fonction vérifiant simultanément les quatre conditions suivantes :

1. Son ensemble de définition est l'intervalle $[-4 ; 6]$.

2. Elle présente un point de discontinuité (un saut) en $x = 2$.

3. Elle est décroissante sur l'intervalle $[-4 ; 0]$ et croissante sur l'intervalle $[3 ; 6]$.

4. Elle admet un maximum local au point $(-4 ; 5)$ et un minimum global en $(3 ; 1)$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.