Exercices: Problèmes et équations

Si l'on ajoute $12$ au triple d'un nombre, on obtient $48$. De quel nombre s'agit-il ?

On veut mettre un cadre en bois à une photographie rectangulaire. On sait que la longueur de la photographie mesure $5 \text{ cm}$ de plus que la largeur. Si, pour l'encadrer, il a fallu une baguette de $70 \text{ cm}$ de longueur totale (périmètre), quelles sont les dimensions de la photographie ?

Dans un magasin de jeux vidéo, on a vendu deux fois plus de consoles portables que de consoles de salon. Si l'on a vendu $18$ consoles au total, combien en a-t-on vendu de chaque type ?

Arthur a $4$ ans de plus que sa sœur Lucie. Si la somme de leurs âges est de $26$ ans, quel est l'âge de chacun des deux ?

Un berger a des moutons et des poules dans son enclos. Si l'on compte les têtes, il y en a $20$ au total, et si l'on compte les pattes, il y en a $64$. Combien y a-t-il de moutons et de poules dans l'enclos ? (Rappel : les moutons ont $4$ pattes et les poules $2$.)

Manon a acheté $3$ tee-shirts identiques pour l'équipe d'athlétisme et un short de sport qui coûtait $15 \text{ €}$. Si elle a dépensé $60 \text{ €}$ au total, combien a coûté chaque tee-shirt ?

Déterminer trois nombres entiers consécutifs dont la somme est égale à $54$.

Le périmètre d'un triangle isocèle est de $40 \text{ cm}$. Si le côté différent mesure $10 \text{ cm}$, quelle est la longueur de chacun des côtés égaux ?

Dans un problème de classe, on demande de calculer dans combien d'années l'âge d'un père sera le triple de celui de sa fille. La fille a actuellement $12$ ans et le père a $40$ ans. Mathis a proposé l'équation suivante pour le résoudre : $40 + x = 3 \cdot 12 + x$.

1. a) Repérer l'erreur de raisonnement commise par Mathis et expliquer avec vos propres mots pourquoi sa mise en équation contredit le fait que le temps s'écoule de la même façon pour les deux personnes.
2. b) Écrire l'équation correcte qui représente le problème et la résoudre pour déterminer dans combien d'années la condition sera remplie.

Dans votre collège, on va clôturer une parcelle rectangulaire destinée au potager scolaire. En raison de la forme du terrain disponible, la longueur doit mesurer exactement le triple de la largeur. Au magasin, on dispose d'un rouleau de grillage de $64\text{ m}$ qui sera utilisé entièrement pour entourer tout le périmètre.

1. a) Avant de poser la moindre équation, faire une estimation raisonnée : la largeur de la parcelle peut-elle mesurer $10\text{ m}$ ou plus ? Justifier votre déduction sans calculer la valeur exacte.
2. b) Définir l'inconnue, poser l'équation correspondant au périmètre et déterminer les dimensions exactes de la parcelle (largeur et longueur).
3. c) Vérifier la solution obtenue et confirmer si elle est en accord avec votre estimation préalable.

Sur un réseau social, le nombre d'abonnés d'Alba est le triple de celui de son frère Xavier. Si Alba perdait $150$ abonnés et que Xavier en gagnait $50$, ils auraient exactement le même nombre d'abonnés. Combien d'abonnés chacun a-t-il actuellement ?

Un terrain de padel rectangulaire a un périmètre de $60$ mètres. Sachant que la longueur du terrain mesure $6$ mètres de plus que la largeur, calculer les dimensions (longueur et largeur) de ce terrain.

L'âge d'une mère est actuellement le triple de celui de son fils. Il y a $6$ ans, la somme de leurs âges était de $40$ ans. Quel est l'âge actuel du fils et de la mère ?

Mathis a acheté un jeu vidéo et un casque pour sa console. Le casque lui a coûté $12$ € de moins que le jeu vidéo. Si le jeu vidéo avait été soldé à moitié prix, Mathis aurait payé $48$ € pour les deux articles. Quel est le prix d'origine de chaque article ?

Un agriculteur veut clôturer une parcelle triangulaire pour ses moutons. Sachant que le triangle est isocèle, que le côté différent mesure $5$ mètres de moins que chacun des côtés égaux et qu'il a fallu $40$ mètres de clôture au total, quelle est la longueur de chaque côté de la parcelle ?

Dans un café, on a mélangé du café de Colombie, qui coûte $12$ €/kg, avec du café du Brésil, qui coûte $8$ €/kg. Si l'on a obtenu $20$ kg de mélange et que le prix de celui-ci est de $9$ €/kg, quelle masse de café de chaque sorte a-t-on utilisée ?

Déterminer trois nombres entiers consécutifs tels que la somme des deux premiers soit supérieure de $15$ unités au troisième nombre.

Calculer les dimensions d'un rectangle sachant que sa base mesure $3$ cm de plus que sa hauteur et que, si l'on augmente la hauteur de $2$ cm, l'aire du nouveau rectangle augmente de $16$ $cm^2$.

Dans les transports en commun d'une ville française, le ticket de bus de jour coûte $1,40$ € et le ticket de la ligne de nuit coûte $2,10$ €. Le mois dernier, Irène a pris le bus au total $35$ fois et le relevé de sa carte rechargeable indique une dépense totale d'exactement $57,40$ €.

1. a) Définir l'inconnue principale en indiquant clairement ce qu'elle représente et exprimer le nombre de trajets de nuit en fonction de cette inconnue.
2. b) Poser une équation du premier degré reliant les tickets utilisés à la dépense totale et la résoudre pour savoir combien de trajets de chaque type Irène a effectués.
3. c) Vérifier si les valeurs numériques obtenues ont un sens dans la vie réelle, compte tenu du type de solution qu'exige ce problème.

Vous allez concevoir un problème d'algèbre pour le contrôle de votre groupe. L'énoncé doit commencer ainsi : « Actuellement, Mathis a le double de l'âge de sa sœur Clara… ». Votre tâche consiste à ajouter une seconde phrase décrivant une relation entre les âges qu'ils auront dans $6$ ans (fondée sur la somme de leurs âges futurs), de sorte que la résolution de l'équation donne obligatoirement que Clara a aujourd'hui $8$ ans.

1. a) Déterminer l'âge que Mathis et Clara auront dans $6$ ans sachant qu'aujourd'hui Clara a $8$ ans, et calculer la somme de leurs âges à ce moment futur.
2. b) Rédiger l'énoncé complet et cohérent du problème en y intégrant cette donnée numérique.
3. c) Poser l'équation à partir de l'énoncé que vous avez écrit, la résoudre pas à pas et démontrer que la solution est bien $x = 8$.

Un laboratoire de parfums veut créer une nouvelle fragrance en mélangeant deux essences. L'essence A coûte $120$ €/litre et l'essence B coûte $75$ €/litre. Il a été décidé que, pour obtenir un flacon de $250$ mL, le coût du mélange doit être exactement de $24,75$ €. Quelle quantité de chaque essence, en millilitres, le flacon doit-il contenir ?

Lors d'une compétition de robotique, un robot quitte la ligne de départ à une vitesse constante de $2$ m/s. Trente secondes plus tard, un second robot part à sa poursuite à une vitesse de $3,5$ m/s. Si la piste mesure $150$ mètres au total avant d'arriver à une zone d'obstacles, le second robot parviendra-t-il à rattraper le premier avant que celui-ci n'entre dans la zone d'obstacles ? Écrire l'équation et justifier la réponse en calculant la distance au moment du rattrapage.

On veut aménager un jardin rectangulaire entouré d'un chemin dallé de largeur constante $2$ mètres. La longueur du jardin est le double de sa largeur. Si l'aire totale occupée par le chemin dallé est de $112$ m$^2$, quelles sont les dimensions du jardin (largeur et longueur) ?

Un nombre a deux chiffres dont la somme est $12$. Si l'on inverse l'ordre de ses chiffres, on obtient un nouveau nombre qui est supérieur de $18$ unités au nombre initial. Déterminer le nombre initial en utilisant une équation à une seule inconnue (Indice : un nombre à deux chiffres peut s'écrire $10x + y$).

L'âge d'un père est aujourd'hui le triple de celui de son fils. Il y a $6$ ans, l'âge du père était égal à cinq fois l'âge de son fils à ce moment-là. Combien d'années doivent s'écouler pour que la somme des âges du père et du fils soit exactement de $100$ ans ?

Un réservoir d'eau est rempli par deux robinets. Le robinet A met $6$ heures de plus que le robinet B pour remplir seul le réservoir. Si on ouvre les deux en même temps, le réservoir se remplit en exactement $4$ heures. Calculer le temps que mettrait le robinet B pour remplir seul le réservoir. (Ce problème nécessite de résoudre une équation du second degré.)

Calculer le périmètre d'un triangle rectangle sachant que ses trois côtés sont exprimés par trois entiers naturels consécutifs. (Indice : utiliser le théorème de Pythagore $a^2 + b^2 = c^2$, où $c$ est le plus grand côté.)

Une entreprise de messagerie utilise des camionnettes et des motos. Les camionnettes ont $4$ roues et les motos $2$. Au total, il y a $24$ conducteurs (un par véhicule) et $64$ roues. Pour des raisons logistiques, le coût d'entretien quotidien est de $15$ € par camionnette et $6$ € par moto. Si le budget total quotidien d'entretien est de $200$ €, combien de conducteurs de camionnette devraient passer, au minimum, à la conduite de motos pour ne pas dépasser le budget sans changer le nombre total de véhicules ?

Pendant la fête de fin d'année du collège, un total de $60$ sandwichs ont été vendus à la buvette pour financer un voyage. Les sandwichs à l'omelette ont été vendus $2,20$ € l'un et ceux au jambon $2,80$ €. La recette totale a été de $147,60$ €.

Pour trouver combien de sandwichs de chaque sorte ont été vendus, deux élèves proposent des démarches différentes :

• Sarah dit : « Je préfère utiliser seulement l'inconnue $x$ pour ceux à l'omelette, exprimer ceux au jambon par $60 - x$ et résoudre une seule équation du premier degré. »

• David dit : « C'est plus ordonné d'utiliser deux inconnues, $x$ pour ceux à l'omelette et $y$ pour ceux au jambon, et d'écrire un système de deux équations linéaires. »

1. a) Poser et résoudre le problème en suivant de bout en bout la méthode proposée par Sarah.
2. b) Poser et résoudre le problème en suivant de bout en bout la méthode proposée par David.
3. c) Comparer les deux démarches : quels avantages et inconvénients présente chacune pour traduire les données de l'énoncé et pour effectuer les calculs algébriques ? Justifier laquelle vous recommanderiez à un camarade qui hésite souvent au moment d'isoler une inconnue.

La facture trimestrielle d'eau d'un logement dans une commune française comprend un abonnement fixe de $18,50$ € et un coût selon le volume consommé. Pour encourager les économies face à la sécheresse, les $30\text{ m}^3$ premiers d'eau consommés dans le trimestre sont facturés $1,35$ €/$\text{m}^3$, tandis que tout mètre cube supplémentaire au-delà de cette limite est facturé au prix pénalisant de $2,10$ €/$\text{m}^3$.

Une famille a reçu une facture trimestrielle d'un montant total à payer de $71,60$ €.

1. a) Démontrer numériquement, avant d'écrire l'équation globale, pourquoi la consommation de cette famille a nécessairement dépassé $30\text{ m}^3$.
2. b) Définir l'inconnue $x$, écrire l'équation du premier degré qui décrit la facture et calculer combien de mètres cubes d'eau la famille a consommés pendant le trimestre.
3. c) Si, le trimestre suivant, la famille parvient à réduire de moitié son volume de consommation $\text{m}^3$, le montant total de la facture en euros sera-t-il lui aussi exactement divisé par deux ? Justifier la réponse en analysant algébriquement l'influence du terme fixe et du changement de tranche tarifaire.

Défi du thème. Comment optimiseriez-vous l'espace et la consommation de votre coin d'étude ? Devenez conseiller en efficacité domestique en relevant ce défi à la maison.

1. Recueil de données : Mesurer avec un mètre ruban la surface de votre bureau et consulter sur le site de RTE (Réseau de transport d'électricité) le prix moyen du kWh (environ $0,14$ €/kWh).

2. Énergie et temps : Poser un problème avec une équation du 1er degré pour calculer au bout de combien d'heures d'utilisation une ampoule LED devient rentable par rapport à une ampoule classique. Ensuite, résoudre un système de deux équations linéaires (par exemple, avec $x+y=24$) pour répartir les heures de la journée entre travail et loisirs selon le coût énergétique prévu.

3. Conception géométrique : Concevoir un tapis de protection rectangulaire pour le sol sachant que sa longueur doit mesurer $0,5$ m de plus que sa largeur ($x$). Poser et résoudre une équation du second degré du type $x(x+0,5)=A$ en fixant une aire réelle $A$ adaptée à votre chambre.

4. Rapport final : Rédiger un rapport bref (appuyé sur GeoGebra pour le plan ou sur un tableur pour les coûts) qui justifie vos choix à l'aide des solutions mathématiques obtenues.

Seront évalués :

• La rigueur dans la mise en équation et la résolution algébrique d'équations du 1er et du 2e degré et de systèmes.

• L'utilisation cohérente de données réelles et la justification des solutions dans leur contexte.

• La qualité du rapport et l'utilisation des outils numériques (GeoGebra ou Calc/Excel).