Exercices: Volume d'un solide

Un colis contenant un clavier « gamer » a la forme d'un pavé droit. Ses dimensions sont $45\text{ cm}$ de longueur, $15\text{ cm}$ de largeur et $5\text{ cm}$ de hauteur. Calculer le volume d'air occupé par la boîte en centimètres cubes.

Une canette de soda cylindrique a un diamètre de $6\text{ cm}$ et une hauteur de $12\text{ cm}$. Calculer son volume en utilisant la valeur de $\pi \approx 3,14$.

Une pyramide en verre décorative a une base carrée de $8\text{ cm}$ de côté et une hauteur de $10\text{ cm}$. Calculer le volume de verre nécessaire pour la fabriquer.

Le professeur d'éducation physique range les ballons de handball dans une caisse. Si chaque ballon a un rayon de $9\text{ cm}$, calculer le volume de l'un d'eux en arrondissant à deux décimales. (Utiliser $\pi \approx 3,14$.)

Un cornet de glace a la forme d'un cône. Le rayon de la base est de $3\text{ cm}$ et sa hauteur est de $12\text{ cm}$. Calculer combien de centimètres cubes de glace peuvent tenir à l'intérieur (sans que rien ne dépasse en haut).

Calculer le volume d'un prisme dont la base est un triangle rectangle de côtés de l'angle droit $6\text{ cm}$ et $8\text{ cm}$, sachant que la hauteur du prisme est de $15\text{ cm}$.

Un aquarium a la forme d'un pavé droit avec les dimensions suivantes : $60\text{ cm}$ de longueur, $30\text{ cm}$ de largeur et $40\text{ cm}$ de hauteur. Calculer combien de litres d'eau peut contenir l'aquarium s'il est rempli complètement. (Rappel : $1\text{ dm}^3 = 1\text{ litre}$.)

Un morceau de fromage a la forme d'un cylindre de rayon $10\text{ cm}$ et de hauteur $8\text{ cm}$. On coupe le fromage exactement en deux verticalement. Quel est le volume de chacune des deux parties obtenues ? (Utiliser $\pi \approx 3,14$).

Marc veut calculer la contenance en litres d'une gourde isotherme cylindrique qu'il utilise pour emporter de l'eau au collège. Avec une règle, il mesure l'extérieur et obtient $8\text{ cm}$ de diamètre et $20\text{ cm}$ de hauteur. Dans son cahier, il écrit :

$V = \pi \cdot 8^2 \cdot 20 \approx 3,14 \cdot 64 \cdot 20 = 4\,019,2\text{ cm}^3 \approx 40,2\text{ L}$

et il conclut que la gourde peut contenir un peu plus de $40\text{ litres}$ d'eau. Identifier les deux erreurs commises par Marc (une erreur géométrique et une erreur de conversion d'unités), expliquer clairement pourquoi elles sont incorrectes et calculer la contenance réelle approchée de la gourde en litres, en arrondissant à deux décimales.

Dans le gymnase de ton quartier, on va gonfler un ballon de gymnastique géant (sphérique) de diamètre $60\text{ cm}$. Avant de calculer avec des valeurs décimales :

1. a) Estimer de façon argumentée une borne supérieure de sa contenance : si le ballon était exactement enfermé dans une boîte cubique d'arête $60\text{ cm}$, combien de litres d'air cette boîte contiendrait-elle ? À partir de cette borne, expliquer s'il te semble possible que le ballon dépasse $150\text{ L}$.
2. b) Calculer maintenant le volume exact du ballon en décimètres cubes (litres), en prenant $\pi \approx 3,14$.
3. c) Comparer la valeur obtenue avec ton estimation précédente et vérifier si ton intuition était correcte en justifiant la relation géométrique entre la sphère et le cube.

La mairie d'une ville a installé des jardinières en ciment en forme de prisme droit à base hexagonale régulière. Si chaque côté de l'hexagone de la base mesure $30 \text{ cm}$ et que la hauteur de la jardinière est de $60 \text{ cm}$, calculer le volume de terre (en litres) nécessaire pour la remplir complètement.

(Indication : il faut d'abord déterminer l'apothème de la base à l'aide du théorème de Pythagore.)

Une bouteille isotherme pour le café a la forme d'un cylindre. Le rayon de la base mesure $4 \text{ cm}$ et la hauteur totale est de $25 \text{ cm}$. Si la bouteille est remplie à $80 \%$ de sa capacité, combien de verres de $150 \text{ ml}$ peut-on remplir complètement ?

(Prendre $\pi \approx 3,14$ et rappeler que $1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ litre}$.)

Une pyramide en verre décorative a une base carrée de $12 \text{ cm}$ de côté. Si l'arête latérale (le segment qui joint le sommet à un sommet de la base) mesure $10 \text{ cm}$, calculer le volume de verre contenu dans la pièce.

(Remarque : il faudra appliquer deux fois le théorème de Pythagore : d'abord pour trouver la diagonale de la base, puis pour trouver la hauteur de la pyramide.)

On veut fabriquer une glace en forme de cône dont la génératrice mesure $15 \text{ cm}$ et dont le rayon de la base est de $6 \text{ cm}$. Calculer le volume de glace que contient l'intérieur du cône. Si, au service, on ajoute une demi-boule parfaite de glace sur la base (de même rayon), quel sera le volume total de la glace ?

Un réservoir d'eau a la forme d'un tronc de cône. Le rayon de la grande base est de $3 \text{ m}$, le rayon de la petite base est de $1,5 \text{ m}$ et la hauteur du réservoir est de $4 \text{ m}$. Calculer la capacité du réservoir en mètres cubes.

(Suggestion : on peut utiliser la formule du volume du tronc de cône ou le voir comme la différence entre deux cônes.)

Trois billes métalliques de rayon $3 \text{ cm}$ sont fondues pour créer une unique boule de plus grande taille. En supposant qu'aucune matière n'est perdue lors du processus, quel sera le rayon de la nouvelle boule obtenue ? Arrondir le résultat au centième.

Un verre cylindrique de $6 \text{ cm}$ de diamètre intérieur contient de l'eau jusqu'à une hauteur de $10 \text{ cm}$. On y plonge une pierre de forme irrégulière et le niveau de l'eau monte jusqu'à $12,5 \text{ cm}$ sans déborder. Sur la figure, la ligne en pointillés marque le niveau initial de l'eau et la ligne bleue continue, le niveau final.

Quel est le volume de la pierre exprimé en centimètres cubes ?

Calculer le volume d'un solide formé d'un cylindre de $10 \text{ cm}$ de hauteur et de $4 \text{ cm}$ de rayon, surmonté d'une pyramide à base carrée dont la base est inscrite dans le cercle de base du cylindre et dont la hauteur est de $6 \text{ cm}$.

(Indice : le côté du carré de base de la pyramide est celui d'un carré inscrit dans un cercle de rayon $4 \text{ cm}$.)

Une entreprise de cosmétiques de Marseille veut commercialiser un nouveau parfum dans un flacon en forme de pyramide droite à base carrée. L'équipe de conception établit que le flacon doit contenir exactement $100\text{ mL}$ d'eau de Cologne (rempli jusqu'au sommet) et que, pour être confortable à tenir d'une main, le côté de la base carrée doit mesurer $5\text{ cm}$.

1. a) Exprimer le volume requis en centimètres cubes.
2. b) Poser une équation à partir de la formule du volume de la pyramide et calculer la hauteur intérieure que doit avoir le flacon.
3. c) Si, pour réduire les coûts, ils décident de conserver la même hauteur que celle calculée mais de remplacer le flacon pyramidal par un récipient cylindrique dont la base a un rayon égal à la moitié du côté du carré initial ($r = 2,5\text{ cm}$), aura-t-il une capacité supérieure ou inférieure à celle du flacon pyramidal ? Justifier la réponse en comparant les formules, sans calculer le volume numérique du cylindre.

Météo-France a enregistré dans une station de la Beauce une précipitation de $45\text{ mm}$ (équivalant à $45\text{ L/m}^2$) lors d'un orage d'automne. Un agriculteur a sur sa parcelle un réservoir rectangulaire pour recueillir l'eau de pluie, ouvert sur le dessus, de $4\text{ m}$ de long, $2,5\text{ m}$ de large et $1,2\text{ m}$ de profondeur, initialement vide. Juste à côté, il a un pluviomètre artisanal de forme cylindrique de $10\text{ cm}$ de diamètre intérieur et $30\text{ cm}$ de hauteur, également ouvert et vide.

1. a) Calculer combien de litres d'eau sont tombés directement dans le réservoir rectangulaire pendant l'orage.
2. b) Quelle hauteur en centimètres l'eau accumulée a-t-elle atteinte dans le réservoir rectangulaire ? Et quelle hauteur aura-t-elle atteinte à l'intérieur du pluviomètre cylindrique ? Justifier la réponse à partir de la définition des « millimètres de pluie ».
3. c) Quel pourcentage de la capacité totale du réservoir rectangulaire a été occupé par cet orage ?

Une entreprise de mobilier urbain a conçu une poubelle en béton en forme de tronc de pyramide régulière à base carrée. Les dimensions extérieures de la base supérieure sont de $40\text{ cm}$ de côté, celles de la base inférieure de $30\text{ cm}$ de côté, et la hauteur totale est de $80\text{ cm}$. Pour qu'elle soit fonctionnelle, l'intérieur est creux avec la même forme, en laissant des parois d'épaisseur constante de $5\text{ cm}$ sur les côtés et sur la base inférieure (la partie supérieure est ouverte). Calculer le volume de béton nécessaire pour fabriquer chaque poubelle en décimètres cubes ($dm^3$).

Un sculpteur souhaite créer une pièce en acier inoxydable constituée d'un cube de $20\text{ cm}$ d'arête auquel on a retiré huit tétraèdres à ses coins. Chaque tétraèdre est formé en joignant le sommet du cube aux milieux des trois arêtes issues de ce sommet (une troncature à mi-arête). Déterminer le volume final de la sculpture. Quel pourcentage du volume du cube initial a été retiré ?

On dispose d'un sablier formé de deux cônes identiques joints par leurs sommets, à l'intérieur d'un cylindre protecteur en verre. Les cônes ont un rayon de base de $6\text{ cm}$ et une hauteur de $10\text{ cm}$. Si le réservoir supérieur est rempli de sable jusqu'à la moitié de sa hauteur, calculer le volume de sable en $cm^3$. Si le sable tombe dans le réservoir inférieur à un débit constant de $5\text{ cm}^3$ par minute, combien de temps la partie supérieure mettra-t-elle à se vider ? (Penser à utiliser la réduction d'un cône pour trouver le rayon de la surface du sable.)

Une boule de plomb de rayon $10\text{ cm}$ est fondue pour fabriquer de petits cylindres de $2\text{ cm}$ de diamètre et $3\text{ cm}$ de hauteur. En supposant que $5\%$ de la matière est perdu lors de la fonte, combien de cylindres complets pourra-t-on fabriquer ? Si chaque cylindre a une masse de $107\text{ g}$, quelle est la masse volumique du plomb utilisé en $g/cm^3$ ?

Un silo à céréales a une forme composée : une partie centrale cylindrique de $12\text{ m}$ de hauteur et $4\text{ m}$ de diamètre, surmontée d'une demi-boule et prolongée en bas par un cône de vidange de $3\text{ m}$ de hauteur. Calculer la capacité totale du silo en mètres cubes. Si le silo est rempli à $85\%$ de sa capacité, combien de tonnes de blé contiendra-t-il si la masse volumique du blé est de $750\text{ kg/m}^3$ ?

Le principe de Cavalieri établit que si deux solides ont la même hauteur et que l'aire de leurs sections à toute hauteur est égale, alors ils ont le même volume. Utiliser cette idée pour comparer le volume d'une boule de rayon $R$ avec le volume compris entre un cylindre de rayon $R$ et de hauteur $2R$ et un double cône inscrit dans celui-ci. Démontrer mathématiquement que le volume de la boule est bien $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ en calculant d'abord le volume du cylindre et en lui retranchant celui des deux cônes.

Un flacon de parfum a la forme d'un octaèdre régulier de $6\text{ cm}$ d'arête. Cependant, le verre a une épaisseur de $2\text{ mm}$ sur toutes ses faces. Le fabricant affirme que le flacon peut contenir $80\text{ ml}$ de parfum ($1\text{ ml} = 1\text{ cm}^3$). Effectuer les calculs nécessaires pour vérifier si cette affirmation est vraie. (Donnée : le volume d'un octaèdre d'arête $a$ est $V = \frac{\sqrt{2}}{3} a^3$. Il faudra considérer comment l'épaisseur modifie l'arête de la cavité intérieure.)

On souhaite plonger une pièce métallique en forme de pyramide régulière à base hexagonale dans un récipient cylindrique de rayon $15\text{ cm}$ contenant de l'eau. La pyramide a une arête de base de $10\text{ cm}$ et une arête latérale de $20\text{ cm}$. Lorsque la pièce est complètement immergée, de combien de millimètres le niveau de l'eau monte-t-il dans le récipient ? (Penser à calculer d'abord la hauteur de la pyramide en utilisant deux fois le théorème de Pythagore.)

Pour réaménager une place piétonne à Bordeaux, on prévoit des jardinières pleines en béton. Chaque pièce extérieure est un prisme droit à base carrée de $80\text{ cm}$ de côté et de $60\text{ cm}$ de hauteur. Sur la face supérieure, on creuse une cavité en demi-boule de rayon $30\text{ cm}$ pour y déposer la terre des plantes. Deux chefs de chantier proposent des méthodes différentes pour commander le volume total de béton pour 10 jardinières :

• Méthode A : Calculer le volume du prisme plein, calculer le volume de la demi-boule retirée, soustraire les deux volumes pour une jardinière et multiplier le résultat par 10.

• Méthode B : Approcher la demi-boule par un cylindre de rayon $30\text{ cm}$ et de profondeur $30\text{ cm}$, et décomposer le béton en quatre prismes rectangulaires latéraux autour de la cavité plus un prisme à base carrée inférieur comme socle.

1. a) Analyser la pertinence mathématique des deux méthodes. Laquelle des deux méthodes est exacte et laquelle introduit une erreur d'approximation sur le volume de béton ? Justifier pourquoi la méthode écartée n'est pas rigoureuse.
2. b) En suivant la méthode appropriée, calculer le volume total de béton nécessaire pour fabriquer les 10 jardinières (en $\text{m}^3$, en arrondissant à deux décimales).
3. c) Sachant que la masse volumique du béton utilisé est de $2\,400\text{ kg/m}^3$, déterminer si un camion de charge utile maximale $7\,500\text{ kg}$ pourra transporter les 10 jardinières en un seul voyage ou s'il dépassera la limite autorisée. Justifier par des calculs.

Dans un laboratoire de sciences d'un lycée, on veut déterminer expérimentalement le volume corporel d'un élève pour estimer sa composition corporelle, en appliquant le principe d'immersion dans l'eau. On utilise un réservoir cylindrique de $1\text{ m}$ de diamètre intérieur partiellement rempli d'eau.

1. a) Lorsque l'élève s'immerge complètement dans l'eau (tête comprise, après avoir expulsé l'air de ses poumons), le niveau de l'eau dans le réservoir monte d'exactement $8,5\text{ cm}$. Modéliser mathématiquement la situation et calculer le volume du corps de l'élève en décimètres cubes (litres), en prenant $\pi \approx 3,14$.
2. b) Si la masse de l'élève est de $68\text{ kg}$, calculer sa masse volumique moyenne globale en $\text{kg/L}$. Sachant que le tissu musculaire et osseux a une masse volumique moyenne d'environ $1,1\text{ kg/L}$ et le tissu adipeux de $0,9\text{ kg/L}$, justifier si la valeur obtenue est physiologiquement cohérente et expliquer si cet élève, les poumons vides, aurait tendance à flotter ou à couler dans l'eau douce (masse volumique de l'eau : $1\text{ kg/L}$).
3. c) Poser et résoudre le problème inverse : si l'on plonge dans le même réservoir cylindrique un haltère en fer plein dont le volume est de $4,5\text{ dm}^3$, de combien de millimètres le niveau de l'eau augmentera-t-il ? Arrondir à une décimale.