Exercices: Solides de révolution

Imaginer que vous êtes graphiste et que vous créez un logo en 3D. Pour cela, vous faites tourner un rectangle de $5 \text{ cm}$ de base et $12 \text{ cm}$ de hauteur autour de l'un de ses plus grands côtés (le côté de $12 \text{ cm}$), comme le montre la figure.

1. a) Dessiner le solide de révolution obtenu.

1. b) Identifier le nom de ses éléments principaux (base et hauteur) et indiquer la mesure de chacun.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Pour une fête déguisée, vous voulez fabriquer un chapeau conique. Vous avez mesuré le rayon de la base, qui est de $9 \text{ cm}$, et la hauteur du chapeau, qui sera de $12 \text{ cm}$. Utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur de la génératrice ($g$) dont vous aurez besoin pour tracer le patron sur le carton.

Une célèbre marque de chips utilise des boîtes cylindriques. Si le rayon de la base de la boîte est de $4 \text{ cm}$ et sa hauteur de $20 \text{ cm}$, calculer l'aire de l'étiquette en papier qui entoure latéralement la boîte (aire latérale). Prendre $\pi \approx 3,14$.

Un ballon de basket a un diamètre de $24 \text{ cm}$. Quelle est la surface totale de cuir nécessaire pour le fabriquer ? Rappel : le rayon est la moitié du diamètre ; utiliser la formule de l'aire de la sphère $A = 4 \cdot \pi \cdot r^2$. (Utiliser $\pi \approx 3,14$.)

Une canette de soda a une forme cylindrique. Le rayon de sa base mesure $3 \text{ cm}$ et sa hauteur est de $12 \text{ cm}$. Calculer le volume de boisson qu'elle peut contenir si elle est entièrement remplie. Exprimer le résultat en centimètres cubes ($cm^3$).

Observer les trois figures planes A, B et C. Chacune effectue un tour complet autour de l'axe en pointillés dessiné. Identifier laquelle donne un tronc de cône. Expliquer brièvement pourquoi vous avez choisi cette option.

Un cornet de glace a la forme d'un cône. Si l'aire de la base est de $25 \text{ cm}^2$ et la hauteur du cornet de $10 \text{ cm}$, calculer son volume. Rappel : le volume d'un cône est le tiers du volume d'un cylindre de même base et de même hauteur : $V = \frac{1}{3} \cdot A_{base} \cdot h$.

Dans un cours de géographie, on observe un globe terrestre. Si l'on sait que la longueur de l'équateur (grand cercle) est d'environ $62,8 \text{ cm}$, quel est le rayon de cette sphère ? (Utiliser $\pi \approx 3,14$.)

Marc conçoit un chapeau de fête en forme de cône pour l'anniversaire de sa sœur. Dans son carnet, il note : « Le rayon de la base circulaire est $r = 5\text{ cm}$ et la hauteur du chapeau est $h = 12\text{ cm}$. Donc, pour tracer le patron en carton, il faut que la génératrice mesure exactement $g = 5 + 12 = 17\text{ cm}$, puisque la génératrice relie le bord de la base à la pointe du cône en additionnant les deux distances ».\n\na) Expliquer en justifiant quelle erreur conceptuelle Marc a commise sur la géométrie interne du cône. Quelle figure plane relie réellement $r$, $h$ et $g$ ?\nb) Corriger son calcul en déterminant la longueur réelle de la génératrice $g$ du chapeau.

Une fromagerie artisanale de l'Aveyron fabrique des fromages en forme de cylindre droit. Chaque pièce entière a un diamètre de $20\text{ cm}$ (rayon $r = 10\text{ cm}$) et une hauteur de $8\text{ cm}$. Pour préparer une dégustation, le maître fromager effectue une coupe plane nette et verticale qui passe de haut en bas exactement par le centre des bases.\n\na) Avant tout calcul numérique, estimer quelle figure plane apparaîtra sur la surface de coupe et si son aire sera supérieure, inférieure ou égale à $100\text{ cm}^2$. Justifier la prévision à vue à partir des dimensions données.\nb) Calculer avec exactitude les mesures des côtés de cette section plane et son aire réelle. Vérifier si l'estimation était juste et expliquer pourquoi une coupe perpendiculaire aux bases passant par l'axe donne toujours cette figure géométrique.

Une entreprise de boissons gazeuses veut concevoir une nouvelle canette cylindrique. Le rayon de la base doit être de $3,5\text{ cm}$ et la hauteur de la canette de $12\text{ cm}$. Calculer l'aire totale de métal nécessaire pour fabriquer une canette (sans compter les languettes de fermeture) et le volume de boisson qu'elle peut contenir en millilitres ($1\text{ cm}^3 = 1\text{ ml}$).

On fabrique un chapiteau provisoire pour un événement, en forme de cône parfait. La hauteur du chapiteau, du sol au sommet, est de $4\text{ m}$ et le diamètre de la base circulaire est de $6\text{ m}$. Combien de mètres carrés de toile a-t-il fallu pour recouvrir uniquement la partie latérale du chapiteau ? (Indication : il faut d'abord trouver la génératrice avec le théorème de Pythagore.)

Une célèbre marque de chocolats vend ses bonbons dans une boîte en forme de sphère de $10\text{ cm}$ de diamètre. Si la boîte est remplie à $75\%$ de sa capacité avec du chocolat liquide, combien de centimètres cubes de chocolat contient-elle ? Exprimer le résultat en arrondissant au centième.

Calculer le volume d'une pièce de bois formée en assemblant un cylindre et une demi-boule. Le cylindre a une hauteur de $10\text{ cm}$ et le rayon de sa base est de $4\text{ cm}$. La demi-boule repose exactement sur la base supérieure du cylindre.

Un cornet de glace a la forme d'un cône. Le cornet a une profondeur (hauteur) de $12\text{ cm}$ et le rayon de l'ouverture est de $3\text{ cm}$. Si la glace remplit l'intérieur du cornet et qu'une boule parfaite dépasse en haut, avec le même rayon que le cône, calculer le volume total de glace.

Observer le patron d'un cylindre. On sait que l'aire d'une de ses bases circulaires est de $28,26\text{ cm}^2$ et que la hauteur du rectangle latéral est de $10\text{ cm}$. Calculer :

1. a) Le rayon de la base.
2. b) L'aire latérale du cylindre.
3. c) L'aire totale.

(Utiliser $\pi \approx 3,14$.)

Un réservoir d'eau a la forme d'un cylindre de hauteur $5\text{ m}$. Si l'on veut que le réservoir ait une contenance de $100\,000\text{ litres}$, quel doit être le rayon de sa base ? (Rappel : $1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ litres}$.) Arrondir le rayon au centième.

On coupe une boule de bois de $13\text{ cm}$ de rayon par un plan horizontal. Si la distance du centre de la boule au plan de coupe est de $5\text{ cm}$, quel est le rayon du disque formé par la section ? (Appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ainsi formé.)

Dans un cours d'arts plastiques, on modèle des solides de révolution en argile. En coupant un cône de révolution avec un fil tendu, par un plan de coupe vertical passant par son sommet et partageant la base circulaire en deux moitiés symétriques, la surface de coupe visible est un triangle isocèle d'aire $120\text{ cm}^2$ dont la base mesure $16\text{ cm}$.\n\na) Reconstituer les dimensions du cône d'origine : déduire en justifiant les mesures du rayon $r$ de sa base et de sa hauteur $h$, en expliquant à quel élément du cône correspond chaque côté et chaque dimension du triangle observé.\nb) Calculer la mesure exacte de la génératrice $g$ de ce cône.

Météo-France utilise dans beaucoup de ses stations des pluviomètres munis d'un entonnoir collecteur conique pour recueillir l'eau de pluie. L'ouverture circulaire supérieure de l'entonnoir a un diamètre de $24\text{ cm}$ (rayon $r = 12\text{ cm}$) et sa génératrice mesure $15\text{ cm}$.\n\na) Modéliser la section verticale de l'entonnoir en identifiant le triangle rectangle caractéristique et calculer la profondeur totale (hauteur $h$) du cône.\nb) Lors d'un épisode pluvieux, l'eau accumulée remplit l'entonnoir jusqu'à une hauteur de $4,5\text{ cm}$ à partir du sommet inférieur (c'est-à-dire exactement la moitié de sa hauteur totale). Justifier géométriquement quelle figure forme la surface libre de l'eau et expliquer pourquoi son rayon doit être exactement la moitié du rayon de l'ouverture supérieure ($6\text{ cm}$).

Une entreprise de décoration d'intérieur fabrique des abat-jour en forme de tronc de cône. Le rayon de la base supérieure est de $12\text{ cm}$, celui de la base inférieure est de $20\text{ cm}$ et la hauteur de l'abat-jour est de $15\text{ cm}$. Si le tissu spécial coûte $18,50\text{ €/m}^2$, calculer le coût du tissu nécessaire pour fabriquer 25 abat-jour identiques (l'abat-jour n'a pas de bases : il s'agit uniquement de la surface latérale).

Un rouleau de compresseur en acier a la forme d'un cylindre de diamètre $1,2\text{ mètres}$ et de longueur $2,5\text{ mètres}$. L'acier a une masse volumique de $7850\text{ kg/m}^3$. Si le rouleau est creux et que l'épaisseur d'acier est de $10\text{ cm}$ sur tout son pourtour (sauf sur les faces latérales, considérées comme négligeables), calculer la masse totale du rouleau en tonnes.

On veut construire un silo à céréales constitué d'un corps cylindrique de $4\text{ m}$ de hauteur et de $3\text{ m}$ de rayon, prolongé dans sa partie inférieure par un cône de même rayon et de génératrice $5\text{ m}$ pour faciliter la vidange. Calculer le volume total de stockage du silo et la surface totale de tôle nécessaire pour le fabriquer (en incluant le couvercle plat supérieur du cylindre).

Une boule de verre de $15\text{ cm}$ de rayon est plongée dans un récipient cylindrique de $32\text{ cm}$ de diamètre contenant de l'eau. Si la boule est entièrement immergée jusqu'au fond, de combien de centimètres le niveau de l'eau montera-t-il dans le récipient ? Exprimer le résultat en arrondissant au centième.

Calculer l'aire de la surface d'un « cornet de glace » composé d'un cône de révolution de $12\text{ cm}$ de hauteur et de $5\text{ cm}$ de rayon de base, surmonté d'une demi-boule parfaite qui s'ajuste exactement à la base du cône. Si l'on veut envelopper la glace (cône et demi-sphère) dans un papier protecteur, quelle surface minimale de papier faut-il ?

Une boule de bois de $20\text{ cm}$ de rayon a été coupée par un plan situé à $12\text{ cm}$ du centre. En séparant les deux morceaux, on obtient deux calottes sphériques. Calculer l'aire totale (surface courbe plus disque plan de la coupe) de la plus petite calotte sphérique.

(Indice : utiliser le théorème de Pythagore pour trouver le rayon du disque de section.)

Un flacon de parfum a la forme d'un cylindre de $10\text{ cm}$ de hauteur. À l'intérieur, le verre a la forme d'un cône renversé qui va exactement jusqu'au fond et dont la base coïncide avec le couvercle du cylindre. Si le rayon du flacon est de $3\text{ cm}$, calculer quel pourcentage du volume total du cylindre est occupé par le parfum lorsque le flacon est plein. Ce pourcentage dépend-il du rayon et de la hauteur choisis ? Justifier la réponse.

On génère un solide de révolution en faisant tourner un triangle rectangle de côtés de l'angle droit $6\text{ cm}$ et $8\text{ cm}$ autour de son hypoténuse.

1. a) Décrire le solide obtenu (on peut le dessiner).
2. b) Calculer l'aire totale de la surface du solide engendré.

(Aide : le solide est formé de deux cônes accolés par leur base. Il faudra calculer la hauteur du triangle relative à l'hypoténuse.)

Un atelier d'usinage de précision à Nantes doit fabriquer une pièce conique en acier trempé. Le cahier des charges exige que la génératrice mesure exactement $g = 10\text{ cm}$ et que la hauteur de la pièce soit exactement le double du rayon de sa base ($h = 2\cdot r$). Pour calculer le rayon $r$ nécessaire, deux membres de l'équipe technique débattent de la méthode à suivre :\n\n- Sergio propose la méthode par tâtonnement numérique : essayer des valeurs décimales successives pour $r$ ($4,1\text{ cm}$ ; $4,2\text{ cm}$ ; $4,3\text{ cm}$...), calculer à chaque fois $h = 2\cdot r$ et vérifier avec le théorème de Pythagore laquelle donne un résultat plus proche de $g = 10\text{ cm}$.\n- Irène propose la méthode algébrique : remplacer la condition $h = 2\cdot r$ directement dans la relation de Pythagore du cône ($g^2 = r^2 + h^2$), ce qui donne une équation à une seule inconnue ($10^2 = r^2 + (2\cdot r)^2$) pour isoler $r$ directement.\n\na) Comparer en argumentant les deux méthodes : laquelle est préférable dans un contexte professionnel d'ingénierie et quelles sont les limites de l'autre méthode ?\nb) Appliquer la méthode algébrique proposée par Irène : résoudre l'équation étape par étape, déterminer le rayon $r$ arrondi au centième et calculer la hauteur $h$ de la pièce.

Sur les côtes bretonnes, on utilise des bouées de balisage sphériques dont le rayon extérieur est de $R = 50\text{ cm}$. Lorsqu'elle flotte sur l'eau par mer calme, le plan horizontal de la surface de la mer coupe la sphère selon un cercle qui délimite la ligne de flottaison. Dans des conditions normales, le centre de la bouée se trouve à une distance verticale de $30\text{ cm}$ au-dessus du niveau de l'eau.\n\na) Modéliser la situation par une coupe verticale passant par le centre de la sphère et calculer le rayon exact du cercle de flottaison que dessine l'eau sur la bouée.\nb) Au fil des mois, l'accumulation d'algues et de coquillages alourdit la bouée, qui s'enfonce davantage, de sorte que la distance verticale du centre de la bouée à l'eau passe de $30\text{ cm}$ à seulement $14\text{ cm}$. Un technicien de maintenance affirme : « Comme la distance du centre à l'eau est devenue inférieure à la moitié, le rayon du cercle de flottaison à la surface sera devenu plus que deux fois plus grand ». Démontrer algébriquement si son affirmation est vraie ou fausse en calculant le nouveau rayon, et expliquer comment évolue la taille d'une section plane d'une sphère lorsque le plan se rapproche de son centre.