Exercices: L'espace

Dans le monde de la conception de jeux vidéo, les objets sont définis par leurs dimensions. Indiquer combien de dimensions ($0$, $1$, $2$ ou $3$) ont les éléments suivants que l'on trouve dans une chambre :

1. a) Le câble d'un casque audio tendu.

1. b) L'écran plat d'un moniteur (sans compter son épaisseur).

1. c) Une boîte où l'on range les jeux de la console.

1. d) Un point lumineux au plafond.

Observer les arêtes de ce cube et déterminer la position relative (parallèles, sécantes ou non coplanaires) des paires de droites suivantes qui contiennent les arêtes :

1. a) La droite passant par les points $A$ et $B$ par rapport à celle passant par $C$ et $D$.
2. b) La droite passant par $A$ et $B$ par rapport à celle passant par $B$ et $C$.
3. c) La droite passant par $A$ et $B$ par rapport à celle passant par $G$ et $H$.

Imaginer que les murs, le sol et le plafond de votre salle de classe sont des plans. Indiquer la position relative :

1. a) du plan du sol et du plan du plafond.
2. b) du plan du mur du tableau et du plan du mur des fenêtres (qui est à côté).
3. c) d'une droite formée par l'angle entre deux murs et du plan du sol.

On sait que par deux points de l'espace passe une unique droite.

1. a) Combien de droites peuvent passer par un seul point de l'espace ?
2. b) Combien de plans peuvent contenir une seule droite ?
3. c) Combien de points non alignés faut-il au minimum pour définir un unique plan ?

Dans l'espace, il existe des droites qui ne sont pas parallèles mais qui ne se coupent jamais. Ces droites sont dites non coplanaires. Observer le dessin de la rampe de skate et donner la position relative :

1. a) du bord supérieur de la rampe ($r$) et de la ligne de la base au sol ($s$).
2. b) du bord vertical du garde-corps ($t$) et de la droite $s$.

Dessiner sur votre cahier (ou décrire) la situation d'une droite et d'un plan dans les cas suivants :

1. a) La droite est parallèle au plan (penser à un néon du plafond et au sol).
2. b) La droite est contenue dans le plan (penser à une ligne peinte sur le sol).
3. c) La droite est sécante au plan (penser à un crayon qui traverse une feuille de papier).

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

De nombreux solides sont engendrés par la rotation d'une figure plane autour d'un axe. On les appelle solides de révolution. Sur le dessin, on voit trois objets avec leur axe de rotation. Identifier quelle figure (rectangle, triangle rectangle ou demi-disque) a engendré chacun d'eux en tournant autour de cet axe :

1. a) Une canette de soda cylindrique.
2. b) Un cône de signalisation.
3. c) Une boule de pétanque.

Les solides dont toutes les faces sont des polygones sont appelés polyèdres. Dans tout polyèdre convexe, on a une relation célèbre appelée formule d'Euler : $\text{Faces} + \text{Sommets} = \text{Arêtes} + 2$.

Vérifier si cette formule est satisfaite pour un cube, sachant qu'il a $6$ faces, $8$ sommets et $12$ arêtes. Écrire le calcul.

Lucie observe la structure d'une étagère métallique dans sa salle de classe et affirme : « La barre verticale avant gauche et la barre horizontale arrière de l'étagère du haut ne se touchent nulle part ; elles sont donc forcément des droites parallèles, exactement comme les lignes que je trace sur mon cahier ». Identifier et expliquer l'erreur de raisonnement de Lucie, nommer la position relative réelle de ces deux barres dans l'espace à trois dimensions et expliquer pourquoi sa déduction aurait été correcte sur une feuille de papier en deux dimensions.

Un gymnase a une toiture en forme de prisme droit à base hexagonale régulière, dont les bases supérieure et inférieure sont des hexagones et dont les faces latérales sont des rectangles.

1. a) Avant de compter les arêtes ou d'appliquer une formule, estimer à vue, en justifiant, si ce solide aura plus d'arêtes que la somme de ses faces et de ses sommets, ou si c'est le contraire.
2. b) Compter de façon ordonnée le nombre de faces ($C$), de sommets ($V$) et d'arêtes ($A$) du prisme et vérifier si l'estimation initiale était juste grâce à la formule d'Euler ($C + V = A + 2$).
3. c) Justifier pourquoi le nombre total d'arêtes obtenu est raisonnable, en tenant compte du nombre d'arêtes de chaque base et du nombre d'arêtes verticales qui relient les deux bases.

Considérer un cube (hexaèdre régulier) de base inférieure $ABCD$ et de base supérieure $EFGH$, dont les arêtes verticales sont $AE$, $BF$, $CG$ et $DH$. Identifier les positions relatives des arêtes indiquées :

1. a) L'arête $AB$ par rapport à l'arête $EF$.
2. b) L'arête $AD$ par rapport à l'arête $CG$.
3. c) L'arête $GH$ par rapport à l'arête $AB$.

Dans la conception d'un chapiteau publicitaire en forme de prisme droit à base triangulaire, on s'intéresse à la relation entre ses plans. On considère le plan $\pi$ qui contient la base inférieure du prisme :

1. a) Indiquer quelles faces du prisme définissent des plans sécants au plan $\pi$.
2. b) Indiquer quelles arêtes du prisme sont parallèles au plan $\pi$.
3. c) Quelle figure géométrique obtient-on à l'intersection d'une face latérale avec le plan de la base ?

Un architecte conçoit un monument d'avant-garde qui est un polyèdre convexe. Pour vérifier sa structure, il doit contrôler la relation d'Euler. Le monument a $8$ faces hexagonales et $6$ faces carrées.

1. a) Calculer le nombre total d'arêtes ($A$) du polyèdre.
2. b) En utilisant la relation d'Euler, déterminer le nombre de sommets ($V$) du monument.

Imaginer que vous avez une pièce métallique plate en forme de trapèze rectangle, comme celle de la figure. Si l'on fait tourner cette figure $360^{\circ}$ autour du côté qui mesure $8$ cm (l'axe vertical) :

1. a) Quel solide de révolution est engendré ?
2. b) Dessiner schématiquement le solide obtenu en indiquant ses éléments de base (rayons et hauteur).

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Dans une pièce aux murs perpendiculaires, on considère l'un des coins du plafond comme origine. On trace une droite imaginaire qui traverse la pièce depuis ce coin jusqu'au coin opposé du sol (diagonale de la pièce) :

1. a) Quelle est la position relative de cette droite par rapport au plan du sol ?
2. b) Cette droite coupe-t-elle la droite formée par la jonction de deux murs latéraux ? Justifier la réponse.
3. c) Combien de points communs la diagonale a-t-elle avec le plan de l'un des murs ?

On coupe un cylindre droit de rayon $r = 4$ cm et de hauteur $h = 10$ cm par un plan. Décrire la figure plane obtenue si :

1. a) Le plan est parallèle aux bases du cylindre.
2. b) Le plan est perpendiculaire aux bases et passe par leurs centres.
3. c) Le plan est oblique par rapport aux bases et ne les coupe pas.

Étant donnée une pyramide régulière à base carrée, on nomme ses arêtes de base $b_1, b_2, b_3, b_4$ et ses arêtes latérales $a_1, a_2, a_3, a_4$. Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses, en justifiant :

1. a) Deux arêtes latérales quelconques sont des droites non coplanaires.
2. b) Une arête de base et l'arête latérale qui part de l'une de ses extrémités sont des droites sécantes.
3. c) Deux arêtes de base opposées sont parallèles entre elles.

Observer le patron de ce solide. Sans faire de calculs, répondre :

1. a) Quel polyèdre obtiendra-t-on en le pliant ? Le classer de façon complète.
2. b) Combien d'angles dièdres le solide aura-t-il une fois monté ?
3. c) Quel est l'ordre de chacun de ses sommets (combien de faces s'y rejoignent) ?

Au centre de contrôle aérien de la DSNA à Paris, on surveille la trajectoire de deux avions qui survolent une zone plane dont on considère le sol comme un plan horizontal $\pi$. Les trajectoires des deux avions sont rectilignes :

• Le vol A vole de façon stabilisée à une altitude constante de $9\,500\text{ m}$ en suivant un cap fixe vers le nord.

• Le vol B effectue une manœuvre de montée continue de $3\,000\text{ m}$ à $11\,000\text{ m}$ avec un cap vers l'est, en traversant ce même secteur géographique.

1. a) Modéliser la trajectoire du vol A par une droite $r$. Quelle est la position relative de la droite $r$ par rapport au plan du sol $\pi$ ? Justifier la réponse.
2. b) Lorsqu'on projette les deux routes sur l'écran plat du radar (deux dimensions), les traces se croisent en un point commun sur l'écran. Cependant, à la verticale de ce point, le vol B se trouve à $7\,000\text{ m}$ d'altitude, de sorte que les avions ne risquent jamais d'entrer en collision. Modéliser les deux routes par deux droites $r$ et $s$ dans l'espace et déterminer leur position relative réelle, en justifiant s'il existe ou non un plan commun pouvant les contenir toutes les deux.

Un atelier de design artisanal reçoit la commande d'un polyèdre fermé pour une lampe. Le client exige que la structure ait exactement $15$ arêtes ($A = 15$) et qu'il s'agisse d'un polyèdre classique (un prisme droit ou une pyramide régulière).

1. a) En appliquant la formule d'Euler ($F + S = A + 2$), écrire l'égalité numérique et déterminer la valeur exacte de la somme du nombre de faces et de sommets ($F + S$).
2. b) Si la structure était une pyramide dont la base a $n$ côtés, raisonner pour déterminer le nombre total d'arêtes en fonction de $n$. À partir de cette déduction, expliquer pourquoi il est mathématiquement impossible de construire une pyramide qui respecte la commande d'avoir exactement $15$ arêtes.
3. c) Mener la même déduction pour un prisme dont la base a $n$ côtés. Déterminer quel type de prisme respecte les conditions, en indiquant combien de faces et combien de sommets aura finalement la lampe.

Imaginer que vous concevez une structure pour un parc d'aventures. Vous avez un cube géant dont les sommets sont nommés $A, B, C, D$ (base inférieure) et $E, F, G, H$ (base supérieure, de sorte que $E$ est au-dessus de $A$, $F$ au-dessus de $B$, etc.).

On trace une droite qui passe par les milieux des arêtes $AE$ et $CG$, et une autre droite qui relie les sommets $B$ et $H$ :

1. a) Indiquer la position relative de ces deux droites dans l'espace. Justifier si elles sont sécantes, parallèles ou non coplanaires.
2. b) Si l'on trace un plan passant par les points $B$, $D$ et $H$, quel type de section (figure plane) obtient-on en coupant le cube ?
3. c) Combien d'arêtes du cube sont sécantes au plan défini par la face $ADHE$ ?

Un archéologue a trouvé une pièce de cristal en forme d'octaèdre régulier parfait. Pour la protéger, il décide de construire une boîte en bois en forme de cube qui s'ajuste exactement aux sommets de l'octaèdre.

1. a) Si chaque arête de l'octaèdre mesure $10 \text{ cm}$, calculer le nombre de faces, de sommets et d'arêtes du solide et vérifier si la relation d'Euler est satisfaite.
2. b) Expliquer en justifiant quelle relation existe entre les centres des faces du cube en bois et les sommets de l'octaèdre.
3. c) Si l'on coupe l'octaèdre par un plan parallèle à l'une de ses faces et passant exactement par le centre du solide, quel polygone obtient-on comme section ?

Dans une classe de technologie, on construit la maquette d'un immeuble moderne. La pièce centrale est un prisme droit à base hexagonale régulière. Pour lui donner une touche artistique, on veut réaliser des coupes planes avec une scie électrique.

1. a) Si le plan de coupe passe par trois sommets non consécutifs de la base supérieure, décrire la forme de la section obtenue.
2. b) Est-il possible de réaliser une coupe dont la section soit un rectangle ? Et un carré ? Décrire comment devrait être le plan dans chaque cas.
3. c) Si le prisme a $12$ arêtes de base et $6$ arêtes latérales, combien de diagonales au total (qui ne passent pas par les faces) ce polyèdre possède-t-il ?

Un fabricant de boîtes cadeaux veut créer un modèle spécial « dual ». Il fabrique d'abord un tétraèdre régulier d'arête $L$. Puis il relie entre eux les milieux de toutes les arêtes du tétraèdre.

1. a) Quel polyèdre se forme à l'intérieur en reliant ces milieux ?
2. b) Calculer le nombre de faces, de sommets et d'arêtes du nouveau polyèdre obtenu.
3. c) Si le tétraèdre d'origine vérifie la relation d'Euler ($C + V = A + 2$), démontrer si le polyèdre intérieur la vérifie aussi.

Un décorateur d'intérieur veut installer un câble de guirlande lumineuse LED qui traverse une pièce rectangulaire de $6 \text{ m}$ de long, $4 \text{ m}$ de large et $3 \text{ m}$ de haut. Le câble doit aller d'un coin du sol ($A$) jusqu'au coin opposé du plafond ($G$).

1. a) Calculer la longueur minimale du câble s'il doit être tendu à l'intérieur de la pièce (la diagonale du pavé droit).
2. b) Si le décorateur décide de faire passer le câble le long des murs (sans traverser l'air), quelle serait la plus courte distance entre ces deux mêmes points ? (Indice : penser au patron de la pièce.)
3. c) Indiquer combien d'arêtes de la pièce sont parallèles à la droite qui contient l'arête verticale où se trouve le point $A$.

Considérer un cube de fromage de $4 \text{ cm}$ de côté. On veut le couper avec un couteau très fin de sorte que la section soit un hexagone régulier.

1. a) Décrire précisément par quels points des arêtes du cube le plan doit passer pour obtenir cet hexagone.
2. b) Combien de diagonales de face le cube possède-t-il au total ? Et combien de diagonales du solide (intérieures) ?
3. c) Si l'on note $P$ le plan qui contient l'hexagone, existe-t-il une arête du cube parallèle à ce plan ou sont-elles toutes sécantes ? Justifier la réponse.

Une entreprise de logistique utilise des conteneurs en forme de prisme droit à base trapézoïdale (la base est un trapèze isocèle).

1. a) Déterminer le nombre d'angles dièdres droits de ce solide.
2. b) Si l'on prolonge les deux faces latérales non parallèles, expliquer ce qui se passerait : seraient-elles sécantes selon une droite ? Seraient-elles parallèles ? Quel solide se formerait si l'on coupait cette nouvelle structure par un plan parallèle à la base ?
3. c) Vérifier si un prisme dont les bases ont $5$ côtés (s'il s'agissait d'un prisme pentagonal irrégulier) vérifie toujours la relation d'Euler.

On étudie les positions relatives dans l'espace à l'intérieur d'un polyèdre complexe : un dodécaèdre régulier (12 faces pentagonales).

1. a) Choisir une face quelconque comme plan $\pi$. Combien de faces du dodécaèdre sont parallèles à $\pi$ ?
2. b) Combien d'arêtes du dodécaèdre sont parallèles à une arête donnée ?
3. c) Si en chaque sommet du dodécaèdre se rejoignent 3 faces et que chaque face a 5 sommets, déterminer par le calcul le nombre total de sommets du solide (en tenant compte du fait que chaque sommet est partagé).

Dans une salle d'exposition en forme de cube de sommets inférieurs $A, B, C, D$ (sol) et de sommets supérieurs $E, F, G, H$ (plafond, situés directement au-dessus de $A, B, C$ et $D$ respectivement), on installe deux câbles tendus rectilignes :

• Câble 1 : il relie le sommet $A$ au sommet supérieur opposé $G$ (diagonale principale du cube).

• Câble 2 : il relie le milieu de l'arête verticale $BF$ au milieu de l'arête verticale $DH$.

Pour savoir si les deux câbles se touchent au centre de la salle ou se croisent à des hauteurs différentes, deux élèves proposent des chemins différents :

• Méthode de Serge : chercher s'il existe un plan diagonal qui contient les quatre points extrêmes ($A, G$, et les milieux de $BF$ et $DH$). Si ce plan existe et que les droites ne sont pas parallèles, alors elles sont sécantes.

• Méthode d'Irène : déterminer la position du milieu du câble 1 et du câble 2 par rapport au sol et aux murs, en vérifiant si les deux segments ont exactement le même point central selon les trois dimensions de l'espace.

1. a) Comparer les deux méthodes : expliquer laquelle vous semble la plus claire et la plus directe pour justifier le résultat sans commettre d'erreurs de perception visuelle.
2. b) Appliquer la méthode que vous avez jugée meilleure pour conclure, en justifiant, si les deux câbles sont sécants (ils se coupent en un point) ou non coplanaires.

Les tours KIO de Madrid sont connues pour être des immeubles en forme de prisme dont les faces latérales sont inclinées par rapport au sol horizontal (plan $\pi$). Considérer l'une des façades inclinées de la tour, que l'on appelle plan $\alpha$.

1. a) Déterminer la position relative entre le plan de la façade $\alpha$ et le plan du sol $\pi$. Si l'on prolongeait indéfiniment ces deux plans dans l'espace, quelle serait la figure géométrique de leur intersection ?
2. b) Sur une maquette polyédrique de la tour partant d'un prisme quadrangulaire fermé ($6$ faces, $8$ sommets et $12$ arêtes), un maquettiste décide de tronquer (couper) l'un des coins supérieurs par une coupe plane qui passe près d'un sommet sans toucher aucun des sept autres sommets d'origine, supprimant ce coin et créant à sa place une nouvelle face plane triangulaire.

Calculer en justifiant le nombre de faces ($C'$), de sommets ($V'$) et d'arêtes ($A'$) de la maquette après cette coupe.

1. c) Vérifier si le nouveau solide modifié vérifie toujours la relation d'Euler ($C' + V' = A' + 2$) et justifier mathématiquement pourquoi couper un coin de cette façon ne change pas l'égalité.