Exercices: Fréquence et probabilité expérimentale

On a lancé un dé $50$ fois et le $6$ est sorti $8$ fois.

a) Calculer la fréquence de l'événement « obtenir $6$ ».

b) La comparer à la probabilité théorique $\frac{1}{6}$. Le résultat vous semble-t-il raisonnable ?

On a fait tourner $40$ fois l'aiguille d'une roue de $4$ couleurs et on a obtenu ces résultats : rouge $12$ fois, bleu $10$, vert $8$ et jaune $10$.

a) Dresser un tableau avec les effectifs et les fréquences de chaque couleur.

b) Quelle couleur est sortie avec la plus grande fréquence ?

En lançant une pièce $200$ fois, on a obtenu $98$ « face ».

a) Calculer la fréquence de l'événement « face ».

b) Soupçonneriez-vous que la pièce est truquée ? Pourquoi ?

Dans une classe de $30$ élèves, $12$ viennent au collège à vélo ou en trottinette.

a) Quelle est la fréquence de cet événement dans la classe ?

b) Si le collège compte $600$ élèves, combien attendriez-vous qu'il en vienne à vélo ou en trottinette ? Est-ce la valeur exacte ou seulement une estimation ? Pourquoi ?

Marcos lance un dé cubique classique de $6$ faces un total de $12$ fois pour vérifier s'il est truqué. Il obtient le numéro $5$ à $4$ reprises. Après l'expérience, Marcos affirme : « La fréquence d'obtenir un $5$ est $4/12 = 1/3 \approx 0,33$. Comme la probabilité théorique est $1/6 \approx 0,17$, le dé est clairement truqué. De plus, au prochain lancer, il est presque impossible que le $5$ sorte de nouveau, parce qu'il est déjà sorti trop souvent ».\n\na) Identifier les deux erreurs de raisonnement probabiliste que commet Marcos et expliquer pourquoi elles sont incorrectes.\n\nb) Pourquoi une série de seulement $12$ lancers ne permet-elle pas d'affirmer si le dé est truqué ou non ?\n\nc) Si le dé était équilibré et qu'on le lançait $1\,200$ fois, autour de quelle valeur attendriez-vous que se stabilise la fréquence d'obtenir un $5$ et combien de fois ce numéro sortirait-il environ ?

Dans un stand de kermesse caritative, il y a une urne opaque contenant des tickets gagnants et des tickets perdants. Après avoir ouvert les $50$ premiers tickets de l'après-midi, la fréquence de tickets gagnants a été exactement de $0,14$.\n\na) Combien de tickets gagnants sont sortis lors de ces $50$ premiers tirages ?\n\nb) L'organisation ajoute de nouveaux tickets et se fixe pour objectif qu'à la fin des $150$ tirages suivants (pour un total cumulé de $200$ tickets joués), la fréquence totale de gagnants monte exactement jusqu'à $0,20$. Combien de tickets gagnants devraient obligatoirement sortir lors de cette seconde série de $150$ tirages ?\n\nc) Expliquer pourquoi, même si l'organisation a conçu l'urne dans cette intention, le caractère aléatoire du tirage ne permet pas d'assurer à $100\,\%$ que, dans la seconde série, il sortira exactement ce nombre calculé.

On lance un dé de plus en plus de fois et on note la fréquence de l'événement « obtenir $4$ » : avec $10$ lancers on obtient $0,2$ ; avec $50$, $0,18$ ; avec $100$, $0,16$ ; avec $500$, $0,164$ ; avec $1\,000$, $0,167$.

a) Vers quelle valeur la fréquence semble-t-elle se stabiliser ?

b) Quel lien y a-t-il entre cette valeur et l'équiprobabilité ?

c) Combien de « quatre » attendriez-vous en $6\,000$ lancers ?

Une usine de chaussons contrôle $400$ paires chaque jour et note celles qui présentent un défaut : lundi $8$, mardi $5$, mercredi $10$, jeudi $6$ et vendredi $11$.

a) Calculer la fréquence de paires défectueuses de chaque jour.

b) Calculer la fréquence de paires défectueuses pour toute la semaine.

c) Si on choisit au hasard une paire fabriquée cette semaine-là, quelle probabilité estimeriez-vous qu'elle soit défectueuse ?

Le graphique montre la fréquence de « face » lorsqu'on lance une pièce un nombre croissant de fois.

a) Lire sur le graphique la fréquence après $80$ lancers.

b) Vers quelle valeur la fréquence semble-t-elle se stabiliser ?

c) Pensez-vous que la pièce soit truquée ? Justifier votre réponse.

Un osselet (os d'agneau qu'on utilisait comme dé) a été lancé $600$ fois et est tombé avec la face lisse vers le haut $264$ fois.

a) Quelle probabilité expérimentale attribueriez-vous à ce résultat ?

b) Expliquer pourquoi, dans cette expérience, on ne peut pas appliquer l'équiprobabilité.

c) Combien de fois attendriez-vous qu'il tombe ainsi lors des $150$ prochains lancers ?

Un professeur demande de faire tourner $360$ fois une roue à trois secteurs : rouge ($180º$), bleu ($90º$) et vert ($90º$). Trois élèves rendent ces résultats :

a) Calculer la fréquence de chaque couleur dans les trois tableaux.

b) Quelles seraient les fréquences attendues d'après les probabilités théoriques ?

c) Deux des élèves ont triché. Lesquels et pourquoi ?

On lance $100$ fois le couvercle d'un pot et il tombe avec la partie supérieure vers le haut $64$ fois.

a) Estimer la probabilité qu'il tombe face vers le haut.

b) Et qu'il tombe face vers le bas ?

c) Si on le lance $500$ fois de plus, combien de fois peut-on s'attendre à ce qu'il tombe face vers le haut ?

d) Pourquoi ne peut-on pas utiliser l'équiprobabilité avec le couvercle ?

Le graphique montre la fréquence de « face » sur $500$ lancers d'une pièce.

a) Vers quelle valeur la fréquence se stabilise-t-elle ?

b) La pièce est-elle truquée ? Pourquoi ?

c) Combien de « face » attendriez-vous si on la lançait $1\,000$ fois de plus ?

Une joueuse de basket a un pourcentage historique de $80\%$ aux lancers francs. Lors du dernier match, elle n'en a réussi que $3$ sur $5$. Son entraîneuse commente : « Aujourd'hui sa probabilité de réussite a baissé ».

a) Êtes-vous d'accord avec l'entraîneuse ? Justifier la réponse en distinguant probabilité et fréquence sur un petit nombre de répétitions.

b) À quoi vous attendriez-vous si elle tirait $100$ lancers francs lors des prochains entraînements ?

Pendant les entraînements du mois, Lucie a tiré $80$ lancers francs et en a réussi $68$.\n\na) Sans faire de divisions écrites ni utiliser la calculatrice, estimer de façon raisonnée si sa fréquence de réussite est plus proche de $70\,\%$, de $85\,\%$ ou de $95\,\%$. Expliquer ce sur quoi vous vous appuyez mentalement pour faire votre estimation.\n\nb) Calculer la valeur exacte de la fréquence de réussite sous forme de fraction irréductible, de nombre décimal et de pourcentage. Vérifier si votre estimation de la question précédente était juste.\n\nc) Lors du match suivant, Lucie tire ses $4$ premiers lancers francs et en manque $4$. Un spectateur affirme : « Lucie a perdu son adresse ; sa probabilité de marquer s'est effondrée ». En vous appuyant sur le lien entre la taille de l'échantillon et la stabilité des fréquences, expliquer pourquoi la conclusion du spectateur n'a aucun fondement mathématique.

Une station de Météo-France située dans une localité côtière a relevé le temps quotidien au mois d'octobre au cours des $20$ dernières années, accumulant une série historique de $620$ jours d'octobre. Dans ce relevé, des précipitations notables ont été comptabilisées lors de $217$ de ces journées.\n\na) Modéliser la probabilité qu'il pleuve un jour quelconque d'octobre dans cette localité à partir de sa fréquence historique. Exprimer le résultat sous forme de fraction irréductible, de nombre décimal et de pourcentage.\n\nb) Les $4$ premiers jours d'octobre de cette année ont été complètement secs et dégagés. Un voisin affirme : « Demain, le 5, il va pleuvoir à coup sûr pour compenser, parce que la probabilité de pluie est élevée ». Examiner de façon critique si cette affirmation est valide du point de vue du hasard.\n\nc) Si le mois d'octobre compte $31$ jours, combien de jours de pluie attendrait-on théoriquement sur tout le mois d'après votre modèle ? Cela signifie-t-il que, chaque année, il pleuvra obligatoirement ce nombre de jours ? Justifier votre réponse en utilisant le concept de fluctuation d'échantillonnage.

On soupçonne qu'un dé est truqué et on le lance $600$ fois. Le $6$ sort $168$ fois.

a) Calculer la fréquence de l'événement « obtenir $6$ ».

b) Quelle fréquence attendriez-vous si le dé était équilibré ?

c) Concluriez-vous que le dé est truqué ? Pourquoi ?

d) Si on continue à le lancer $300$ fois de plus, combien de « six » attendriez-vous, d'après votre conclusion ?

Un supermarché possède une machine de consigne des emballages qui, en moyenne, ne devrait pas rejeter plus de $2\%$ des emballages valides. Pendant une semaine, on enregistre ces données :

a) Calculer la fréquence de rejet de chaque jour, en arrondissant au millième.

b) Calculer la fréquence de rejet pour toute la semaine.

c) Le responsable doit décider s'il appelle le service technique. Que lui conseillez-vous ? Justifier la décision à l'aide des données.

Après avoir lancé une pièce $4$ fois et obtenu $3$ « face », Omar affirme : « La probabilité d'obtenir face avec cette pièce est $0,75$ ».

a) Expliquer l'erreur de son affirmation.

b) Que devrait faire Omar pour estimer la probabilité de façon fiable ?

c) Si la pièce est équilibrée, vers quelle valeur se rapprochera la fréquence de « face » quand le nombre de lancers augmente ?

Deux équipes de la classe estiment expérimentalement la probabilité d'obtenir une somme $7$ en lançant deux dés. L'équipe A lance $30$ fois et obtient cet événement $6$ fois ; l'équipe B lance $300$ fois et l'obtient $50$ fois.

a) Calculer les fréquences des deux équipes.

b) Calculer la probabilité théorique de « somme $7$ » en utilisant l'équiprobabilité.

c) Quelle estimation est la plus fiable ? Pourquoi ?

Au laboratoire de mathématiques de 5e, deux défis sont proposés :\n- Défi 1 : Déterminer la probabilité qu'une punaise tombe « pointe en l'air » lorsqu'on la lance sur une table.\n- Défi 2 : Déterminer la probabilité d'obtenir une somme égale à $7$ en lançant simultanément deux dés cubiques standard numérotés de $1$ à $6$.\n\nPour les résoudre, deux groupes proposent des méthodes différentes :\n- Méthode A (théorique / équiprobabilité) : Écrire l'univers, compter les cas favorables et les cas possibles, puis diviser le nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles.\n- Méthode B (expérimentale / fréquences) : Lancer l'objet $1\,000$ fois, noter combien de fois l'événement se réalise et calculer le quotient $f/N$.\n\na) Pour le Défi 1, choisir laquelle des deux méthodes est la seule adaptée et justifier rigoureusement pourquoi l'autre méthode conduirait à un résultat faux.\n\nb) Pour le Défi 2, analyser la validité des deux méthodes. Laquelle choisiriez-vous parce qu'elle est exacte et efficace sans avoir besoin d'effectuer de lancers réels ? Justifier votre réponse en expliquant pourquoi, dans ce cas, l'équiprobabilité est bien applicable.\n\nc) Rédiger une conclusion générale qui serve de guide à vos camarades pour savoir dans quelles situations de la vie réelle il est strictement obligatoire de recourir à la probabilité expérimentale et dans lesquelles le calcul théorique est préférable.

La Sécurité routière effectue des contrôles préventifs de contrôle technique sur des camionnettes de livraison. On dispose des données de deux contrôles indépendants dans la même zone :\n- Échantillon A (contrôle rapide dans une zone industrielle) : $50$ camionnettes ont été inspectées et $8$ avaient un contrôle technique expiré.\n- Échantillon B (campagne intensive dans la zone) : $1\,200$ camionnettes ont été inspectées et $132$ avaient un contrôle technique expiré.\n\na) Calculer la fréquence (en pourcentage) de camionnettes avec un contrôle technique expiré dans l'échantillon A, dans l'échantillon B et dans l'ensemble des deux échantillons regroupés ($1\,250$ camionnettes au total).\n\nb) Un rapport préliminaire affirme que dans la zone industrielle (échantillon A) le problème du contrôle technique est bien plus grave car la proportion obtenue est de $16\,\%$, alors que dans la zone (échantillon B) elle n'est que de $11\,\%$. En utilisant la loi des grands nombres et l'influence des fluctuations aléatoires sur les petits échantillons, réfuter cet argument et expliquer pourquoi on ne peut pas affirmer une telle différence.\n\nc) Si le registre départemental recense $35\,000$ camionnettes de livraison en activité, laquelle des trois fréquences de la question a) fournit l'estimation la plus fiable et la plus rigoureuse du nombre total de camionnettes circulant avec un contrôle technique expiré ? Justifier votre choix et calculer combien de camionnettes en infraction seraient estimées dans tout le département avec cette valeur.