Exercices: Problèmes de mobiles

Un guépard court à une vitesse constante de $108$ km/h en poursuivant sa proie. Combien de secondes mettra-t-il pour parcourir une distance de $300$ m ?

Un TGV circule à une vitesse moyenne de $280$ km/h. Si le trajet de son point de départ à sa destination dure exactement $2$ heures et $15$ minutes, quelle distance totale le train a-t-il parcourue ?

Deux cyclistes partent en même temps de deux villes distantes de $90$ km, sur la même route, en se rapprochant l'un de l'autre. Le premier cycliste roule à $20$ km/h et le second à $25$ km/h. Au bout de combien de temps se croiseront-ils ?

Deux gares, A et B, sont reliées par une voie rectiligne de $450$ km. Un train part de A vers B à $120$ km/h et, au même moment, un autre train part de B vers A à $80$ km/h. À quelle distance de la gare A se croiseront-ils ?

Une voiture quitte une ville à une vitesse constante de $90$ km/h. Une demi-heure plus tard, une moto part à sa poursuite sur la même route à $120$ km/h. Combien de temps la moto mettra-t-elle pour rattraper la voiture ?

Un livreur quitte l'entrepôt en roulant à $100$ km/h. S'apercevant qu'il a oublié un colis urgent, un collègue part à sa poursuite depuis le même entrepôt $15$ minutes plus tard, en roulant à $120$ km/h. À quelle distance de l'entrepôt le rattrapera-t-il ?

Deux avions partent du même aéroport en même temps, mais en volant dans des sens diamétralement opposés. L'un vole à $800$ km/h et l'autre à $950$ km/h. Quelle distance les séparera au bout de $2,5$ heures de vol ?

Une camionnette de livraison parcourt $150$ km en $2$ heures, fait une pause obligatoire de $30$ minutes, puis parcourt encore $120$ km en $1,5$ heures. Quelle a été sa vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet (pause comprise) ?

Lucie effectue en voiture un aller-retour entre Toulouse et Bordeaux par l'autoroute A62, en parcourant une distance de $140\text{ km}$ à chaque trajet. À l'aller, à cause d'un épais brouillard et d'une circulation lente, elle maintient une vitesse moyenne de $70\text{ km/h}$. Au retour, la chaussée étant entièrement dégagée, elle roule à une vitesse moyenne constante de $140\text{ km/h}$. Pour calculer sa vitesse moyenne sur l'ensemble du voyage ($280\text{ km}$), Lucie effectue l'opération suivante : $\frac{70 + 140}{2} = 105\text{ km/h}$.

1. a) Expliquer en argumentant pourquoi le calcul de Lucie est incorrect, sans se contenter de dire que « ce n'est pas la bonne formule » (penser à la durée passée à chacune des deux vitesses au cours du voyage).
2. b) Calculer la durée exacte de l'aller et celle du retour, puis en déduire la vraie vitesse moyenne du voyage complet.
3. c) Pourquoi la vitesse moyenne réelle est-elle plus proche de $70\text{ km/h}$ que de $140\text{ km/h}$ ?

Vous allez traverser Paris en utilisant le service public de vélos électriques Vélib' depuis la Porte de Clignancourt jusqu'à la gare d'Austerlitz, ce qui représente une distance d'environ $6\text{ km}$. Les vélos disposent d'une assistance au pédalage qui permet de maintenir une vitesse moyenne de $15\text{ km/h}$.

1. a) Avant tout calcul avec des formules, faire une estimation intuitive : mettrez-vous plus ou moins d'une demi-heure pour effectuer le parcours ? Justifier la réponse en reliant mentalement les $6\text{ km}$ à la distance que l'on parcourrait en $60\text{ minutes}$.
2. b) Appliquer la formule du mouvement uniforme pour calculer le temps exact en heures et le convertir en minutes.
3. c) Vérifier si le résultat exact est cohérent avec l'estimation initiale et évaluer si ce temps est compétitif par rapport au même trajet en bus urbain aux heures de pointe.

Un camion de livraison part de Paris vers Lyon à 8 h 00 à une vitesse constante de $90$ km/h. À 9 h 30, une camionnette part de Lyon vers Paris à $150$ km/h. Si la distance par la route entre les deux villes est de $615$ km, à quelle heure exacte se croiseront-ils ?

Un marathonien avance à une allure constante de $15$ km/h. Un cycliste d'assistance qui roule dans la même direction à $25$ km/h se trouve à $4$ km derrière le coureur. Au bout de combien de minutes le cycliste rattrapera-t-il le coureur ?

Un bateau à moteur a une vitesse de $22$ km/h en eau calme. S'il navigue sur un fleuve dont le courant descend à $4$ km/h, quelle durée totale mettra-t-il pour effectuer un aller-retour continu entre deux ports distants de $117$ km ?

Un randonneur monte au sommet d'une montagne à une vitesse de $4$ km/h et redescend par le même chemin à $6$ km/h. S'il a marché $5$ heures au total pendant l'excursion (sans compter les pauses au sommet), quelle est la distance entre la base et le sommet ?

Pendant un violent orage d'été, vous observez l'éclair d'un coup de foudre et vous entendez le tonnerre $8$ secondes plus tard. Sachant que la vitesse de la lumière est d'environ $300\,000$ km/s et celle du son dans l'air de $340$ m/s, à quelle distance approximative, en kilomètres, la foudre est-elle tombée ?

Deux bateaux partent du même port en même temps. Le bateau A navigue en ligne droite vers le nord à une vitesse de $18$ nœuds, et le bateau B navigue vers l'est à $24$ nœuds. Quelle distance, en milles marins, les séparera au bout de $3$ heures de traversée ? (Remarque : $1$ nœud équivaut à $1$ mille marin par heure.)

Un conducteur effectue un trajet interurbain de $300$ km. Il parcourt la première moitié du trajet à une vitesse constante de $120$ km/h sur l'autoroute, et la seconde moitié à $80$ km/h sur une route nationale. Quelle a été sa vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet ?

Un train à grande vitesse de $200$ m de longueur roule à $252$ km/h. Combien de secondes mettra-t-il pour traverser entièrement un tunnel de $1,2$ km de long ? (On considère qu'il a traversé le tunnel depuis l'instant où la locomotive y entre jusqu'à l'instant où le dernier wagon en sort.)

Deux cyclotouristes, Mathis et Rose, parcourent la voie verte de la Sierra (Cadix-Séville), qui a une longueur totale de $36\text{ km}$. À $10\text{ h }00$, ils partent en même temps l'un vers l'autre depuis les extrémités opposées du parcours. Mathis pédale à une vitesse constante de $11\text{ km/h}$ et Rose à $13\text{ km/h}$. Pour calculer à quelle heure et à quelle distance du point de départ de Mathis ils se croiseront, deux procédés sont proposés :

• Méthode A (arithmétique / vitesse de rapprochement) : additionner leurs vitesses pour calculer la vitesse à laquelle la distance qui les sépare diminue ($11 + 13 = 24\text{ km/h}$) et diviser la distance totale par cette somme.

• Méthode B (algébrique) : poser une équation du premier degré en additionnant les distances parcourues par chacun et en l'égalant à la distance totale : $e_1 + e_2 = 36$, c'est-à-dire $11 \cdot t + 13 \cdot t = 36$.

1. a) Résoudre le problème avec les deux méthodes et vérifier que l'on obtient la même heure exacte de rencontre.
2. b) Expliquer pourquoi les deux méthodes sont mathématiquement équivalentes.
3. c) Imaginer que Rose crève avant de partir et part $30\text{ minutes}$ plus tard que Mathis. Justifier laquelle des deux méthodes est la plus sûre et la plus directe pour adapter le calcul à cette nouvelle situation sans se tromper dans les données.

Lors de la traditionnelle descente de la rivière Sella (Asturies), l'eau de la rivière s'écoule en continu avec une vitesse de courant de $3\text{ km/h}$. Une pagayeuse s'entraîne sur un tronçon de $12\text{ km}$ entre Arriondas et une arrivée intermédiaire.

1. a) En descendant dans le sens du courant (en aval), elle effectue le tronçon de $12\text{ km}$ en exactement $1\text{ heure}$. Modéliser la vitesse effective de descente en fonction de la vitesse propre de pagayage de la sportive ($v_p$) et calculer à quelle vitesse elle avancerait si elle pagayait sur un plan d'eau calme.
2. b) Si elle décide ensuite de remonter la rivière (contre le courant) en parcourant les mêmes $12\text{ km}$ avec cette même vitesse propre de pagayage, calculer combien de temps elle mettra pour effectuer le retour.
3. c) Si, à cause de fortes pluies, la vitesse du courant augmentait temporairement jusqu'à $9\text{ km/h}$, que se passerait-il physiquement en tentant de remonter la rivière avec son allure habituelle ? Justifier la réponse à partir des données.

Sur une piste d'athlétisme circulaire de $400$ m de longueur, deux coureurs partent du même point en même temps. Le coureur A court à $6$ m/s et le coureur B à $8$ m/s. Calculer au bout de combien de temps ils se rencontreront pour la première fois s'ils courent en sens opposés, et au bout de combien de temps ils se rencontreront s'ils courent dans le même sens.

Un rameur professionnel met $2$ heures pour parcourir $12$ km en amont en ramant contre le courant et $1$ heure pour parcourir la même distance en aval dans le sens du courant. Poser un système d'équations pour déterminer la vitesse du bateau en eau calme et la vitesse du courant de la rivière.

Un véhicule A part d'une ville à une vitesse de $v$ km/h. $h$ heures plus tard, un véhicule B part à sa poursuite depuis le même point à une vitesse de $v + k$ km/h. Exprimer littéralement le temps que met le véhicule B pour rattraper le véhicule A en fonction des paramètres $v$, $h$ et $k$.

Deux villes A et B sont distantes de $300$ km. Une voiture part de A en direction de B à $100$ km/h et une autre voiture part de B en direction de A à $80$ km/h exactement au même moment. À quels deux instants la distance qui les sépare sera-t-elle exactement de $30$ km ?

Dans un aéroport, un tapis roulant horizontal de $120$ m de longueur se déplace à $1$ m/s. Une personne marche sur le tapis à une vitesse constante $v$ par rapport au tapis lui-même. Si elle met $40$ secondes pour parcourir le tapis en marchant dans le sens du mouvement, combien de temps mettrait-elle pour le parcourir en marchant dans le sens contraire au mouvement du tapis ?

Un défilé de $3$ km de longueur avance sur une avenue à une vitesse constante de $5$ km/h. Un photographe à vélo part de la fin du cortège, avance jusqu'à la tête pour prendre quelques photos, puis revient immédiatement à la fin. Si la vitesse du vélo est de $15$ km/h, quelle distance totale le photographe a-t-il parcourue par rapport au sol ?

Dans une course de relais de $100$ km par étapes de montagne, le premier relayeur court à $12$ km/h et passe le témoin au second relayeur, qui court à $16$ km/h jusqu'à l'arrivée. Si le temps total de la course a été de $7$ heures sans interruption, quelle distance en kilomètres chacun des deux relayeurs a-t-il parcourue ?

Deux mobiles se déplacent à vitesse constante sur un circuit. S'ils se déplacent dans la même direction et le même sens, le plus rapide rattrape le plus lent toutes les $20$ secondes. S'ils se déplacent en sens opposés, ils se croisent toutes les $4$ secondes. Sachant que la piste est circulaire et mesure $100$ m, calculer la vitesse en m/s de chacun des mobiles.

Dans la salle technique de supervision de la SNCF, on surveille le croisement de deux trains qui circulent sur une ligne ferroviaire de $450\text{ km}$ entre Bordeaux et Paris. Le système informatique de contrôle pose l'équation suivante pour déterminer le moment du croisement :

$v \cdot 2 + (v + 25) \cdot 2 = 450$

1. a) Interpréter mathématiquement chacun des éléments de l'équation et rédiger un énoncé de problème cohérent et complet qui conduise exactement à cette expression (vous devez définir clairement quelle grandeur représente l'inconnue $v$, ce que signifie le terme $(v + 25)$, ce que représente le nombre $2$ et ce que signifie la somme égalée à $450$).
2. b) Résoudre l'équation, calculer la vitesse moyenne de chacun des deux trains et déterminer à quelle distance de Bordeaux a lieu le croisement si le train qui roule à la vitesse $v$ est parti de cette ville.
3. c) Modifier l'équation initiale pour représenter une situation différente : les deux trains gardent les vitesses calculées, mais le second train est en retard et part $20\text{ minutes}$ après le premier.

La Sécurité routière a installé un radar tronçon sur l'autoroute A6 dans les Alpes. Le tronçon surveillé mesure exactement $8\text{ km}$ et la vitesse maximale autorisée est de $100\text{ km/h}$. Un véhicule entre dans ce tronçon à $15:00:00\text{ h}$ et parcourt les $5\text{ km}$ premiers à une vitesse constante de $125\text{ km/h}$. À ce point, le conducteur remarque la présence du contrôle et réduit immédiatement sa vitesse, qu'il maintient constante pendant les $3\text{ km}$ restants.

1. a) Déterminer le temps minimal exigé par la loi pour parcourir les $8\text{ km}$ complets du tronçon sans être sanctionné (l'exprimer en minutes et secondes) et calculer combien de temps le conducteur a déjà consommé sur les $5\text{ km}$ premiers.
2. b) Modéliser et calculer la vitesse maximale constante à laquelle il peut parcourir les $3\text{ km}$ restants pour que la vitesse moyenne sur l'ensemble du tronçon ne dépasse pas $100\text{ km/h}$. Lui suffirait-il de réduire sa vitesse à exactement $100\text{ km/h}$ ? Justifier votre réponse.
3. c) Si, pendant ces $3\text{ km}$ derniers, il roule à $75\text{ km/h}$, à quelle heure exacte (heures, minutes et secondes) la caméra de sortie enregistrera-t-elle son passage ? Conclure, en comparant les temps, s'il sera sanctionné ou non.