Exercices: Polynômes

Dans le monde des jeux vidéo, le système de score d'un nouveau jeu de plateformes fonctionne ainsi : pour chaque pièce d'or ramassée, vous recevez un nombre de points inconnu $x$, mais pour chaque ennemi vaincu, vous recevez le triple de points d'une pièce. À la fin du niveau, on vous donne toujours un bonus fixe de $50$ points d'expérience.

Écrire l'expression littérale qui représente le score total d'un joueur ayant obtenu $12$ pièces et vaincu $4$ ennemis.

Recopier et compléter le tableau suivant dans votre cahier pour identifier les éléments fondamentaux de ces monômes :

Pour pouvoir additionner ou soustraire des monômes, ceux-ci doivent être semblables. Parmi la liste suivante, sélectionner ceux qui sont semblables au monôme $5x^2y$ :

• $5xy^2$

• $-x^2y$

• $2x^2$

• $\frac{1}{2}x^2y$

• $5x^2y^2$

Un livreur de pizzas touche un salaire fixe de $15$ euros par soirée de travail, plus un supplément de $3$ euros par commande livrée à domicile. L'expression qui donne son gain est $G = 15 + 3x$, où $x$ est le nombre de commandes.

Calculer la valeur numérique de son gain (ce qu'il touchera au total) s'il livre $8$ commandes un soir.

Analyser le polynôme suivant et répondre aux questions :

$P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 8$

1. a) Quel est le degré du polynôme ?
2. b) Comment s'appelle le terme qui ne contient pas de variable (le $-8$) ?
3. c) Combien de termes comporte-t-il ? Selon le nombre de termes, est-ce un monôme, un binôme ou un trinôme ?
4. d) Quel est le coefficient du terme de plus haut degré ?

Déterminer l'expression littérale simplifiée qui représente le périmètre du cadre rectangulaire pour photographies suivant :

Pour les polynômes suivants, calculer la somme $A(x) + B(x)$ et réduire les termes semblables :

$A(x) = 4x^2 - 5x + 3$

$B(x) = x^2 + 2x - 7$

Les identités remarquables permettent de calculer rapidement certaines puissances. Utiliser la formule du carré d'une somme $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ pour développer l'expression suivante :

$(x + 2)^2$

Marc doit calculer la valeur numérique du polynôme $P(x) = 3x^2 - 4x + 5$ pour $x = -2$. Dans son cahier, il écrit la résolution suivante :

À la fin, Marc ajoute : « De plus, c'est un polynôme incomplet car il n'a pas de terme en $x^3$ ».

1. a) Repérer et expliquer en détail les deux erreurs commises par Marc (une erreur de calcul sur les puissances ou les signes et une erreur conceptuelle dans la classification du polynôme).
2. b) Effectuer le calcul correct pour déterminer $P(-2)$ et classer le polynôme en indiquant son degré, s'il est complet ou incomplet, son coefficient dominant et son terme constant.

Concevoir un polynôme $P(x)$ qui vérifie simultanément les quatre conditions suivantes :

1. Son degré est $3$.

2. C'est un polynôme incomplet et il ne contient pas de terme de degré $1$.

3. Son coefficient dominant est $-2$.

4. Son terme constant est $16$.

Une fois votre polynôme écrit :

1. a) Vérifier si le nombre $x = 2$ est une racine de votre polynôme en calculant sa valeur numérique $P(2)$ et en justifiant votre conclusion à partir de la définition d'une racine.
2. b) Sans effectuer de longues substitutions numériques, expliquer pourquoi il est impossible que le nombre $x = 0$ soit une racine de ce polynôme en vous appuyant sur la valeur de son terme constant.

Dans un magasin d'électronique, le prix d'un smartphone de milieu de gamme est de $x$ euros. Un smartphone haut de gamme coûte le double du smartphone de milieu de gamme plus 150 €, et une tablette coûte 80 € de moins que le smartphone de milieu de gamme.

1. a) Écrire l'expression littérale qui représente le coût total de l'achat de deux smartphones de milieu de gamme, d'un smartphone haut de gamme et de trois tablettes.
2. b) Réduire l'expression obtenue pour que ce soit un polynôme sous sa forme la plus simple.
3. c) Si le prix du smartphone de base est de $x = 200$ €, combien coûtera la commande totale ?

On considère le polynôme suivant :

$P(x) = -5x^4 + \frac{2}{3}x^2 - x + 9$

Indiquer en justifiant les éléments suivants :

1. a) Le degré du polynôme.
2. b) Le coefficient du terme de degré 2.
3. c) Le terme constant.
4. d) La valeur numérique de $P(x)$ pour $x = -1$.

On lance une petite fusée à eau depuis une plateforme. La hauteur $h$ (en mètres) à laquelle se trouve la fusée en fonction du temps $t$ (en secondes) est donnée par le polynôme :

$h(t) = -5t^2 + 25t + 2$

1. a) À quelle hauteur se trouve la plateforme de lancement ? (Indice : calculer $h(0)$.)
2. b) À quelle hauteur sera la fusée 2 secondes après son lancement ?
3. c) La fusée sera-t-elle plus haut à 3 secondes ou à 4 secondes ? Justifier la réponse en calculant les valeurs numériques correspondantes.

Effectuer les opérations suivantes avec des polynômes et réduire le résultat final :

1. a) $(4x^3 - 5x^2 + x - 7) + (x^3 + 2x^2 - 10)$
2. b) $(3x^2 - 6x + 2) - (x^2 - 4x - 5)$
3. c) $2 \cdot (x^3 - 3x + 1) + 4 \cdot (x^2 - 2)$

Calculer l'aire de la zone grisée de la figure suivante. Exprimer le résultat sous la forme d'un polynôme réduit en fonction de $x$.

Multiplier les polynômes suivants en utilisant la distributivité et simplifier les termes semblables :

1. a) $P(x) = (2x - 3) \cdot (x^2 + 4x - 5)$
2. b) $Q(x) = (x^2 + 1) \cdot (3x^2 - 2x + 4)$

Appliquer les formules des identités remarquables pour développer les expressions suivantes :

1. a) $(3x + 4)^2$
2. b) $(2x^2 - 5)^2$
3. c) $(x + 7) \cdot (x - 7)$
4. d) $(\frac{1}{2}x + 6) \cdot (\frac{1}{2}x - 6)$

Mettre en facteur est l'opération inverse de la distributivité. Utiliser cette technique pour simplifier les expressions littérales suivantes :

1. a) $12x^5 - 8x^3 + 4x^2$
2. b) $5a^2b - 15ab^2 + 10ab$
3. c) $\frac{1}{3}x^4 - \frac{2}{3}x^2$

Une entreprise publique de location de vélos électriques dans une ville française applique aux non-abonnés un tarif mensuel qui dépend du temps d'utilisation. Le montant est calculé grâce au polynôme $C(t) = 0,05t^2 + 1,2t + 8$, où $t$ représente le nombre total d'heures d'utilisation par mois et $C(t)$ le coût obtenu en euros.

1. a) Interpréter ce que représente concrètement le terme constant du polynôme en calculant la valeur numérique $C(0)$.
2. b) Un utilisateur enregistre $10$ heures d'utilisation en avril et double son temps à $20$ heures en mai. Calculer le montant de la facture pour chacun de ces deux mois.
3. c) En observant les résultats des deux mois et les termes du polynôme, justifier algébriquement pourquoi, lorsqu'on double les heures d'utilisation, le coût total n'est pas exactement doublé, en indiquant quel terme est responsable de cet effet.

Dans un projet scolaire de technologie, on lance verticalement une petite fusée à eau. Sa hauteur en mètres au-dessus du sol, $t$ secondes après le lancement, est donnée par le polynôme $h(t) = -5t^2 + 29t + 6$.

1. a) Sans calculer la valeur exacte, faire une estimation en arrondissant mentalement le coefficient $29$ à $30$ pour prévoir si, à $t = 2$ secondes, la hauteur de la fusée sera au-dessus ou en dessous de $40$ mètres. Expliquer en une phrase comment vous avez raisonné.
2. b) Calculer maintenant la valeur numérique exacte de $h(2)$ et la comparer à votre prévision. Pensez-vous que votre estimation était adaptée et utile ? Justifier.
3. c) Le calcul de $h(6)$ donne exactement $0$. Interpréter ce que signifie physiquement ce résultat pour le vol de la fusée et quel nom mathématique porte le nombre $6$ par rapport à ce polynôme.

Un concepteur de jeux vidéo crée un motif de carreaux pour le sol d'un donjon. Au niveau 1, il utilise un carreau central, puis à chaque niveau suivant il entoure le motif précédent d'une nouvelle couche de carreaux d'une autre couleur. Le nombre total de carreaux au niveau $n$ suit une suite logique.

Observer la figure qui représente les trois premiers niveaux et :

1. Trouver le polynôme $P(n)$ qui exprime le nombre total de carreaux nécessaires pour construire jusqu'au niveau $n$.

2. Calculer combien de carreaux comptera un sol de niveau $n = 12$.

Une entreprise de messagerie facture l'envoi de colis selon le tarif suivant : un coût fixe de gestion de $G$ euros, plus un prix de $2$ € par kilogramme, et un supplément « distance premium » égal au carré du poids du colis divisé par 4.

1. Écrire le polynôme $C(x)$ qui représente le coût total de l'envoi d'un colis de $x$ kilogrammes.

2. Si les frais de gestion sont de $G = 5$ € et qu'on veut envoyer un colis de $8$ kg, quel sera le coût total ?

3. Si l'entreprise décide de doubler le coût par kilogramme et de conserver les autres paramètres, écrire le nouveau polynôme $C_2(x)$.

Calculer l'aire de la zone colorée dans la figure suivante, en exprimant le résultat sous la forme d'un polynôme réduit en fonction de $x$. La figure extérieure est un carré de côté $3x + 2$ et le trou intérieur est un rectangle de base $x + 4$ et de hauteur $x - 1$.

Développer et simplifier au maximum l'expression littérale suivante en utilisant les identités remarquables et la mise en facteur :

Indiquer si le résultat final est un nombre constant ou s'il dépend de la valeur de $x$.

Étant donné le polynôme $P(x) = x^3 - kx^2 + 5x - 6$, déterminer la valeur du coefficient $k$ sachant que la valeur du polynôme pour $x = 2$ est égale à zéro ($x = 2$ est une racine du polynôme). Une fois $k$ trouvé, calculer la valeur de $P(x)$ pour $x = -1$.

Un parc a la forme d'un rectangle. À l'origine, sa base mesure $x$ mètres et sa hauteur mesure $5$ mètres de moins que la base. La mairie décide d'agrandir le parc en augmentant la base de $3$ mètres et la hauteur de $2$ mètres.

1. Écrire le polynôme $A_1(x)$ de l'aire du parc d'origine.

2. Écrire le polynôme $A_2(x)$ de l'aire du parc agrandi.

3. Déterminer le polynôme qui représente l'augmentation d'aire $I(x) = A_2(x) - A_1(x)$ et le simplifier.

Effectuer l'opération combinée suivante sur des polynômes et réduire les termes semblables :

Mettre en facteur et utiliser les identités remarquables pour factoriser les polynômes suivants.

Rappel des identités remarquables : $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$, $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ et $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$.

1. a) $Q(x) = 3x^3 - 12x$

1. b) $R(x) = x^4 - 10x^3 + 25x^2$

1. c) $S(x) = 2x^2 + 20x + 50$

Pour vérifier si les nombres $x = 3$ et $x = -1$ sont des racines du polynôme exprimé sous forme factorisée $P(x) = (x - 3) \cdot (x^2 + 5x + 4)$, deux élèves proposent des démarches différentes :

• Stratégie de Dany : Multiplier tous les termes pour obtenir le polynôme sous forme développée, ordonnée et réduite, puis substituer $x = 3$ et $x = -1$.

• Stratégie d'Hélène : Remplacer directement les valeurs dans chaque parenthèse séparément, sans développer le produit, en vérifiant si l'un des facteurs est nul.

1. a) Appliquer la stratégie d'Hélène pour vérifier si $x = 3$ est une racine de $P(x)$ en détaillant les étapes suivies.
2. b) Appliquer la stratégie qui vous semble la plus adaptée pour vérifier si $x = -1$ est une racine de $P(x)$.
3. c) Comparer les deux démarches et argumenter laquelle des deux méthodes est la plus efficace (moins de calculs et moins de risques d'erreur de signe). Sur quelle propriété mathématique de la multiplication la stratégie d'Hélène s'appuie-t-elle pour éviter de calculer la seconde parenthèse lorsque la première est égale à zéro ?

On considère la famille de polynômes du second degré décrite par l'expression $P(x) = x^2 + b \cdot x + 15$, où $b$ représente un nombre entier relatif inconnu.

1. a) Sachant que la représentation graphique de ce polynôme coupe l'axe des abscisses $X$ au point d'abscisse $x = -3$, déterminer en justifiant la valeur que doit avoir le coefficient $b$. (Rappel : relation entre les points d'intersection avec l'axe $X$ et les racines du polynôme.)
2. b) Avec la valeur de $b$ obtenue, écrire l'expression définitive du polynôme et vérifier s'il coupe aussi l'axe $X$ au point $x = -5$.
3. c) Un camarade affirme qu'en modifiant la valeur de $b$ par un autre nombre entier bien choisi, on pourrait faire en sorte que $x = 0$ soit une racine de ce polynôme. Démontrer algébriquement que votre camarade se trompe et expliquer quel changement précis il faudrait apporter au polynôme pour que $x = 0$ puisse être une racine.