Exercices: Opérations sur les polynômes

Dans un jeu vidéo de stratégie, votre inventaire est réparti entre deux coffres. Le contenu du premier coffre est donné par le polynôme $P(x) = 5x^2 + 3x - 4$ et celui du second par $Q(x) = 2x^2 - 5x + 8$, où $x$ représente le niveau de rareté des objets. Calculer le polynôme total qui représente la somme des deux coffres : $P(x) + Q(x)$.

Pour organiser un événement d'e-sport, une entreprise utilise l'expression $G(x) = 10x^2 - 4x + 100$ pour calculer ses dépenses et $I(x) = 15x^2 + 2x$ pour calculer ses recettes (où $x$ est le nombre de sponsors). Déterminer le polynôme qui représente le bénéfice net, sachant que le bénéfice est la différence entre les recettes et les dépenses : $I(x) - G(x)$.

Calculer la valeur numérique du polynôme $A(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ dans les cas suivants :

• a) Pour $x = 0$

• b) Pour $x = 1$

Observer le schéma suivant d'une piste de skate rectangulaire. Écrire le polynôme réduit qui représente le périmètre de la piste en fonction de $x$.

Effectuer l'opération suivante en multipliant le monôme par le polynôme (en appliquant la distributivité) :

$3x^2 \cdot (2x^3 - 4x + 5)$

Identifier les éléments principaux du polynôme suivant :

$P(x) = -7x^4 + 2x^3 - x + 12$

• a) Quel est son degré ?

• b) Quel est son coefficient dominant ?

• c) Quel est son terme constant ?

• d) Combien de termes comporte-t-il ?

Un jeune designer crée un logo pour sa marque de vêtements. Le logo central est un rectangle comme celui de la figure. Déterminer le polynôme qui représente l'aire totale de la figure.

Mettre en facteur le facteur commun dans les expressions littérales simples suivantes :

• a) $4x^2 + 8x$

• b) $5a^3 - 10a^2 + 15a$

Lucie a résolu dans son cahier la soustraction de polynômes suivante : $(5x^2 - 3x + 4) - (2x^2 - 7x - 1)$. À l'étape finale, elle a écrit comme résultat $3x^2 - 10x + 3$. Expliquer quelles deux erreurs de signes elle a commises en appliquant la règle de la soustraction de polynômes, détailler pourquoi elles se produisent et écrire le développement correct étape par étape jusqu'au polynôme réduit final.

On demande de calculer le produit des polynômes $P(x) = 3x^2 - 2$ et $Q(x) = 2x^2 + 5x - 4$. Répondre aux questions suivantes avant et après avoir effectué la multiplication complète :

1. a) Avant de multiplier terme à terme, déduire quel doit être le degré du polynôme obtenu $P(x) \cdot Q(x)$ et quel doit être son terme constant. Expliquer votre raisonnement.
2. b) Votre camarade Alice affirme, sans regarder les calculs, que le résultat est $6x^5 + 15x^3 - 4x^2 - 10x - 8$. Sans développer le produit, quelles deux raisons immédiates fondées sur votre déduction précédente montrent que son résultat est impossible ?
3. c) Calculer le produit complet en appliquant la distributivité, réduire les termes semblables et vérifier si votre estimation de la question a) était correcte.

Dans un magasin de jeux vidéo, le stock de trois catégories différentes est exprimé par les polynômes suivants, où $x$ représente le nombre de nouveautés de ce mois :

• Action : $A(x) = 3x^2 + 5x - 8$

• Aventure : $B(x) = -x^2 + 2x + 10$

• Stratégie : $C(x) = 2x^2 - 4x + 1$

Calculer les expressions suivantes en simplifiant le résultat :

1. a) Le total de jeux vidéo dans le magasin : $A(x) + B(x) + C(x)$
2. b) La différence entre les jeux d'Action et ceux d'Aventure : $A(x) - B(x)$
3. c) Combien de jeux de Stratégie resterait-il si l'on vendait la moitié d'un lot de taille $4x^2 - 2x$ ? Calculer : $C(x) - (2x^2 - x)$

Calculer l'aire de la zone grisée de la figure suivante. La figure représente une plaque métallique rectangulaire dans laquelle on a découpé un rectangle intérieur pour laisser de la place à un composant électronique. Exprimer le résultat sous la forme d'un polynôme en fonction de $x$.

Données supplémentaires :

• Base extérieure : $5x + 3$

• Hauteur extérieure : $3x$

• Base intérieure : $x + 2$

• Hauteur intérieure : $x$

Effectuer les multiplications de polynômes suivantes et réduire les termes semblables :

1. a) $3x \cdot (2x^2 - 5x + 4)$
2. b) $(-2x^2) \cdot (x^3 - 3x^2 + 7)$
3. c) $(x + 3) \cdot (x^2 - 2x + 5)$
4. d) $(2x - 1) \cdot (3x^2 + x - 2)$

Pour l'expression combinée de polynômes suivante, effectuer les opérations et simplifier jusqu'à obtenir un unique polynôme ordonné par degré décroissant :

$P(x) = 2x \cdot (x^2 - 3x + 1) - (x - 4) \cdot (2x + 5)$

Un architecte conçoit une place carrée de côté $L = 2x + 5$ mètres. Au centre, il décide de placer une fontaine également carrée de côté $l = x - 3$ mètres.

1. a) Développer l'expression de l'aire de la place à l'aide des identités remarquables : $(2x + 5)^2$
2. b) Développer l'expression de l'aire de la fontaine à l'aide des identités remarquables : $(x - 3)^2$
3. c) Calculer le polynôme qui représente la surface de la place restant libre pour se promener (aire de la place - aire de la fontaine).

Appliquer les identités remarquables pour développer directement les expressions suivantes, sans effectuer la multiplication étape par étape :

1. a) $(3x + 4)^2$
2. b) $(5x - 2y)^2$
3. c) $(2x^2 + 1) \cdot (2x^2 - 1)$
4. d) $(\frac{1}{2}x + 6)^2$

Mettre en facteur est le procédé inverse de la distributivité. Analyser les expressions littérales suivantes et mettre en facteur tous les facteurs communs possibles (nombres et lettres) :

1. a) $12x^4 - 8x^3 + 4x^2$
2. b) $15a^3b^2 - 10a^2b$
3. c) $9x^2y - 3xy^2 + 6xy$
4. d) $7x^5 - 14x^2$

Dans un laboratoire, la croissance d'une population de bactéries $A$ suit le polynôme $A(t) = 2t^2 + 10t + 50$, où $t$ est le temps en heures. Une autre population $B$ croît selon le polynôme $B(t) = t^2 - 5t$.

Si les scientifiques ont besoin de connaître le comportement d'une culture mixte définie par l'opération $C(t) = 3 \cdot A(t) - 2 \cdot B(t)$, quel est le polynôme simplifié qui représente cette population $C$ ?

En effaçant le tableau à la fin du cours de mathématiques, le polynôme $P(x)$ qui complétait l'égalité suivante a disparu : $(2x^2 - 3x + 5) - P(x) + 3x \cdot (x - 2) = -x^2 + x + 9$.

1. a) Sans donner de nombres au hasard, isoler algébriquement $P(x)$ dans l'un des membres de l'égalité.
2. b) Développer les produits et réduire les termes semblables pour obtenir le polynôme $P(x)$ sous forme ordonnée et simplifiée.
3. c) Vérifier que votre réponse est correcte en substituant le polynôme $P(x)$ obtenu dans le premier membre de l'égalité initiale et en vérifiant qu'il coïncide avec le second membre.

Le service municipal de vélos électriques d'une ville française calcule ses coûts et recettes mensuels pour chaque vélo en fonction de $x$, où $x$ représente les centaines de kilomètres parcourus par mois (par exemple, $x = 2$ équivaut à $200\text{ km}$) :

• Coût de la batterie et du moteur : $B(x) = 2x^2 + 15x + 30$ (en euros).

• Coût des freins et des pneus : $F(x) = x^2 + 25x + 10$ (en euros).

• Recettes issues des surtaxes d'usage intensif : $I(x) = 5x \cdot (x + 4)$ (en euros).

1. a) Modéliser la dépense totale d'entretien d'un vélo, $G(x)$, en additionnant $B(x)$ et $F(x)$ en une seule expression réduite.
2. b) Quelle est la signification économique réelle du terme constant de $G(x)$ si un vélo reste garé à la station tout le mois ($x = 0$) ?
3. c) Modéliser le bilan net du vélo à l'aide du polynôme $N(x) = I(x) - G(x)$. Effectuer la soustraction en faisant particulièrement attention aux signes et simplifier le résultat.
4. d) Si un vélo parcourt $300\text{ km}$ en un mois ($x = 3$), calculer la valeur numérique $N(3)$ et interpréter si ce mois-là le vélo génère un solde positif (bénéfice) ou négatif (perte) pour ces postes.

Calculer l'expression suivante en réduisant au maximum le polynôme obtenu. Faire particulièrement attention à la priorité des opérations et aux parenthèses précédées d'un signe négatif :

$(2x^2 - 5) \cdot (x + 3) - (x - 4)^2 + 3x \cdot (x^2 - 2x + 1)$

Au centre d'un jardin carré de côté $2x + 5$ mètres, on a installé une piscine rectangulaire de dimensions $x + 2$ mètres de long et $x - 1$ mètres de large. Déterminer le polynôme qui représente l'aire de la zone de pelouse (la partie du jardin non occupée par la piscine).

Déterminer le polynôme inconnu $Q(x)$ dans l'égalité suivante :

$(-3x^3 + 5x^2 - 7) + Q(x) = x^4 - 2x^2 + 5x - 1$

Calculer ensuite la valeur numérique de $Q(x)$ pour $x = -2$.

Une entreprise de colis conçoit des boîtes en forme de pavé droit. Les dimensions de la boîte sont les suivantes : la longueur mesure $x + 5$ cm, la largeur est $x - 2$ cm et la hauteur est le double de la largeur.

1. a) Exprimer à l'aide d'un polynôme le volume de la boîte en fonction de $x$.
2. b) Développer et simplifier ce polynôme.

Déterminer la valeur du coefficient $k$ dans le polynôme $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 5x - 4$ sachant que son calcul pour $x = 2$ donne comme résultat $10$.

Appliquer les identités remarquables pour développer et simplifier l'expression suivante :

$3 \cdot (2x + \frac{1}{2})^2 - 2 \cdot (3x - 1) \cdot (3x + 1)$

Simplifier la fraction algébrique suivante en mettant d'abord en facteur le facteur commun au numérateur et au dénominateur :

$\frac{12x^4 - 18x^3 + 6x^2}{6x^3 - 6x^2}$

Un fabricant de coques pour téléphones a déterminé que le coût de production de $x$ unités est donné par le polynôme $C(x) = 0,5x^2 + 10x + 200$, tandis que les recettes obtenues par la vente de ces mêmes unités s'expriment par $I(x) = -0,2x^2 + 50x$.

1. a) Déterminer le polynôme $B(x)$ qui représente le bénéfice (recettes moins coûts).

1. b) Calculer le bénéfice si l'on vend $40$ coques.

Pour calculer la valeur numérique de l'expression littérale $E(x) = (2x - 6) \cdot (x^2 + 5x - 2) - (2x - 6) \cdot (x^2 + 3x + 8)$ lorsque $x = 103$, deux élèves proposent des démarches différentes :

• Méthode de Marc : Il multiplie les deux premiers polynômes entre eux, puis multiplie les deux suivants, soustrait les deux polynômes obtenus en changeant tous les signes du second, réduit les termes semblables et substitue $x = 103$.

• Méthode de Sarah : Elle remarque que le binôme $(2x - 6)$ apparaît dans les deux blocs, le met en facteur dans toute l'expression, simplifie ce qui reste dans le crochet et ne substitue $x = 103$ qu'à la fin.

1. a) Appliquer la méthode de Marc en développant et en simplifiant complètement l'expression $E(x)$.
2. b) Appliquer la méthode de Sarah en mettant $(2x - 6)$ en facteur, réduire l'expression obtenue et vérifier que l'on arrive exactement au même polynôme simplifié qu'à la question a).
3. c) Justifier laquelle des deux méthodes est la plus adaptée pour évaluer en $x = 103$ en minimisant le nombre d'opérations et le risque d'erreur. Utiliser cette méthode plus avantageuse pour trouver mentalement la valeur de $E(103)$.

On considère le produit de polynômes $P(x) = (a \cdot x + 3) \cdot (2x^2 + b \cdot x - 4)$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers constants inconnus. Après développement de ce produit et regroupement de tous les termes semblables, on sait que le polynôme obtenu vérifie deux conditions :

1. Son coefficient dominant (le nombre qui accompagne $x^3$) est égal à $6$.

2. Le terme de degré 2 disparaît complètement (son coefficient final est $0$).

1. a) Écrire l'expression obtenue en multipliant terme à terme $(a \cdot x + 3) \cdot (2x^2 + b \cdot x - 4)$ avant de regrouper les termes semblables.
2. b) Déduire en justifiant la valeur exacte des nombres $a$ et $b$ à partir des deux conditions données.
3. c) Avec les valeurs trouvées, écrire le polynôme $P(x)$ entièrement développé, réduit et ordonné par degré décroissant.
4. d) Mettre en facteur le plus grand facteur commun monôme possible du polynôme $P(x)$ obtenu et expliquer comment vous vérifieriez que votre factorisation est correcte à l'aide de la distributivité.