Exercices: Opérations sur les monômes

Pour comprendre comment se construisent les expressions mathématiques, il est essentiel de connaître les parties d'un monôme. Compléter les informations demandées pour chacun des monômes suivants :

1. a) $7x^{3}$
2. b) $-a^{2}b$
3. c) $\frac{1}{2}x^{4}y^{2}$
4. d) $-5$

Pour chacun, indiquer :

• Le coefficient.

• La partie littérale.

• Le degré du monôme.

En algèbre, on ne peut additionner ou soustraire que des « choses identiques ». Identifier lesquels des monômes suivants sont semblables entre eux et les regrouper :

$5x^{2}$, $-3x$, $\frac{1}{4}x^{2}$, $7y$, $x$, $-x^{2}$, $12x$, $2y$

Simplifier les expressions suivantes en additionnant et soustrayant les monômes semblables :

1. a) $5a + 3a - 2a$
2. b) $4x^{2} - x^{2} + 7x^{2}$
3. c) $3ab - 5ab + ab$
4. d) $x + x + x + x$

Calculer le produit des monômes suivants. Rappel : on multiplie les coefficients entre eux et on additionne les exposants des lettres identiques :

1. a) $(3x^{2}) \cdot (5x^{4})$
2. b) $(-2a^{3}) \cdot (4a)$
3. c) $(\frac{1}{2}x) \cdot (6x^{2})$
4. d) $(-x^{2}) \cdot (-x^{3})$

Effectuer les divisions de monômes suivantes. Rappel : on divise les coefficients et on soustrait les exposants des lettres :

1. a) $(12x^{5}) : (3x^{2})$
2. b) $(-10a^{4}) : (5a^{3})$
3. c) $(15x^{3}y^{2}) : (3x^{2}y)$
4. d) $(4x^{2}) : (2x^{2})$

Calculer la puissance de ces monômes. Ne pas oublier d'élever à la fois le coefficient et la partie littérale à l'exposant indiqué :

1. a) $(2x^{3})^{2}$
2. b) $(-3a^{2})^{2}$
3. c) $(x^{4})^{3}$
4. d) $(-2x)^{3}$

Déterminer l'expression littérale qui représente le périmètre de la parcelle rectangulaire suivante, destinée à un potager scolaire. Une fois l'expression obtenue, la réduire au maximum en additionnant ses termes semblables.

Dans un jeu vidéo de course, chaque pièce d'or ramassée rapporte $5x$ points et chaque pièce d'argent rapporte $2x$ points.

Si, lors d'une partie, un joueur a obtenu 4 pièces d'or et 6 pièces d'argent :

1. a) Écrire le monôme qui représente le total des points des pièces d'or.
2. b) Écrire le monôme qui représente le total des points des pièces d'argent.
3. c) Additionner les deux monômes pour obtenir le total des points de la partie.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

En cours de mathématiques, Marc a résolu au tableau la puissance de monôme suivante :

$$(-3x^4)^2 = -6x^8$$

Sa camarade Alice lève la main et affirme que Marc a commis deux erreurs conceptuelles différentes dans cette seule étape.

1. a) Identifier les deux erreurs commises par Marc, en expliquant clairement quelle règle sur les opérations avec les monômes il a mal appliquée dans chaque cas (une sur le coefficient et une autre sur le signe ou sur les exposants).
2. b) Écrire la résolution correcte, entièrement détaillée pas à pas, en justifiant le signe, le coefficient et l'exposant finaux.

Un professeur a partiellement effacé le tableau à la fin du cours et ces trois opérations sur des monômes sont restées incomplètes :

1. a) $4x^3 \cdot \Box = -20x^7$
2. b) $\frac{\Box}{3x^2} = 5x^4$
3. c) $(\Box)^3 = -8x^6$

Trouver quel monôme doit être placé dans chaque case ($\Box$) pour que les égalités soient vraies. Dans chaque cas, expliquer en raisonnant comment on déduit le signe, le coefficient numérique et l'exposant de la partie littérale grâce à l'opération inverse correspondante.

Réduire au maximum l'expression littérale suivante en regroupant les monômes semblables :

$9x^3 - 5x^2 + 4x - 2x^3 + 7x^2 - x + 10$

Calculer le résultat des multiplications de monômes suivantes et simplifier la partie littérale à l'aide des propriétés des puissances :

1. a) $(4a^2b) \cdot (-3ab^3)$

1. b) $(\frac{1}{2}x^4) \cdot (6x^2)$

1. c) $(-2z^3) \cdot (-5z^2) \cdot z$

Déterminer l'expression littérale simplifiée qui représente le périmètre de la parcelle suivante, destinée à une aire de jeux dans un parc :

Calculer les puissances de monômes suivantes. Rappel : l'exposant s'applique au coefficient et à chacune des variables de la partie littérale :

1. a) $(-3x^4)^2$

1. b) $(2a^2b^3)^4$

1. c) $(-\frac{1}{2}m^5)^3$

Simplifier les quotients de monômes suivants. Exprimer le résultat sous la forme d'un seul monôme lorsque c'est possible :

1. a) $\frac{20x^6}{5x^2}$

1. b) $(-12a^3b^2) : (3a^2b^2)$

1. c) $\frac{15m^4n^2}{10m^2}$

Lors d'une campagne de reboisement, chaque bénévole plante $3x$ arbres le matin et $2x$ arbres l'après-midi. S'il y a au total $y$ bénévoles, écrire l'expression littérale simplifiée qui représente :

1. a) Le nombre total d'arbres plantés par un seul bénévole en une journée.

1. b) Le nombre total d'arbres plantés par tous les bénévoles en une semaine (7 jours).

Calculer l'expression qui représente l'aire de la région colorée dans la figure suivante, sachant que le côté du carré extérieur mesure $4x$ et que le côté du carré intérieur blanc mesure $x$ :

Résoudre les opérations combinées suivantes sur des monômes en respectant les priorités opératoires :

1. a) $5x^2 \cdot 2x + 12x^4 : 3x$

1. b) $3ab \cdot (2a^2b) - (5a^3b^2)$

1. c) $(2n^3)^2 - 5n^6 + n^2 \cdot n^4$

On considère l'opération combinée suivante sur des monômes :

$$M = \frac{(-2x^3)^3 \cdot (6x^2)}{-4x^5}$$

1. a) Avant tout calcul numérique sur les coefficients, faire une estimation raisonnée en répondant à ces deux questions :

1. Quel sera le signe du résultat final ? Le justifier en analysant successivement les signes de la puissance, du produit du numérateur et de la division finale.

2. Quel sera le degré exact du monôme obtenu ? Le justifier en calculant mentalement la somme et la différence des exposants selon les propriétés des puissances.

1. b) Résoudre l'opération combinée pas à pas en respectant les priorités opératoires et simplifier le monôme obtenu.
2. c) Vérifier si le résultat obtenu est cohérent avec vos déductions préalables sur le signe et le degré de la question a).

Une coopérative agricole de Beauce installe des panneaux solaires sur un terrain rectangulaire pour alimenter les moteurs d'irrigation. Les dimensions du terrain s'expriment en fonction d'une variable $x$ (en mètres) : la largeur mesure $3x$ mètres et la longueur mesure le triple de la largeur.

1. a) Déterminer le monôme simplifié qui représente l'aire totale de la parcelle en mètres carrés.
2. b) Pour répartir le câblage, on divise tout le terrain en parcelles carrées identiques de côté $x$ mètres. Écrire le monôme qui représente l'aire d'une de ces parcelles et calculer combien de parcelles tiennent au total en effectuant la division de monômes appropriée.
3. c) Le coût d'entretien annuel du terrain est de $0,5$ euros par mètre carré de surface. Si la coopérative reçoit une subvention régionale fixe annuelle de $15x^2$ euros, déterminer à l'aide d'opérations sur les monômes si la subvention suffit à couvrir l'entretien et combien d'argent il reste ou il manque en fonction de $x$.

Effectuer l'opération combinée suivante sur des monômes, en simplifiant le résultat au maximum. Faire particulièrement attention aux priorités opératoires et aux règles sur les puissances :

$$ \frac{2}{3}x^2 \cdot (-3x^3)^2 - 5x^5 \cdot (2x^3) + \frac{16x^{10}}{2x^2} $$

Une entreprise de design fabrique des cadres en aluminium pour des écrans de tablettes. Le dessin suit les proportions de la figure suivante, où toutes les mesures sont exprimées en fonction d'une variable $x$. Déterminer le monôme qui représente l'aire totale de la surface du cadre (la zone colorée).

Trouver les monômes inconnus $M$ et $N$ qui rendent vraies les égalités suivantes :

1. a) $ (-4x^3y^2) \cdot M = 20x^7y^5 $

1. b) $ \frac{N}{-3ab} = 6a^2b^3 $

1. c) $ (2x^2)^3 : M = -4x $

Dans un jeu vidéo de stratégie, l'énergie d'un bataillon se calcule en multipliant son niveau d'attaque par son niveau de défense, puis en divisant par sa fatigue. On sait que :

• Attaque : $ 12a^2b^3 $

• Défense : $ 5a^3b $

• Fatigue : $ 10ab^2 $

Exprimer l'énergie totale du bataillon sous la forme d'un unique monôme et déterminer son degré.

Mettre en facteur le plus grand facteur commun possible dans l'expression littérale suivante. Rappel : il faut mettre en facteur à la fois le PGCD des coefficients et les variables communes avec leur plus petit exposant :

$$ 24x^5y^4z^2 - 36x^3y^6z^3 + 12x^2y^4z^5 $$

Calculer le monôme obtenu au sommet de cette « pyramide de produits », où chaque brique est le résultat de la multiplication des deux monômes situés juste en dessous :

Réduire l'expression suivante en appliquant la distributivité et en simplifiant les monômes semblables obtenus :

$$ -3ab^2 \cdot (2a^2 - 5ab + b^2) - 2a^2b \cdot (4ab - a) $$

Calculer le monôme qui représente le volume d'un solide formé par la réunion de 5 cubes identiques, où l'arête de chaque cube mesure $ \frac{2}{3}x^2 $ mètres. Exprimer le résultat final sous forme simplifiée.

Pour calculer la valeur de l'expression littérale :

$$E = \frac{(6x^4)^2 \cdot x^3}{12x^7}$$

pour la valeur $x = -2$, deux élèves de 4e proposent deux stratégies différentes :

• Méthode de Serge : il remplace directement la valeur $x = -2$ dans chacune des $x$ de l'expression initiale, calcule les puissances numériques obtenues, puis effectue enfin les multiplications et la division avec les nombres obtenus.

• Méthode d'Irène : elle applique d'abord les propriétés des opérations sur les monômes pour simplifier l'expression en un unique monôme irréductible, et ne remplace $x = -2$ qu'à la fin.

1. a) Appliquer la méthode de Serge en indiquant les nombres intermédiaires qu'il obtient au numérateur et au dénominateur avant de simplifier.
2. b) Appliquer la méthode d'Irène en simplifiant d'abord l'expression littérale puis en calculant la valeur numérique finale.
3. c) Comparer les deux méthodes et justifier laquelle est la plus avantageuse et la plus sûre en mathématiques. Argumenter en tenant compte de la taille des nombres manipulés et du risque d'erreurs de calcul dans chaque procédé.

On veut concevoir une trémie métallique pour stocker du grain, dont la capacité est donnée par le volume d'un pavé droit. Le volume total est le produit de trois monômes correspondant à ses trois dimensions (longueur $L(x)$, largeur $A(x)$ et hauteur $H(x)$), de sorte que $V(x) = L(x) \cdot A(x) \cdot H(x)$. On connaît les données techniques suivantes :

• Le monôme du volume total est $V(x) = 72x^7$.

• La hauteur de la trémie est le monôme $H(x) = 2x^2$.

• La longueur $L(x)$ et la largeur $A(x)$ ont toutes deux des coefficients entiers positifs.

• Le degré de la longueur $L(x)$ est supérieur d'une unité à celui de la largeur $A(x)$.

• Le coefficient numérique de la longueur $L(x)$ est exactement le quadruple de celui de la largeur $A(x)$.

1. a) Déduire pas à pas les monômes exacts correspondant à $L(x)$ et à $A(x)$, en justifiant comment on obtient les coefficients et les degrés à partir des propriétés des opérations sur les monômes.
2. b) Écrire l'expression de l'aire de la base de la trémie, $B(x) = L(x) \cdot A(x)$. Répondre ensuite en justifiant : est-il possible de modifier les dimensions $L(x)$ et $A(x)$ (en conservant le même produit et en gardant des monômes) de façon que le degré de la base soit 6 ? Justifier pourquoi c'est possible ou non à partir de la relation entre le degré du volume et celui de la hauteur.